Preálgebra Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{| x - 1 |}$

Paso 1

Obtén el dominio para $f (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{| x - 1 |}$ de modo que se pueda elegir una lista de valores de $x$ para obtener una lista de puntos, lo que ayudará a graficar la función de valor absoluto.

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Paso 1.1

Establece el denominador en $\frac{(x + 1) (x - 1)}{| x - 1 |}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$| x - 1 | = 0$

Paso 1.2

Resuelve $x$

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Paso 1.2.1

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$x - 1 = \pm 0$

Paso 1.2.2

Más o menos $0$ es $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 1.2.3

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 1.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 1}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 1}$

Paso 2

Para cada valor $x$ , hay un valor $y$ . Selecciona algunos valores $x$ del dominio. Sería más útil seleccionar los valores para que estén cerca del valor $x$ del vértice del valor absoluto.

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Paso 2.1

Sustituye el valor $x$ $- 2$ en $f (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{| x - 1 |}$ . En este caso, el punto es $(- 2, 1)$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = \frac{((- 2) + 1) ((- 2) - 1)}{| (- 2) - 1 |}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.2.1.1

Suma $- 2$ y $1$ .

$f (- 2) = \frac{- 1 (- 2 - 1)}{| - 2 - 1 |}$

Paso 2.1.2.1.2

Resta $1$ de $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{- 1 \cdot - 3}{| - 2 - 1 |}$

Paso 2.1.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1.2.2.1

Resta $1$ de $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{- 1 \cdot - 3}{| - 3 |}$

Paso 2.1.2.2.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $- 3$ y $0$ es $3$ .

$f (- 2) = \frac{- 1 \cdot - 3}{3}$

Paso 2.1.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$f (- 2) = \frac{3}{3}$

Paso 2.1.2.3.2

Divide $3$ por $3$ .

$f (- 2) = 1$

Paso 2.1.2.4

La respuesta final es $1$ .

$y = 1$

Paso 2.2

Sustituye el valor $x$ $- 1$ en $f (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{| x - 1 |}$ . En este caso, el punto es $(- 1, 0)$ .

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Paso 2.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = \frac{((- 1) + 1) ((- 1) - 1)}{| (- 1) - 1 |}$

Paso 2.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.2.1.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$f (- 1) = \frac{0 (- 1 - 1)}{| - 1 - 1 |}$

Paso 2.2.2.1.2

Resta $1$ de $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{0 \cdot - 2}{| - 1 - 1 |}$

Paso 2.2.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.2.2.2.1

Resta $1$ de $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{0 \cdot - 2}{| - 2 |}$

Paso 2.2.2.2.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $- 2$ y $0$ es $2$ .

$f (- 1) = \frac{0 \cdot - 2}{2}$

Paso 2.2.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.2.3.1

Multiplica $0$ por $- 2$ .

$f (- 1) = \frac{0}{2}$

Paso 2.2.2.3.2

Divide $0$ por $2$ .

$f (- 1) = 0$

Paso 2.2.2.4

La respuesta final es $0$ .

$y = 0$

Paso 2.3

Sustituye el valor $x$ $0$ en $f (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{| x - 1 |}$ . En este caso, el punto es $(0, - 1)$ .

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Paso 2.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \frac{((0) + 1) ((0) - 1)}{| (0) - 1 |}$

Paso 2.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.3.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.2.1.1

Reescribe $0$ como $- 1 (0)$ .

$f (0) = \frac{(- 1 \cdot 0 + 1) (0 - 1)}{| 0 - 1 |}$

Paso 2.3.2.1.2

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$f (0) = \frac{(- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 1) (0 - 1)}{| 0 - 1 |}$

Paso 2.3.2.1.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 1$ .

$f (0) = \frac{- 1 \cdot ((0 - 1) (0 - 1))}{| 0 - 1 |}$

Paso 2.3.2.1.4

Eleva $0 - 1$ a la potencia de $1$ .

$f (0) = \frac{- 1 \cdot ((0 - 1) (0 - 1))}{| 0 - 1 |}$

Paso 2.3.2.1.5

Eleva $0 - 1$ a la potencia de $1$ .

$f (0) = \frac{- 1 \cdot ((0 - 1) (0 - 1))}{| 0 - 1 |}$

Paso 2.3.2.1.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (0) = \frac{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{1 + 1}}{| 0 - 1 |}$

Paso 2.3.2.1.7

Suma $1$ y $1$ .

$f (0) = \frac{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{2}}{| 0 - 1 |}$

Paso 2.3.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.3.2.2.1

Resta $1$ de $0$ .

$f (0) = \frac{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{2}}{| - 1 |}$

Paso 2.3.2.2.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $- 1$ y $0$ es $1$ .

$f (0) = \frac{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{2}}{1}$

Paso 2.3.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.2.3.1

Resta $1$ de $0$ .

$f (0) = \frac{- 1 {(- 1)}^{2}}{1}$

Paso 2.3.2.3.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (0) = \frac{- 1 \cdot 1}{1}$

Paso 2.3.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.2.4.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (0) = \frac{- 1}{1}$

Paso 2.3.2.4.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$f (0) = - 1$

Paso 2.3.2.5

La respuesta final es $- 1$ .

$y = - 1$

Paso 2.4

Sustituye el valor $x$ $2$ en $f (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{| x - 1 |}$ . En este caso, el punto es $(2, 3)$ .

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Paso 2.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = \frac{((2) + 1) ((2) - 1)}{| (2) - 1 |}$

Paso 2.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.4.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.2.1.1

Suma $2$ y $1$ .

$f (2) = \frac{3 (2 - 1)}{| 2 - 1 |}$

Paso 2.4.2.1.2

Resta $1$ de $2$ .

$f (2) = \frac{3 \cdot 1}{| 2 - 1 |}$

Paso 2.4.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.4.2.2.1

Resta $1$ de $2$ .

$f (2) = \frac{3 \cdot 1}{| 1 |}$

Paso 2.4.2.2.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$f (2) = \frac{3 \cdot 1}{1}$

Paso 2.4.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.2.3.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$f (2) = \frac{3}{1}$

Paso 2.4.2.3.2

Divide $3$ por $1$ .

$f (2) = 3$

Paso 2.4.2.4

La respuesta final es $3$ .

$y = 3$

Paso 2.5

El valor absoluto puede representarse gráficamente mediante los puntos alrededor del vértice $(- 2, 1), (- 1, 0), (0, - 1), (2, 3)$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 1 \\ - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array}$

Paso 3