Preálgebra Ejemplos

$f (x) = - 7 x^{2} + 3 x + 9$

Paso 1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 1.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1.1

Completa el cuadrado de $- 7 x^{2} + 3 x + 9$ .

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Paso 1.1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 7$

$b = 3$

$c = 9$

Paso 1.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{3}{2 \cdot - 7}$

Paso 1.1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.3.2.1

Multiplica $2$ por $- 7$ .

$d = \frac{3}{- 14}$

Paso 1.1.1.3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d = - \frac{3}{14}$

Paso 1.1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 9 - \frac{3^{2}}{4 \cdot - 7}$

Paso 1.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.4.2.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$e = 9 - \frac{9}{4 \cdot - 7}$

Paso 1.1.1.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 7$ .

$e = 9 - \frac{9}{- 28}$

Paso 1.1.1.4.2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = 9 - - \frac{9}{28}$

Paso 1.1.1.4.2.1.4

Multiplica $- - \frac{9}{28}$ .

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Paso 1.1.1.4.2.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e = 9 + 1 (\frac{9}{28})$

Paso 1.1.1.4.2.1.4.2

Multiplica $\frac{9}{28}$ por $1$ .

$e = 9 + \frac{9}{28}$

Paso 1.1.1.4.2.2

Para escribir $9$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{28}{28}$ .

$e = 9 \cdot \frac{28}{28} + \frac{9}{28}$

Paso 1.1.1.4.2.3

Combina $9$ y $\frac{28}{28}$ .

$e = \frac{9 \cdot 28}{28} + \frac{9}{28}$

Paso 1.1.1.4.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{9 \cdot 28 + 9}{28}$

Paso 1.1.1.4.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1.4.2.5.1

Multiplica $9$ por $28$ .

$e = \frac{252 + 9}{28}$

Paso 1.1.1.4.2.5.2

Suma $252$ y $9$ .

$e = \frac{261}{28}$

Paso 1.1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- 7 {(x - \frac{3}{14})}^{2} + \frac{261}{28}$ .

$- 7 {(x - \frac{3}{14})}^{2} + \frac{261}{28}$

Paso 1.1.2

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = - 7 {(x - \frac{3}{14})}^{2} + \frac{261}{28}$

Paso 1.2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - 7$

$h = \frac{3}{14}$

$k = \frac{261}{28}$

Paso 1.3

Como el valor de $a$ es negativo, la parábola se abre hacia abajo.

Abre hacia abajo

Paso 1.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(\frac{3}{14}, \frac{261}{28})$

Paso 1.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 1.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 1.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot - 7}$

Paso 1.5.3

Simplifica.

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Paso 1.5.3.1

Multiplica $4$ por $- 7$ .

$\frac{1}{- 28}$

Paso 1.5.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{28}$

Paso 1.6

Obtén el foco.

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Paso 1.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 1.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(\frac{3}{14}, \frac{65}{7})$

Paso 1.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = \frac{3}{14}$

Paso 1.8

Obtén la directriz.

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Paso 1.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 1.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = \frac{131}{14}$

Paso 1.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(\frac{3}{14}, \frac{261}{28})$

Foco: $(\frac{3}{14}, \frac{65}{7})$

Eje de simetría: $x = \frac{3}{14}$

Directriz: $y = \frac{131}{14}$

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(\frac{3}{14}, \frac{261}{28})$

Foco: $(\frac{3}{14}, \frac{65}{7})$

Eje de simetría: $x = \frac{3}{14}$

Directriz: $y = \frac{131}{14}$

Paso 2

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = - 7 {(- 1)}^{2} + 3 (- 1) + 9$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- 1) = - 7 \cdot 1 + 3 (- 1) + 9$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $- 7$ por $1$ .

$f (- 1) = - 7 + 3 (- 1) + 9$

Paso 2.2.1.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f (- 1) = - 7 - 3 + 9$

Paso 2.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.2.2.1

Resta $3$ de $- 7$ .

$f (- 1) = - 10 + 9$

Paso 2.2.2.2

Suma $- 10$ y $9$ .

$f (- 1) = - 1$

Paso 2.2.3

La respuesta final es $- 1$ .

$- 1$

Paso 2.3

El valor de $y$ en $x = - 1$ es $- 1$ .

$y = - 1$

Paso 2.4

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = - 7 {(1)}^{2} + 3 (1) + 9$

Paso 2.5

Simplifica el resultado.

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Paso 2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = - 7 \cdot 1 + 3 (1) + 9$

Paso 2.5.1.2

Multiplica $- 7$ por $1$ .

$f (1) = - 7 + 3 (1) + 9$

Paso 2.5.1.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$f (1) = - 7 + 3 + 9$

Paso 2.5.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 2.5.2.1

Suma $- 7$ y $3$ .

$f (1) = - 4 + 9$

Paso 2.5.2.2

Suma $- 4$ y $9$ .

$f (1) = 5$

Paso 2.5.3

La respuesta final es $5$ .

$5$

Paso 2.6

El valor de $y$ en $x = 1$ es $5$ .

$y = 5$

Paso 2.7

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = - 7 {(2)}^{2} + 3 (2) + 9$

Paso 2.8

Simplifica el resultado.

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Paso 2.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.8.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (2) = - 7 \cdot 4 + 3 (2) + 9$

Paso 2.8.1.2

Multiplica $- 7$ por $4$ .

$f (2) = - 28 + 3 (2) + 9$

Paso 2.8.1.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$f (2) = - 28 + 6 + 9$

Paso 2.8.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 2.8.2.1

Suma $- 28$ y $6$ .

$f (2) = - 22 + 9$

Paso 2.8.2.2

Suma $- 22$ y $9$ .

$f (2) = - 13$

Paso 2.8.3

La respuesta final es $- 13$ .

$- 13$

Paso 2.9

El valor de $y$ en $x = 2$ es $- 13$ .

$y = - 13$

Paso 2.10

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 1 \\ \frac{3}{14} & \frac{261}{28} \\ 1 & 5 \\ 2 & - 13 \end{array}$

Paso 3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(\frac{3}{14}, \frac{261}{28})$

Foco: $(\frac{3}{14}, \frac{65}{7})$

Eje de simetría: $x = \frac{3}{14}$

Directriz: $y = \frac{131}{14}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 1 \\ \frac{3}{14} & \frac{261}{28} \\ 1 & 5 \\ 2 & - 13 \end{array}$

Paso 4