Preálgebra Ejemplos

$f (x) = | \frac{x - 2}{x + 2} |$

Paso 1

Obtén el vértice del valor absoluto. En este caso, el vértice de $y = | \frac{x - 2}{x + 2} |$ es $(2, 0)$ .

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Paso 1.1

Para obtener la coordenada de $x$ del vértice, establece el interior del valor absoluto $\frac{x - 2}{x + 2}$ igual a $0$ . En este caso, $\frac{x - 2}{x + 2} = 0$ .

$\frac{x - 2}{x + 2} = 0$

Paso 1.2

Resuelve la ecuación $\frac{x - 2}{x + 2} = 0$ para obtener la coordenada $x$ para el vértice del valor absoluto.

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Paso 1.2.1

Establece el numerador igual a cero.

$x - 2 = 0$

Paso 1.2.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 1.3

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$y = | \frac{(2) - 2}{(2) + 2} |$

Paso 1.4

Simplifica $| \frac{(2) - 2}{(2) + 2} |$ .

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Paso 1.4.1

Cancela el factor común de $(2) - 2$ y $(2) + 2$ .

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Paso 1.4.1.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$y = | \frac{2 \cdot 1 - 2}{2 + 2} |$

Paso 1.4.1.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$y = | \frac{2 \cdot 1 + 2 \cdot - 1}{(2) + 2} |$

Paso 1.4.1.3

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1 + 2 \cdot - 1$ .

$y = | \frac{2 \cdot (1 - 1)}{(2) + 2} |$

Paso 1.4.1.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.1.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$y = | \frac{2 \cdot (1 - 1)}{2 \cdot 1 + 2} |$

Paso 1.4.1.4.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$y = | \frac{2 \cdot (1 - 1)}{2 \cdot 1 + 2 (1)} |$

Paso 1.4.1.4.3

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1 + 2 (1)$ .

$y = | \frac{2 \cdot (1 - 1)}{2 \cdot (1 + 1)} |$

Paso 1.4.1.4.4

Cancela el factor común.

$y = | \frac{2 \cdot (1 - 1)}{2 \cdot (1 + 1)} |$

Paso 1.4.1.4.5

Reescribe la expresión.

$y = | \frac{1 - 1}{1 + 1} |$

Paso 1.4.2

Simplifica la expresión.

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Paso 1.4.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$y = | \frac{0}{1 + 1} |$

Paso 1.4.2.2

Suma $1$ y $1$ .

$y = | \frac{0}{2} |$

Paso 1.4.2.3

Divide $0$ por $2$ .

$y = | 0 |$

Paso 1.4.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $0$ es $0$ .

$y = 0$

Paso 1.5

El vértice del valor absoluto es $(2, 0)$ .

$(2, 0)$

Paso 2

Obtén el dominio para $f (x) = | \frac{x - 2}{x + 2} |$ de modo que se pueda elegir una lista de valores de $x$ para obtener una lista de puntos, lo que ayudará a graficar la función de valor absoluto.

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Paso 2.1

Establece el denominador en $\frac{x - 2}{x + 2}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x + 2 = 0$

Paso 2.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 2.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq - 2}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq - 2}$

Paso 3

Para cada valor $x$ , hay un valor $y$ . Selecciona algunos valores $x$ del dominio. Sería más útil seleccionar los valores para que estén cerca del valor $x$ del vértice del valor absoluto.

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Paso 3.1

Sustituye el valor $x$ $0$ en $f (x) = | \frac{x - 2}{x + 2} |$ . En este caso, el punto es $(0, 1)$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = | \frac{(0) - 2}{(0) + 2} |$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Cancela el factor común de $(0) - 2$ y $(0) + 2$ .

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Paso 3.1.2.1.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$f (0) = | \frac{2 (0) - 2}{(0) + 2} |$

Paso 3.1.2.1.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$f (0) = | \frac{2 \cdot 0 + 2 \cdot - 1}{(0) + 2} |$

Paso 3.1.2.1.3

Factoriza $2$ de $2 \cdot 0 + 2 \cdot - 1$ .

$f (0) = | \frac{2 \cdot (0 - 1)}{(0) + 2} |$

Paso 3.1.2.1.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.2.1.4.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$f (0) = | \frac{2 \cdot (0 - 1)}{2 (0) + 2} |$

Paso 3.1.2.1.4.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (0) = | \frac{2 \cdot (0 - 1)}{2 \cdot 0 + 2 \cdot 1} |$

Paso 3.1.2.1.4.3

Factoriza $2$ de $2 \cdot 0 + 2 \cdot 1$ .

$f (0) = | \frac{2 \cdot (0 - 1)}{2 \cdot (0 + 1)} |$

Paso 3.1.2.1.4.4

Cancela el factor común.

$f (0) = | \frac{2 \cdot (0 - 1)}{2 \cdot (0 + 1)} |$

Paso 3.1.2.1.4.5

Reescribe la expresión.

$f (0) = | \frac{0 - 1}{0 + 1} |$

Paso 3.1.2.2

Cancela el factor común de $0 - 1$ y $0 + 1$ .

