Preálgebra Ejemplos

$x = - 16 y^{2} + 47 y + 3$

Paso 1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 1.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1.1

Completa el cuadrado de $- 16 y^{2} + 47 y + 3$ .

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Paso 1.1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 16$

$b = 47$

$c = 3$

Paso 1.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{47}{2 \cdot - 16}$

Paso 1.1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.3.2.1

Multiplica $2$ por $- 16$ .

$d = \frac{47}{- 32}$

Paso 1.1.1.3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d = - \frac{47}{32}$

Paso 1.1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 3 - \frac{47^{2}}{4 \cdot - 16}$

Paso 1.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.4.2.1.1

Eleva $47$ a la potencia de $2$ .

$e = 3 - \frac{2209}{4 \cdot - 16}$

Paso 1.1.1.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 16$ .

$e = 3 - \frac{2209}{- 64}$

Paso 1.1.1.4.2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = 3 - - \frac{2209}{64}$

Paso 1.1.1.4.2.1.4

Multiplica $- - \frac{2209}{64}$ .

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Paso 1.1.1.4.2.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e = 3 + 1 (\frac{2209}{64})$

Paso 1.1.1.4.2.1.4.2

Multiplica $\frac{2209}{64}$ por $1$ .

$e = 3 + \frac{2209}{64}$

Paso 1.1.1.4.2.2

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{64}{64}$ .

$e = 3 \cdot \frac{64}{64} + \frac{2209}{64}$

Paso 1.1.1.4.2.3

Combina $3$ y $\frac{64}{64}$ .

$e = \frac{3 \cdot 64}{64} + \frac{2209}{64}$

Paso 1.1.1.4.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{3 \cdot 64 + 2209}{64}$

Paso 1.1.1.4.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1.4.2.5.1

Multiplica $3$ por $64$ .

$e = \frac{192 + 2209}{64}$

Paso 1.1.1.4.2.5.2

Suma $192$ y $2209$ .

$e = \frac{2401}{64}$

Paso 1.1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- 16 {(y - \frac{47}{32})}^{2} + \frac{2401}{64}$ .

$- 16 {(y - \frac{47}{32})}^{2} + \frac{2401}{64}$

Paso 1.1.2

Establece $x$ igual al nuevo lado derecho.

$x = - 16 {(y - \frac{47}{32})}^{2} + \frac{2401}{64}$

Paso 1.2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - 16$

$h = \frac{2401}{64}$

$k = \frac{47}{32}$

Paso 1.3

Como el valor de $a$ es negativo, la parábola se abre hacia la izquierda.

Abre hacia la izquierda

Paso 1.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(\frac{2401}{64}, \frac{47}{32})$

Paso 1.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 1.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 1.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot - 16}$

Paso 1.5.3

Simplifica.

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Paso 1.5.3.1

Multiplica $4$ por $- 16$ .

$\frac{1}{- 64}$

Paso 1.5.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{64}$

Paso 1.6

Obtén el foco.

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Paso 1.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada x $h$ si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$(h + p, k)$

Paso 1.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(\frac{75}{2}, \frac{47}{32})$

Paso 1.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$y = \frac{47}{32}$

Paso 1.8

Obtén la directriz.

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Paso 1.8.1

La directriz de una parábola es la recta vertical que se obtiene al restar $p$ de la coordenada x $h$ del vértice si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$x = h - p$

Paso 1.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $h$ en la fórmula y simplifica.

$x = \frac{1201}{32}$

Paso 1.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia la izquierda

Vértice: $(\frac{2401}{64}, \frac{47}{32})$

Foco: $(\frac{75}{2}, \frac{47}{32})$

Eje de simetría: $y = \frac{47}{32}$

Directriz: $x = \frac{1201}{32}$

Dirección: abre hacia la izquierda

Vértice: $(\frac{2401}{64}, \frac{47}{32})$

Foco: $(\frac{75}{2}, \frac{47}{32})$

Eje de simetría: $y = \frac{47}{32}$

Directriz: $x = \frac{1201}{32}$

Paso 2

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 2.1

Sustituye el valor $x$ $35.515625$ en $f (x) = \frac{47 + \sqrt{2401 - 64 x}}{32}$ . En este caso, el punto es $(35.515625, \frac{47 + \sqrt{128}}{32})$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $35.515625$ en la expresión.

$f (35.515625) = \frac{47 + \sqrt{2401 - 64 \cdot 35.515625}}{32}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.2.1.1

Multiplica $- 64$ por $35.515625$ .

$f (35.515625) = \frac{47 + \sqrt{2401 - 2273}}{32}$

Paso 2.1.2.1.2

Resta $2273$ de $2401$ .

$f (35.515625) = \frac{47 + \sqrt{128}}{32}$

Paso 2.1.2.2

La respuesta final es $\frac{47 + \sqrt{128}}{32}$ .

$y = \frac{47 + \sqrt{128}}{32}$

Paso 2.2

Sustituye el valor $x$ $35.515625$ en $f (x) = \frac{47 - \sqrt{2401 - 64 x}}{32}$ . En este caso, el punto es $(35.515625, \frac{47 - \sqrt{128}}{32})$ .

