Preálgebra Ejemplos

$x = {(y + 1)}^{2}$

Paso 1

Simplifica ${(y + 1)}^{2}$ .

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Paso 1.1

Reescribe ${(y + 1)}^{2}$ como $(y + 1) (y + 1)$ .

$x = (y + 1) (y + 1)$

Paso 1.2

Expande $(y + 1) (y + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = y (y + 1) + 1 (y + 1)$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x = y \cdot y + y \cdot 1 + 1 (y + 1)$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x = y \cdot y + y \cdot 1 + 1 y + 1 \cdot 1$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$x = y^{2} + y \cdot 1 + 1 y + 1 \cdot 1$

Paso 1.3.1.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$x = y^{2} + y + 1 y + 1 \cdot 1$

Paso 1.3.1.3

Multiplica $y$ por $1$ .

$x = y^{2} + y + y + 1 \cdot 1$

Paso 1.3.1.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$x = y^{2} + y + y + 1$

Paso 1.3.2

Suma $y$ y $y$ .

$x = y^{2} + 2 y + 1$

Paso 2

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 2.1.1

Completa el cuadrado de $y^{2} + 2 y + 1$ .

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Paso 2.1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = 2$

$c = 1$

Paso 2.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Paso 2.1.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Paso 2.1.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$d = 1$

Paso 2.1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 2.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.4.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$e = 1 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Paso 2.1.1.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 1 - \frac{4}{4}$

Paso 2.1.1.4.2.1.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.1.1.4.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$e = 1 - \frac{4}{4}$

Paso 2.1.1.4.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$e = 1 - 1 \cdot 1$

Paso 2.1.1.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e = 1 - 1$

Paso 2.1.1.4.2.2

Resta $1$ de $1$ .

$e = 0$

Paso 2.1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(y + 1)}^{2} + 0$ .

${(y + 1)}^{2} + 0$

Paso 2.1.2

Establece $x$ igual al nuevo lado derecho.

$x = {(y + 1)}^{2} + 0$

Paso 2.2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = 1$

$h = 0$

$k = - 1$

Paso 2.3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia la derecha.

Abre a la derecha

Paso 2.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(0, - 1)$

Paso 2.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 2.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 2.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 2.5.3

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 2.5.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 2.5.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4}$

Paso 2.6

Obtén el foco.

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Paso 2.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada x $h$ si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$(h + p, k)$

Paso 2.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(\frac{1}{4}, - 1)$

Paso 2.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$y = - 1$

Paso 2.8

Obtén la directriz.

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Paso 2.8.1

La directriz de una parábola es la recta vertical que se obtiene al restar $p$ de la coordenada x $h$ del vértice si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$x = h - p$

Paso 2.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $h$ en la fórmula y simplifica.

$x = - \frac{1}{4}$

Paso 2.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre a la derecha

Vértice: $(0, - 1)$

Foco: $(\frac{1}{4}, - 1)$

Eje de simetría: $y = - 1$

Directriz: $x = - \frac{1}{4}$

Dirección: abre a la derecha

Vértice: $(0, - 1)$

Foco: $(\frac{1}{4}, - 1)$

Eje de simetría: $y = - 1$

Directriz: $x = - \frac{1}{4}$

Paso 3

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 3.1

Sustituye el valor $x$ $1$ en $f (x) = \sqrt{x} - 1$ . En este caso, el punto es $(1, 0)$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = \sqrt{1} - 1$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (1) = \sqrt{1} - 1$

Paso 3.1.2.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$f (1) = 1 - 1$

Paso 3.1.2.3

Resta $1$ de $1$ .

$f (1) = 0$

Paso 3.1.2.4

La respuesta final es $0$ .

$y = 0$

Paso 3.1.3

Convierte $0$ a decimal.

$= 0$

Paso 3.2

Sustituye el valor $x$ $1$ en $f (x) = - \sqrt{x} - 1$ . En este caso, el punto es $(1, - 2)$ .

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Paso 3.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = - \sqrt{1} - 1$

Paso 3.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (1) = - \sqrt{1} - 1$

Paso 3.2.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.2.1

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$f (1) = - 1 \cdot 1 - 1$

Paso 3.2.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (1) = - 1 - 1$

Paso 3.2.2.3

Resta $1$ de $- 1$ .

$f (1) = - 2$

Paso 3.2.2.4

La respuesta final es $- 2$ .

$y = - 2$

Paso 3.2.3

Convierte $- 2$ a decimal.

$= - 2$

Paso 3.3

Sustituye el valor $x$ $2$ en $f (x) = \sqrt{x} - 1$ . En este caso, el punto es $(2, 0.41421356)$ .

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Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = \sqrt{2} - 1$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.3.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (2) = \sqrt{2} - 1$

Paso 3.3.2.2

La respuesta final es $\sqrt{2} - 1$ .

$y = \sqrt{2} - 1$

Paso 3.3.3

Convierte $\sqrt{2} - 1$ a decimal.

$= 0.41421356$

Paso 3.4

Sustituye el valor $x$ $2$ en $f (x) = - \sqrt{x} - 1$ . En este caso, el punto es $(2, - 2.41421356)$ .

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Paso 3.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = - \sqrt{2} - 1$

Paso 3.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.4.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (2) = - \sqrt{2} - 1$

Paso 3.4.2.2

La respuesta final es $- \sqrt{2} - 1$ .

$y = - \sqrt{2} - 1$

Paso 3.4.3

Convierte $- \sqrt{2} - 1$ a decimal.

$= - 2.41421356$

Paso 3.5

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 1 \\ 1 & 0 \\ 1 & - 2 \\ 2 & 0.41 \\ 2 & - 2.41 \end{array}$

Paso 4

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre a la derecha

Vértice: $(0, - 1)$

Foco: $(\frac{1}{4}, - 1)$

Eje de simetría: $y = - 1$

Directriz: $x = - \frac{1}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 1 \\ 1 & 0 \\ 1 & - 2 \\ 2 & 0.41 \\ 2 & - 2.41 \end{array}$

Paso 5