Preálgebra Ejemplos

$x = - \frac{1}{5} \cdot {(y - 2)}^{2} - 4$

Paso 1

Simplifica $- \frac{1}{5} \cdot {(y - 2)}^{2} - 4$ .

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

Reescribe ${(y - 2)}^{2}$ como $(y - 2) (y - 2)$ .

$x = - \frac{1}{5} \cdot ((y - 2) (y - 2)) - 4$

Paso 1.1.2

Expande $(y - 2) (y - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = - \frac{1}{5} \cdot (y (y - 2) - 2 (y - 2)) - 4$

Paso 1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x = - \frac{1}{5} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 (y - 2)) - 4$

Paso 1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x = - \frac{1}{5} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2) - 4$

Paso 1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$x = - \frac{1}{5} \cdot (y^{2} + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2) - 4$

Paso 1.1.3.1.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $y$ .

$x = - \frac{1}{5} \cdot (y^{2} - 2 \cdot y - 2 y - 2 \cdot - 2) - 4$

Paso 1.1.3.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$x = - \frac{1}{5} \cdot (y^{2} - 2 y - 2 y + 4) - 4$

Paso 1.1.3.2

Resta $2 y$ de $- 2 y$ .

$x = - \frac{1}{5} \cdot (y^{2} - 4 y + 4) - 4$

Paso 1.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$x = - \frac{1}{5} y^{2} - \frac{1}{5} (- 4 y) - \frac{1}{5} \cdot 4 - 4$

Paso 1.1.5

Simplifica.

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Paso 1.1.5.1

Combina $y^{2}$ y $\frac{1}{5}$ .

$x = - \frac{y^{2}}{5} - \frac{1}{5} (- 4 y) - \frac{1}{5} \cdot 4 - 4$

Paso 1.1.5.2

Multiplica $- \frac{1}{5} (- 4 y)$ .

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Paso 1.1.5.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = - \frac{y^{2}}{5} + 4 (\frac{1}{5}) y - \frac{1}{5} \cdot 4 - 4$

Paso 1.1.5.2.2

Combina $4$ y $\frac{1}{5}$ .

$x = - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4}{5} y - \frac{1}{5} \cdot 4 - 4$

Paso 1.1.5.2.3

Combina $\frac{4}{5}$ y $y$ .

$x = - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y}{5} - \frac{1}{5} \cdot 4 - 4$

Paso 1.1.5.3

Multiplica $- \frac{1}{5} \cdot 4$ .

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Paso 1.1.5.3.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$x = - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y}{5} - 4 (\frac{1}{5}) - 4$

Paso 1.1.5.3.2

Combina $- 4$ y $\frac{1}{5}$ .

$x = - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y}{5} + \frac{- 4}{5} - 4$

Paso 1.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y}{5} - \frac{4}{5} - 4$

Paso 1.2

Para escribir $- 4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$x = - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y}{5} - \frac{4}{5} - 4 \cdot \frac{5}{5}$

Paso 1.3

Combina $- 4$ y $\frac{5}{5}$ .

$x = - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y}{5} - \frac{4}{5} + \frac{- 4 \cdot 5}{5}$

Paso 1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y}{5} + \frac{- 4 - 4 \cdot 5}{5}$

Paso 1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.5.1

Multiplica $- 4$ por $5$ .

$x = - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y}{5} + \frac{- 4 - 20}{5}$

Paso 1.5.2

Resta $20$ de $- 4$ .

$x = - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y}{5} + \frac{- 24}{5}$

Paso 1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y}{5} - \frac{24}{5}$

Paso 2

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 2.1.1

Completa el cuadrado de $- \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y}{5} - \frac{24}{5}$ .

