Preálgebra Ejemplos

$- 9 z (z - 4) > 4 z - 3$

Paso 1

Simplifica $- 9 z (z - 4)$ .

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Paso 1.1

Reescribe.

$0 + 0 - 9 z (z - 4) > 4 z - 3$

Paso 1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$- 9 z (z - 4) > 4 z - 3$

Paso 1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 9 z \cdot z - 9 z \cdot - 4 > 4 z - 3$

Paso 1.4

Multiplica $z$ por $z$ sumando los exponentes.

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Paso 1.4.1

Mueve $z$ .

$- 9 (z \cdot z) - 9 z \cdot - 4 > 4 z - 3$

Paso 1.4.2

Multiplica $z$ por $z$ .

$- 9 z^{2} - 9 z \cdot - 4 > 4 z - 3$

Paso 1.5

Multiplica $- 4$ por $- 9$ .

$- 9 z^{2} + 36 z > 4 z - 3$

Paso 2

Mueve todos los términos que contengan $z$ al lado izquierdo de la desigualdad.

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Paso 2.1

Resta $4 z$ de ambos lados de la desigualdad.

$- 9 z^{2} + 36 z - 4 z > - 3$

Paso 2.2

Resta $4 z$ de $36 z$ .

$- 9 z^{2} + 32 z > - 3$

Paso 3

Suma $3$ a ambos lados de la desigualdad.

$- 9 z^{2} + 32 z + 3 > 0$

Paso 4

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$- 9 z^{2} + 32 z + 3 = 0$

Paso 5

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 6

Sustituye los valores $a = - 9$ , $b = 32$ y $c = 3$ en la fórmula cuadrática y resuelve $z$ .

$\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot (- 9 \cdot 3)}}{2 \cdot - 9}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Eleva $32$ a la potencia de $2$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot - 9 \cdot 3}}{2 \cdot - 9}$

Paso 7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 9 \cdot 3$ .

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Paso 7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 9$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 + 36 \cdot 3}}{2 \cdot - 9}$

Paso 7.1.2.2

Multiplica $36$ por $3$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 + 108}}{2 \cdot - 9}$

Paso 7.1.3

Suma $1024$ y $108$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{1132}}{2 \cdot - 9}$

Paso 7.1.4

Reescribe $1132$ como $2^{2} \cdot 283$ .

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Paso 7.1.4.1

Factoriza $4$ de $1132$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{4 (283)}}{2 \cdot - 9}$

Paso 7.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 283}}{2 \cdot - 9}$

Paso 7.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$z = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{283}}{2 \cdot - 9}$

Paso 7.2

Multiplica $2$ por $- 9$ .

$z = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{283}}{- 18}$

Paso 7.3

Simplifica $\frac{- 32 \pm 2 \sqrt{283}}{- 18}$ .

$z = \frac{16 \pm \sqrt{283}}{9}$

Paso 8

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.1

Eleva $32$ a la potencia de $2$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot - 9 \cdot 3}}{2 \cdot - 9}$

Paso 8.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 9 \cdot 3$ .

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Paso 8.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 9$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 + 36 \cdot 3}}{2 \cdot - 9}$

Paso 8.1.2.2

Multiplica $36$ por $3$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 + 108}}{2 \cdot - 9}$

Paso 8.1.3

Suma $1024$ y $108$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{1132}}{2 \cdot - 9}$

Paso 8.1.4

Reescribe $1132$ como $2^{2} \cdot 283$ .

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Paso 8.1.4.1

Factoriza $4$ de $1132$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{4 (283)}}{2 \cdot - 9}$

Paso 8.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 283}}{2 \cdot - 9}$

Paso 8.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$z = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{283}}{2 \cdot - 9}$

Paso 8.2

Multiplica $2$ por $- 9$ .

$z = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{283}}{- 18}$

Paso 8.3

Simplifica $\frac{- 32 \pm 2 \sqrt{283}}{- 18}$ .