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Paso 3.1.2.2.1

Reescribe $0$ como $- 1 (0)$ .

$f (0) = | \frac{- 1 \cdot 0 - 1}{0 + 1} |$

Paso 3.1.2.2.2

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$f (0) = | \frac{- 1 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{0 + 1} |$

Paso 3.1.2.2.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot 1$ .

$f (0) = | \frac{- 1 \cdot (0 + 1)}{0 + 1} |$

Paso 3.1.2.2.4

Cancela el factor común.

$f (0) = | \frac{- 1 \cdot (0 + 1)}{0 + 1} |$

Paso 3.1.2.2.5

Divide $- 1$ por $1$ .

$f (0) = | - 1 |$

Paso 3.1.2.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $- 1$ y $0$ es $1$ .

$f (0) = 1$

Paso 3.1.2.4

La respuesta final es $1$ .

$y = 1$

Paso 3.2

Sustituye el valor $x$ $1$ en $f (x) = | \frac{x - 2}{x + 2} |$ . En este caso, el punto es $(1, \frac{1}{3})$ .

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Paso 3.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = | \frac{(1) - 2}{(1) + 2} |$

Paso 3.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.2.1

Resta $2$ de $1$ .

$f (1) = | \frac{- 1}{1 + 2} |$

Paso 3.2.2.2

Suma $1$ y $2$ .

$f (1) = | \frac{- 1}{3} |$

Paso 3.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (1) = | - \frac{1}{3} |$

Paso 3.2.2.4

$- \frac{1}{3}$ es aproximadamente $- 0.\overline{3}$ , que es negativo, así es que niega $- \frac{1}{3}$ y elimina el valor absoluto.

$f (1) = \frac{1}{3}$

Paso 3.2.2.5

La respuesta final es $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{1}{3}$

Paso 3.3

Sustituye el valor $x$ $3$ en $f (x) = | \frac{x - 2}{x + 2} |$ . En este caso, el punto es $(3, \frac{1}{5})$ .

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Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = | \frac{(3) - 2}{(3) + 2} |$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.3.2.1

Resta $2$ de $3$ .

$f (3) = | \frac{1}{3 + 2} |$

Paso 3.3.2.2

Suma $3$ y $2$ .

$f (3) = | \frac{1}{5} |$

Paso 3.3.2.3

$\frac{1}{5}$ es aproximadamente $0.2$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$f (3) = \frac{1}{5}$

Paso 3.3.2.4

La respuesta final es $\frac{1}{5}$ .

$y = \frac{1}{5}$

Paso 3.4

Sustituye el valor $x$ $4$ en $f (x) = | \frac{x - 2}{x + 2} |$ . En este caso, el punto es $(4, \frac{1}{3})$ .

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Paso 3.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f (4) = | \frac{(4) - 2}{(4) + 2} |$

Paso 3.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.4.2.1

Cancela el factor común de $(4) - 2$ y $(4) + 2$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (4) = | \frac{2 \cdot 2 - 2}{4 + 2} |$

Paso 3.4.2.1.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$f (4) = | \frac{2 \cdot 2 + 2 \cdot - 1}{(4) + 2} |$

Paso 3.4.2.1.3

Factoriza $2$ de $2 \cdot 2 + 2 \cdot - 1$ .

$f (4) = | \frac{2 \cdot (2 - 1)}{(4) + 2} |$

Paso 3.4.2.1.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.2.1.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (4) = | \frac{2 \cdot (2 - 1)}{2 \cdot 2 + 2} |$

Paso 3.4.2.1.4.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (4) = | \frac{2 \cdot (2 - 1)}{2 \cdot 2 + 2 (1)} |$

Paso 3.4.2.1.4.3

Factoriza $2$ de $2 \cdot 2 + 2 (1)$ .

$f (4) = | \frac{2 \cdot (2 - 1)}{2 \cdot (2 + 1)} |$

Paso 3.4.2.1.4.4

Cancela el factor común.

$f (4) = | \frac{2 \cdot (2 - 1)}{2 \cdot (2 + 1)} |$

Paso 3.4.2.1.4.5

Reescribe la expresión.

$f (4) = | \frac{2 - 1}{2 + 1} |$

Paso 3.4.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 3.4.2.2.1

Resta $1$ de $2$ .

$f (4) = | \frac{1}{2 + 1} |$

Paso 3.4.2.2.2

Suma $2$ y $1$ .

$f (4) = | \frac{1}{3} |$

Paso 3.4.2.3

$\frac{1}{3}$ es aproximadamente $0.\overline{3}$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$f (4) = \frac{1}{3}$

Paso 3.4.2.4

La respuesta final es $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{1}{3}$

Paso 3.5

El valor absoluto puede representarse gráficamente mediante los puntos alrededor del vértice $(2, 0), (0, 1), (1, 0.33), (3, 0.2), (4, 0.33)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 1 \\ 1 & 0.33 \\ 2 & 0 \\ 3 & 0.2 \\ 4 & 0.33 \end{array}$

Paso 4