Preálgebra Ejemplos

$81 x^{2} + 81 y^{2} - 36 x + 36 y - 8 = 0$

Paso 1

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$81 x^{2} + 81 y^{2} - 36 x + 36 y = 8$

Paso 2

Divide ambos lados de la ecuación por $81$ .

$x^{2} + y^{2} - \frac{4 x}{9} + \frac{4 y}{9} = \frac{8}{81}$

Paso 3

Completa el cuadrado de $x^{2} - \frac{4 x}{9}$ .

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Paso 3.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = - \frac{4}{9}$

$c = 0$

Paso 3.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 3.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 3.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{4}{9}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $- 1$ y $1$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$d = \frac{- 1 (1) \frac{4}{9}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.2.1.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{- 1 \cdot 1 \frac{4}{9}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.2.1.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- \frac{4}{9}}{2}$

Paso 3.3.2.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = - \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 3.3.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{4}{9}$ al numerador.

$d = \frac{- 4}{9} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 3.3.2.3.2

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$d = \frac{2 (- 2)}{9} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 3.3.2.3.3

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{9} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 3.3.2.3.4

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 2}{9}$

Paso 3.3.2.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d = - \frac{2}{9}$

Paso 3.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 3.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- \frac{4}{9})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{4}{9}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{4}{9})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 3.4.2.1.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{1 {(\frac{4}{9})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 3.4.2.1.1.3

Aplica la regla del producto a $\frac{4}{9}$ .

$e = 0 - \frac{1 \frac{4^{2}}{9^{2}}}{4 \cdot 1}$

Paso 3.4.2.1.1.4

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \frac{16}{9^{2}}}{4 \cdot 1}$

Paso 3.4.2.1.1.5

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{1 (\frac{16}{81})}{4 \cdot 1}$

Paso 3.4.2.1.1.6

Multiplica $\frac{16}{81}$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{16}{81}}{4 \cdot 1}$

Paso 3.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{16}{81}}{4}$

Paso 3.4.2.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = 0 - (\frac{16}{81} \cdot \frac{1}{4})$

Paso 3.4.2.1.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.4.2.1.4.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$e = 0 - (\frac{4 (4)}{81} \cdot \frac{1}{4})$

Paso 3.4.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$e = 0 - (\frac{4 \cdot 4}{81} \cdot \frac{1}{4})$

Paso 3.4.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$e = 0 - \frac{4}{81}$

Paso 3.4.2.2

Resta $\frac{4}{81}$ de $0$ .

$e = - \frac{4}{81}$

Paso 3.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(x - \frac{2}{9})}^{2} - \frac{4}{81}$ .

${(x - \frac{2}{9})}^{2} - \frac{4}{81}$

Paso 4

Sustituye ${(x - \frac{2}{9})}^{2} - \frac{4}{81}$ por $x^{2} - \frac{4 x}{9}$ en la ecuación $x^{2} + y^{2} - \frac{4 x}{9} + \frac{4 y}{9} = \frac{8}{81}$ .

${(x - \frac{2}{9})}^{2} - \frac{4}{81} + y^{2} + \frac{4 y}{9} = \frac{8}{81}$

Paso 5

Mueve $- \frac{4}{81}$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $\frac{4}{81}$ a ambos lados.

${(x - \frac{2}{9})}^{2} + y^{2} + \frac{4 y}{9} = \frac{8}{81} + \frac{4}{81}$

Paso 6

Completa el cuadrado de $y^{2} + \frac{4 y}{9}$ .

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Paso 6.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = \frac{4}{9}$

$c = 0$

Paso 6.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 6.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 6.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{4}{9}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$d = \frac{2 (2)}{9} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.2.2.2

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 (2)}{9} \cdot \frac{1}{2 (1)}$

Paso 6.3.2.2.3

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 2}{9} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.2.2.4

Reescribe la expresión.

$d = \frac{2}{9}$

Paso 6.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 6.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(\frac{4}{9})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 6.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.4.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.4.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{4}{9}$ .

$e = 0 - \frac{\frac{4^{2}}{9^{2}}}{4 \cdot 1}$

Paso 6.4.2.1.1.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{16}{9^{2}}}{4 \cdot 1}$

Paso 6.4.2.1.1.3

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{16}{81}}{4 \cdot 1}$

Paso 6.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{16}{81}}{4}$

Paso 6.4.2.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = 0 - (\frac{16}{81} \cdot \frac{1}{4})$

Paso 6.4.2.1.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 6.4.2.1.4.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$e = 0 - (\frac{4 (4)}{81} \cdot \frac{1}{4})$

Paso 6.4.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$e = 0 - (\frac{4 \cdot 4}{81} \cdot \frac{1}{4})$

Paso 6.4.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$e = 0 - \frac{4}{81}$

Paso 6.4.2.2

Resta $\frac{4}{81}$ de $0$ .

$e = - \frac{4}{81}$

Paso 6.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(y + \frac{2}{9})}^{2} - \frac{4}{81}$ .

${(y + \frac{2}{9})}^{2} - \frac{4}{81}$

Paso 7

Sustituye ${(y + \frac{2}{9})}^{2} - \frac{4}{81}$ por $y^{2} + \frac{4 y}{9}$ en la ecuación $x^{2} + y^{2} - \frac{4 x}{9} + \frac{4 y}{9} = \frac{8}{81}$ .

${(x - \frac{2}{9})}^{2} + {(y + \frac{2}{9})}^{2} - \frac{4}{81} = \frac{8}{81} + \frac{4}{81}$

Paso 8

Mueve $- \frac{4}{81}$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $\frac{4}{81}$ a ambos lados.

${(x - \frac{2}{9})}^{2} + {(y + \frac{2}{9})}^{2} = \frac{8}{81} + \frac{4}{81} + \frac{4}{81}$

Paso 9

Simplifica $\frac{8}{81} + \frac{4}{81} + \frac{4}{81}$ .

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Paso 9.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(x - \frac{2}{9})}^{2} + {(y + \frac{2}{9})}^{2} = \frac{8 + 4 + 4}{81}$

Paso 9.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 9.2.1

Suma $8$ y $4$ .

${(x - \frac{2}{9})}^{2} + {(y + \frac{2}{9})}^{2} = \frac{12 + 4}{81}$

Paso 9.2.2

Suma $12$ y $4$ .

${(x - \frac{2}{9})}^{2} + {(y + \frac{2}{9})}^{2} = \frac{16}{81}$

Paso 10

Esta es la forma de un círculo. Usa esta forma para determinar el centro y el radio del círculo.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Paso 11

Haz coincidir los valores de este círculo con los de la ecuación ordinaria. La variable $r$ representa el radio del círculo, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$r = \frac{4}{9}$

$h = \frac{2}{9}$

$k = - \frac{2}{9}$

Paso 12

El centro del círculo se ubica en $(h, k)$ .

Centro: $(\frac{2}{9}, - \frac{2}{9})$

Paso 13

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de un círculo.

Centro: $(\frac{2}{9}, - \frac{2}{9})$

Radio: $\frac{4}{9}$

Paso 14