$z = \frac{16 \pm \sqrt{283}}{9}$

Paso 8.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$z = \frac{16 + \sqrt{283}}{9}$

Paso 9

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 9.1

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1.1

Eleva $32$ a la potencia de $2$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot - 9 \cdot 3}}{2 \cdot - 9}$

Paso 9.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 9 \cdot 3$ .

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Paso 9.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 9$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 + 36 \cdot 3}}{2 \cdot - 9}$

Paso 9.1.2.2

Multiplica $36$ por $3$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 + 108}}{2 \cdot - 9}$

Paso 9.1.3

Suma $1024$ y $108$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{1132}}{2 \cdot - 9}$

Paso 9.1.4

Reescribe $1132$ como $2^{2} \cdot 283$ .

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Paso 9.1.4.1

Factoriza $4$ de $1132$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{4 (283)}}{2 \cdot - 9}$

Paso 9.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 283}}{2 \cdot - 9}$

Paso 9.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$z = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{283}}{2 \cdot - 9}$

Paso 9.2

Multiplica $2$ por $- 9$ .

$z = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{283}}{- 18}$

Paso 9.3

Simplifica $\frac{- 32 \pm 2 \sqrt{283}}{- 18}$ .

$z = \frac{16 \pm \sqrt{283}}{9}$

Paso 9.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$z = \frac{16 - \sqrt{283}}{9}$

Paso 10

Consolida las soluciones.

$z = \frac{16 + \sqrt{283}}{9}, \frac{16 - \sqrt{283}}{9}$

Paso 11

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$z < \frac{16 - \sqrt{283}}{9}$

$\frac{16 - \sqrt{283}}{9} < z < \frac{16 + \sqrt{283}}{9}$

$z > \frac{16 + \sqrt{283}}{9}$

Paso 12

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 12.1

Prueba un valor en el intervalo $z < \frac{16 - \sqrt{283}}{9}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.1.1

Elije un valor en el intervalo $z < \frac{16 - \sqrt{283}}{9}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$z = - 3$

Paso 12.1.2

Reemplaza $z$ con $- 3$ en la desigualdad original.

$- 9 \cdot - 3 ((- 3) - 4) > 4 (- 3) - 3$

Paso 12.1.3

$- 189$ del lado izquierdo no es mayor que $- 15$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 12.2

Prueba un valor en el intervalo $\frac{16 - \sqrt{283}}{9} < z < \frac{16 + \sqrt{283}}{9}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.2.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{16 - \sqrt{283}}{9} < z < \frac{16 + \sqrt{283}}{9}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$z = 0$

Paso 12.2.2

Reemplaza $z$ con $0$ en la desigualdad original.

$- 9 \cdot 0 ((0) - 4) > 4 (0) - 3$

Paso 12.2.3

$0$ del lado izquierdo es mayor que $- 3$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 12.3

Prueba un valor en el intervalo $z > \frac{16 + \sqrt{283}}{9}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.3.1

Elije un valor en el intervalo $z > \frac{16 + \sqrt{283}}{9}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$z = 6$

Paso 12.3.2

Reemplaza $z$ con $6$ en la desigualdad original.

$- 9 \cdot 6 ((6) - 4) > 4 (6) - 3$

Paso 12.3.3

$- 108$ del lado izquierdo no es mayor que $21$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 12.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$z < \frac{16 - \sqrt{283}}{9}$ Falso

$\frac{16 - \sqrt{283}}{9} < z < \frac{16 + \sqrt{283}}{9}$ Verdadero

$z > \frac{16 + \sqrt{283}}{9}$ Falso

$z < \frac{16 - \sqrt{283}}{9}$ Falso

$\frac{16 - \sqrt{283}}{9} < z < \frac{16 + \sqrt{283}}{9}$ Verdadero

$z > \frac{16 + \sqrt{283}}{9}$ Falso

Paso 13

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$\frac{16 - \sqrt{283}}{9} < z < \frac{16 + \sqrt{283}}{9}$

Paso 14