Preálgebra Ejemplos

$8 x^{2} + 3 y^{2} = 72$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la elipse.

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Paso 1.1

Divide cada término por $72$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{8 x^{2}}{72} + \frac{3 y^{2}}{72} = \frac{72}{72}$

Paso 1.2

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{24} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una elipse. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener el centro, junto con los ejes mayor y menor de la elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta elipse con los de la ecuación ordinaria. La variable $a$ representa el radio del eje mayor de la elipse, $b$ representa el radio del eje menor de la elipse, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$a = 2 \sqrt{6}$

$b = 3$

$k = 0$

$h = 0$

Paso 4

El centro de una elipse sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(0, 0)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la elipse con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(2 \sqrt{6})}^{2} - {(3)}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.1.1

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{6}$ .

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{6}}^{2} - {(3)}^{2}}$

Paso 5.3.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{4 {\sqrt{6}}^{2} - {(3)}^{2}}$

Paso 5.3.2

Reescribe ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

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Paso 5.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(3)}^{2}}$

Paso 5.3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(3)}^{2}}$

Paso 5.3.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 6^{\frac{2}{2}} - {(3)}^{2}}$

Paso 5.3.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{4 \cdot 6^{\frac{2}{2}} - {(3)}^{2}}$

Paso 5.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{4 \cdot 6^{1} - {(3)}^{2}}$

Paso 5.3.2.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{4 \cdot 6 - {(3)}^{2}}$

Paso 5.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.3.1

Multiplica $4$ por $6$ .

$\sqrt{24 - {(3)}^{2}}$

Paso 5.3.3.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{24 - 1 \cdot 9}$

Paso 5.3.3.3

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$\sqrt{24 - 9}$

Paso 5.3.3.4

Resta $9$ de $24$ .

$\sqrt{15}$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una elipse puede obtenerse al sumar $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(0, 0 + 2 \sqrt{6})$

Paso 6.3

Simplifica.

$(0, 2 \sqrt{6})$

Paso 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Paso 6.5

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(0, 0 - (2 \sqrt{6}))$

Paso 6.6

Simplifica.

$(0, - 2 \sqrt{6})$

Paso 6.7

Las elipses tienen dos vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 2 \sqrt{6})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2 \sqrt{6})$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 2 \sqrt{6})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2 \sqrt{6})$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una elipse puede obtenerse al sumar $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(0, 0 + \sqrt{15})$

Paso 7.3

Simplifica.

$(0, \sqrt{15})$

Paso 7.4

El primer foco de una elipse puede obtenerse al restar $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Paso 7.5

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(0, 0 - (\sqrt{15}))$

Paso 7.6

Simplifica.

$(0, - \sqrt{15})$

Paso 7.7

Las elipses tienen dos focos.

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{15})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{15})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{15})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{15})$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(2 \sqrt{6})}^{2} - {(3)}^{2}}}{2 \sqrt{6}}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1.1

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{6}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} {\sqrt{6}}^{2} - 3^{2}}}{2 \sqrt{6}}$

Paso 8.3.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{4 {\sqrt{6}}^{2} - 3^{2}}}{2 \sqrt{6}}$

Paso 8.3.1.3

Reescribe ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

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Paso 8.3.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3^{2}}}{2 \sqrt{6}}$

Paso 8.3.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3^{2}}}{2 \sqrt{6}}$

Paso 8.3.1.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 6^{\frac{2}{2}} - 3^{2}}}{2 \sqrt{6}}$

Paso 8.3.1.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.1.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 6^{\frac{2}{2}} - 3^{2}}}{2 \sqrt{6}}$

Paso 8.3.1.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 6^{1} - 3^{2}}}{2 \sqrt{6}}$

Paso 8.3.1.3.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 6 - 3^{2}}}{2 \sqrt{6}}$

Paso 8.3.1.4

Multiplica $4$ por $6$ .

$\frac{\sqrt{24 - 3^{2}}}{2 \sqrt{6}}$

Paso 8.3.1.5

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{24 - 1 \cdot 9}}{2 \sqrt{6}}$

Paso 8.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$\frac{\sqrt{24 - 9}}{2 \sqrt{6}}$

Paso 8.3.1.7

Resta $9$ de $24$ .

$\frac{\sqrt{15}}{2 \sqrt{6}}$

Paso 8.3.2

Combina $\sqrt{15}$ y $\sqrt{6}$ en un solo radical.

$\frac{\sqrt{\frac{15}{6}}}{2}$

Paso 8.3.3

Cancela el factor común de $15$ y $6$ .

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Paso 8.3.3.1

Factoriza $3$ de $15$ .

$\frac{\sqrt{\frac{3 (5)}{6}}}{2}$

Paso 8.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.3.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 2}}}{2}$

Paso 8.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 2}}}{2}$

Paso 8.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{\frac{5}{2}}}{2}$

Paso 8.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.4.1

Reescribe $\sqrt{\frac{5}{2}}$ como $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}}{2}$

Paso 8.3.4.2

Multiplica $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}{2}$

Paso 8.3.4.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 8.3.4.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}}{2}$

Paso 8.3.4.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}}{2}$

Paso 8.3.4.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}}{2}$

Paso 8.3.4.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}}{2}$

Paso 8.3.4.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}}{2}$

Paso 8.3.4.3.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 8.3.4.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2}$

Paso 8.3.4.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2}$

Paso 8.3.4.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Paso 8.3.4.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.4.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Paso 8.3.4.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{1}}}{2}$

Paso 8.3.4.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2}}{2}$

Paso 8.3.4.4

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.4.4.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\frac{\sqrt{5 \cdot 2}}{2}}{2}$

Paso 8.3.4.4.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{10}}{2}}{2}$

Paso 8.3.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{\sqrt{10}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 8.3.6

Multiplica $\frac{\sqrt{10}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 8.3.6.1

Multiplica $\frac{\sqrt{10}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{10}}{2 \cdot 2}$

Paso 8.3.6.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{10}}{4}$

Paso 9

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una elipse.

Centro: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 2 \sqrt{6})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2 \sqrt{6})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{15})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{15})$

Excentricidad: $\frac{\sqrt{10}}{4}$

Paso 10