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Paso 2.1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - \frac{1}{5}$

$b = \frac{4}{5}$

$c = - \frac{24}{5}$

Paso 2.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{4}{5}}{2 (- \frac{1}{5})}$

Paso 2.1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.1.3.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{5})}$

Paso 2.1.1.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.1.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$d = \frac{2 (2)}{5} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{5})}$

Paso 2.1.1.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 2}{5} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{5})}$

Paso 2.1.1.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{- \frac{1}{5}}$

Paso 2.1.1.3.2.3

Multiplica $\frac{2}{5}$ por $\frac{1}{- \frac{1}{5}}$ .

$d = \frac{2}{5 (- \frac{1}{5})}$

Paso 2.1.1.3.2.4

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$d = \frac{2}{- 5 (\frac{1}{5})}$

Paso 2.1.1.3.2.5

Combina $- 5$ y $\frac{1}{5}$ .

$d = \frac{2}{\frac{- 5}{5}}$

Paso 2.1.1.3.2.6

Cancela el factor común de $- 5$ y $5$ .

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Paso 2.1.1.3.2.6.1

Factoriza $5$ de $- 5$ .

$d = \frac{2}{\frac{5 \cdot - 1}{5}}$

Paso 2.1.1.3.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.1.3.2.6.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$d = \frac{2}{\frac{5 \cdot - 1}{5 (1)}}$

Paso 2.1.1.3.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2}{\frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1}}$

Paso 2.1.1.3.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{2}{\frac{- 1}{1}}$

Paso 2.1.1.3.2.6.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$d = \frac{2}{- 1}$

Paso 2.1.1.3.2.7

Mueve el negativo del denominador de $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Paso 2.1.1.3.2.8

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$d = - 2$

Paso 2.1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{24}{5} - \frac{{(\frac{4}{5})}^{2}}{4 (- \frac{1}{5})}$

Paso 2.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.4.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.1.4.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{4}{5}$ .

$e = - \frac{24}{5} - \frac{\frac{4^{2}}{5^{2}}}{4 (- \frac{1}{5})}$

Paso 2.1.1.4.2.1.1.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$e = - \frac{24}{5} - \frac{\frac{16}{5^{2}}}{4 (- \frac{1}{5})}$

Paso 2.1.1.4.2.1.1.3

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$e = - \frac{24}{5} - \frac{\frac{16}{25}}{4 (- \frac{1}{5})}$

Paso 2.1.1.4.2.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1.1.4.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = - \frac{24}{5} - \frac{\frac{16}{25}}{- 4 (\frac{1}{5})}$

Paso 2.1.1.4.2.1.2.2

Combina $- 4$ y $\frac{1}{5}$ .

$e = - \frac{24}{5} - \frac{\frac{16}{25}}{\frac{- 4}{5}}$

Paso 2.1.1.4.2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = - \frac{24}{5} - \frac{\frac{16}{25}}{- \frac{4}{5}}$

Paso 2.1.1.4.2.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = - \frac{24}{5} - (\frac{16}{25} (- \frac{5}{4}))$

Paso 2.1.1.4.2.1.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.1.1.4.2.1.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{5}{4}$ al numerador.

$e = - \frac{24}{5} - (\frac{16}{25} \cdot \frac{- 5}{4})$

Paso 2.1.1.4.2.1.5.2

Factoriza $4$ de $16$ .

$e = - \frac{24}{5} - (\frac{4 (4)}{25} \cdot \frac{- 5}{4})$

Paso 2.1.1.4.2.1.5.3

Cancela el factor común.

$e = - \frac{24}{5} - (\frac{4 \cdot 4}{25} \cdot \frac{- 5}{4})$

Paso 2.1.1.4.2.1.5.4

Reescribe la expresión.

$e = - \frac{24}{5} - (\frac{4}{25} \cdot - 5)$

Paso 2.1.1.4.2.1.6

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 2.1.1.4.2.1.6.1

Factoriza $5$ de $25$ .

$e = - \frac{24}{5} - (\frac{4}{5 (5)} \cdot - 5)$

Paso 2.1.1.4.2.1.6.2

Factoriza $5$ de $- 5$ .

