Preálgebra Ejemplos

$h (x) = {(1 - 9 x)}^{2}$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Reordena los términos.

$y = {(- 9 x + 1)}^{2}$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de ${(- 9 x + 1)}^{2}$ .

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Paso 1.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.1.1

Reescribe ${(- 9 x + 1)}^{2}$ como $(- 9 x + 1) (- 9 x + 1)$ .

$(- 9 x + 1) (- 9 x + 1)$

Paso 1.2.1.2

Expande $(- 9 x + 1) (- 9 x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 9 x (- 9 x + 1) + 1 (- 9 x + 1)$

Paso 1.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 9 x (- 9 x) - 9 x \cdot 1 + 1 (- 9 x + 1)$

Paso 1.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 9 x (- 9 x) - 9 x \cdot 1 + 1 (- 9 x) + 1 \cdot 1$

Paso 1.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 9 \cdot - 9 x \cdot x - 9 x \cdot 1 + 1 (- 9 x) + 1 \cdot 1$

Paso 1.2.1.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.1.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$- 9 \cdot - 9 (x \cdot x) - 9 x \cdot 1 + 1 (- 9 x) + 1 \cdot 1$

Paso 1.2.1.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$- 9 \cdot - 9 x^{2} - 9 x \cdot 1 + 1 (- 9 x) + 1 \cdot 1$

Paso 1.2.1.3.1.3

Multiplica $- 9$ por $- 9$ .

$81 x^{2} - 9 x \cdot 1 + 1 (- 9 x) + 1 \cdot 1$

Paso 1.2.1.3.1.4

Multiplica $- 9$ por $1$ .

$81 x^{2} - 9 x + 1 (- 9 x) + 1 \cdot 1$

Paso 1.2.1.3.1.5

Multiplica $- 9 x$ por $1$ .

$81 x^{2} - 9 x - 9 x + 1 \cdot 1$

Paso 1.2.1.3.1.6

Multiplica $1$ por $1$ .

$81 x^{2} - 9 x - 9 x + 1$

Paso 1.2.1.3.2

Resta $9 x$ de $- 9 x$ .

$81 x^{2} - 18 x + 1$

Paso 1.2.2

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 81$

$b = - 18$

$c = 1$

Paso 1.2.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 18}{2 \cdot 81}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Cancela el factor común de $- 18$ y $2$ .

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Paso 1.2.4.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 18$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 81}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.4.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 81$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 (81)}$

Paso 1.2.4.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 81}$

Paso 1.2.4.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 9}{81}$

Paso 1.2.4.2.2

Cancela el factor común de $- 9$ y $81$ .

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Paso 1.2.4.2.2.1

Factoriza $9$ de $- 9$ .

$d = \frac{9 (- 1)}{81}$

Paso 1.2.4.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.4.2.2.2.1

Factoriza $9$ de $81$ .

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 9}$

Paso 1.2.4.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 9}$

Paso 1.2.4.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 1}{9}$

Paso 1.2.4.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d = - \frac{1}{9}$

Paso 1.2.5

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.5.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{{(- 18)}^{2}}{4 \cdot 81}$

Paso 1.2.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.5.2.1.1

Eleva $- 18$ a la potencia de $2$ .

$e = 1 - \frac{324}{4 \cdot 81}$

Paso 1.2.5.2.1.2

Multiplica $4$ por $81$ .

$e = 1 - \frac{324}{324}$

Paso 1.2.5.2.1.3

Cancela el factor común de $324$ .

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Paso 1.2.5.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$e = 1 - \frac{324}{324}$

Paso 1.2.5.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$e = 1 - 1 \cdot 1$

Paso 1.2.5.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e = 1 - 1$

Paso 1.2.5.2.2

Resta $1$ de $1$ .

$e = 0$

Paso 1.2.6

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $81 {(x - \frac{1}{9})}^{2} + 0$ .

$81 {(x - \frac{1}{9})}^{2} + 0$

Paso 1.3

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = 81 {(x - \frac{1}{9})}^{2} + 0$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = 81$

$h = \frac{1}{9}$

$k = 0$

Paso 3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(\frac{1}{9}, 0)$

Paso 5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 81}$

Paso 5.3

Multiplica $4$ por $81$ .

$\frac{1}{324}$

Paso 6

Obtén el foco.

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Paso 6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(\frac{1}{9}, \frac{1}{324})$

Paso 7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = \frac{1}{9}$

Paso 8

Obtén la directriz.

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Paso 8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = - \frac{1}{324}$

Paso 9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(\frac{1}{9}, 0)$

Foco: $(\frac{1}{9}, \frac{1}{324})$

Eje de simetría: $x = \frac{1}{9}$

Directriz: $y = - \frac{1}{324}$

Paso 10