$e = - \frac{24}{5} - (\frac{4}{5 \cdot 5} \cdot (5 \cdot - 1))$

Paso 2.1.1.4.2.1.6.3

Cancela el factor común.

$e = - \frac{24}{5} - (\frac{4}{5 \cdot 5} \cdot (5 \cdot - 1))$

Paso 2.1.1.4.2.1.6.4

Reescribe la expresión.

$e = - \frac{24}{5} - (\frac{4}{5} \cdot - 1)$

Paso 2.1.1.4.2.1.7

Combina $\frac{4}{5}$ y $- 1$ .

$e = - \frac{24}{5} - \frac{4 \cdot - 1}{5}$

Paso 2.1.1.4.2.1.8

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$e = - \frac{24}{5} - \frac{- 4}{5}$

Paso 2.1.1.4.2.1.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = - \frac{24}{5} - - \frac{4}{5}$

Paso 2.1.1.4.2.1.10

Multiplica $- - \frac{4}{5}$ .

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Paso 2.1.1.4.2.1.10.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e = - \frac{24}{5} + 1 (\frac{4}{5})$

Paso 2.1.1.4.2.1.10.2

Multiplica $\frac{4}{5}$ por $1$ .

$e = - \frac{24}{5} + \frac{4}{5}$

Paso 2.1.1.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{- 24 + 4}{5}$

Paso 2.1.1.4.2.3

Suma $- 24$ y $4$ .

$e = \frac{- 20}{5}$

Paso 2.1.1.4.2.4

Divide $- 20$ por $5$ .

$e = - 4$

Paso 2.1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- \frac{1}{5} {(y - 2)}^{2} - 4$ .

$- \frac{1}{5} {(y - 2)}^{2} - 4$

Paso 2.1.2

Establece $x$ igual al nuevo lado derecho.

$x = - \frac{1}{5} \cdot {(y - 2)}^{2} - 4$

Paso 2.2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - \frac{1}{5}$

$h = - 4$

$k = 2$

Paso 2.3

Como el valor de $a$ es negativo, la parábola se abre hacia la izquierda.

Abre hacia la izquierda

Paso 2.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- 4, 2)$

Paso 2.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 2.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 2.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{5})}$

Paso 2.5.3

Simplifica.

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Paso 2.5.3.1

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 2.5.3.1.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{5})}$

Paso 2.5.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{5})}$

Paso 2.5.3.2

Combina $4$ y $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{5}}$

Paso 2.5.3.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- (1 (\frac{5}{4}))$

Paso 2.5.3.4

Multiplica $\frac{5}{4}$ por $1$ .

$- \frac{5}{4}$

Paso 2.6

Obtén el foco.

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Paso 2.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada x $h$ si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$(h + p, k)$

Paso 2.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- \frac{21}{4}, 2)$

Paso 2.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$y = 2$

Paso 2.8

Obtén la directriz.

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Paso 2.8.1

La directriz de una parábola es la recta vertical que se obtiene al restar $p$ de la coordenada x $h$ del vértice si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$x = h - p$

Paso 2.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $h$ en la fórmula y simplifica.

$x = - \frac{11}{4}$

Paso 2.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia la izquierda

Vértice: $(- 4, 2)$

Foco: $(- \frac{21}{4}, 2)$

Eje de simetría: $y = 2$

Directriz: $x = - \frac{11}{4}$

Dirección: abre hacia la izquierda

Vértice: $(- 4, 2)$

Foco: $(- \frac{21}{4}, 2)$

Eje de simetría: $y = 2$

Directriz: $x = - \frac{11}{4}$

Paso 3

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 3.1

Sustituye el valor $x$ $- 6$ en $f (x) = \sqrt{5 (- x - 4)} + 2$ . En este caso, el punto es $(- 6, 5.16227766)$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 6$ en la expresión.

$f (- 6) = \sqrt{5 (- (- 6) - 4)} + 2$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

$f (- 6) = \sqrt{5 (6 - 4)} + 2$

Paso 3.1.2.1.2

Resta $4$ de $6$ .

$f (- 6) = \sqrt{5 \cdot 2} + 2$

Paso 3.1.2.1.3

Multiplica $5$ por $2$ .

$f (- 6) = \sqrt{10} + 2$

Paso 3.1.2.2

La respuesta final es $\sqrt{10} + 2$ .

$y = \sqrt{10} + 2$

Paso 3.1.3

Convierte $\sqrt{10} + 2$ a decimal.

$= 5.16227766$

Paso 3.2

Sustituye el valor $x$ $- 6$ en $f (x) = - \sqrt{5 (- x - 4)} + 2$ . En este caso, el punto es $(- 6, - 1.16227766)$ .

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Paso 3.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 6$ en la expresión.

$f (- 6) = - \sqrt{5 (- (- 6) - 4)} + 2$

Paso 3.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

$f (- 6) = - \sqrt{5 (6 - 4)} + 2$

Paso 3.2.2.1.2

Resta $4$ de $6$ .

$f (- 6) = - \sqrt{5 \cdot 2} + 2$

Paso 3.2.2.1.3

Multiplica $5$ por $2$ .

$f (- 6) = - \sqrt{10} + 2$

Paso 3.2.2.2

La respuesta final es $- \sqrt{10} + 2$ .

$y = - \sqrt{10} + 2$

Paso 3.2.3

Convierte $- \sqrt{10} + 2$ a decimal.

$= - 1.16227766$

Paso 3.3

Sustituye el valor $x$ $- 5$ en $f (x) = \sqrt{5 (- x - 4)} + 2$ . En este caso, el punto es $(- 5, 4.23606797)$ .

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Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 5$ en la expresión.

$f (- 5) = \sqrt{5 (- (- 5) - 4)} + 2$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$f (- 5) = \sqrt{5 (5 - 4)} + 2$

Paso 3.3.2.1.2

Resta $4$ de $5$ .

$f (- 5) = \sqrt{5 \cdot 1} + 2$

Paso 3.3.2.1.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$f (- 5) = \sqrt{5} + 2$

Paso 3.3.2.2

La respuesta final es $\sqrt{5} + 2$ .

$y = \sqrt{5} + 2$

Paso 3.3.3

Convierte $\sqrt{5} + 2$ a decimal.

$= 4.23606797$

Paso 3.4

Sustituye el valor $x$ $- 5$ en $f (x) = - \sqrt{5 (- x - 4)} + 2$ . En este caso, el punto es $(- 5, - 0.23606797)$ .

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Paso 3.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 5$ en la expresión.

$f (- 5) = - \sqrt{5 (- (- 5) - 4)} + 2$

Paso 3.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$f (- 5) = - \sqrt{5 (5 - 4)} + 2$

Paso 3.4.2.1.2

Resta $4$ de $5$ .

$f (- 5) = - \sqrt{5 \cdot 1} + 2$

Paso 3.4.2.1.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$f (- 5) = - \sqrt{5} + 2$

Paso 3.4.2.2

La respuesta final es $- \sqrt{5} + 2$ .

$y = - \sqrt{5} + 2$

Paso 3.4.3

Convierte $- \sqrt{5} + 2$ a decimal.

$= - 0.23606797$

Paso 3.5

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 6 & 5.16 \\ - 6 & - 1.16 \\ - 5 & 4.24 \\ - 5 & - 0.24 \\ - 4 & 2 \end{array}$

Paso 4

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia la izquierda

Vértice: $(- 4, 2)$

Foco: $(- \frac{21}{4}, 2)$

Eje de simetría: $y = 2$

Directriz: $x = - \frac{11}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 6 & 5.16 \\ - 6 & - 1.16 \\ - 5 & 4.24 \\ - 5 & - 0.24 \\ - 4 & 2 \end{array}$

Paso 5