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Paso 2.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $35.515625$ en la expresión.

$f (35.515625) = \frac{47 - \sqrt{2401 - 64 \cdot 35.515625}}{32}$

Paso 2.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.2.1.1

Multiplica $- 64$ por $35.515625$ .

$f (35.515625) = \frac{47 - \sqrt{2401 - 2273}}{32}$

Paso 2.2.2.1.2

Resta $2273$ de $2401$ .

$f (35.515625) = \frac{47 - \sqrt{128}}{32}$

Paso 2.2.2.2

La respuesta final es $\frac{47 - \sqrt{128}}{32}$ .

$y = \frac{47 - \sqrt{128}}{32}$

Paso 2.3

Sustituye el valor $x$ $36.515625$ en $f (x) = \frac{47 + \sqrt{2401 - 64 x}}{32}$ . En este caso, el punto es $(36.515625, 1.71875)$ .

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Paso 2.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $36.515625$ en la expresión.

$f (36.515625) = \frac{47 + \sqrt{2401 - 64 \cdot 36.515625}}{32}$

Paso 2.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.3.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.2.1.1

Multiplica $- 64$ por $36.515625$ .

$f (36.515625) = \frac{47 + \sqrt{2401 - 2337}}{32}$

Paso 2.3.2.1.2

Resta $2337$ de $2401$ .

$f (36.515625) = \frac{47 + \sqrt{64}}{32}$

Paso 2.3.2.1.3

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$f (36.515625) = \frac{47 + \sqrt{8^{2}}}{32}$

Paso 2.3.2.1.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (36.515625) = \frac{47 + 8}{32}$

Paso 2.3.2.1.5

Suma $47$ y $8$ .

$f (36.515625) = \frac{55}{32}$

Paso 2.3.2.2

Cancela el factor común de $55$ y $32$ .

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Paso 2.3.2.2.1

Reescribe $55$ como $1 (55)$ .

$f (36.515625) = \frac{1 (55)}{32}$

Paso 2.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.2.2.1

Reescribe $32$ como $1 (32)$ .

$f (36.515625) = \frac{1 \cdot 55}{1 \cdot 32}$

Paso 2.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$f (36.515625) = \frac{1 \cdot 55}{1 \cdot 32}$

Paso 2.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f (36.515625) = \frac{55}{32}$

Paso 2.3.2.3

La respuesta final es $\frac{55}{32}$ .

$y = \frac{55}{32}$

Paso 2.3.3

Convierte $\frac{55}{32}$ a decimal.

$= 1.71875$

Paso 2.4

Sustituye el valor $x$ $36.515625$ en $f (x) = \frac{47 - \sqrt{2401 - 64 x}}{32}$ . En este caso, el punto es $(36.515625, 1.21875)$ .

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Paso 2.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $36.515625$ en la expresión.

$f (36.515625) = \frac{47 - \sqrt{2401 - 64 \cdot 36.515625}}{32}$

Paso 2.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.4.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.2.1.1

Multiplica $- 64$ por $36.515625$ .

$f (36.515625) = \frac{47 - \sqrt{2401 - 2337}}{32}$

Paso 2.4.2.1.2

Resta $2337$ de $2401$ .

$f (36.515625) = \frac{47 - \sqrt{64}}{32}$

Paso 2.4.2.1.3

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$f (36.515625) = \frac{47 - \sqrt{8^{2}}}{32}$

Paso 2.4.2.1.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (36.515625) = \frac{47 - 1 \cdot 8}{32}$

Paso 2.4.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$f (36.515625) = \frac{47 - 8}{32}$

Paso 2.4.2.1.6

Resta $8$ de $47$ .

$f (36.515625) = \frac{39}{32}$

Paso 2.4.2.2

Cancela el factor común de $39$ y $32$ .

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Paso 2.4.2.2.1

Reescribe $39$ como $1 (39)$ .

$f (36.515625) = \frac{1 (39)}{32}$

Paso 2.4.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.4.2.2.2.1

Reescribe $32$ como $1 (32)$ .

$f (36.515625) = \frac{1 \cdot 39}{1 \cdot 32}$

Paso 2.4.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$f (36.515625) = \frac{1 \cdot 39}{1 \cdot 32}$

Paso 2.4.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f (36.515625) = \frac{39}{32}$

Paso 2.4.2.3

La respuesta final es $\frac{39}{32}$ .

$y = \frac{39}{32}$

Paso 2.4.3

Convierte $\frac{39}{32}$ a decimal.

$= 1.21875$

Paso 2.5

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 35.516 & 1.82 \\ 35.516 & 1.12 \\ 36.516 & 1.72 \\ 36.516 & 1.22 \\ \frac{2401}{64} & \frac{47}{32} \end{array}$

Paso 3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia la izquierda

Vértice: $(\frac{2401}{64}, \frac{47}{32})$

Foco: $(\frac{75}{2}, \frac{47}{32})$

Eje de simetría: $y = \frac{47}{32}$

Directriz: $x = \frac{1201}{32}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 35.516 & 1.82 \\ 35.516 & 1.12 \\ 36.516 & 1.72 \\ 36.516 & 1.22 \\ \frac{2401}{64} & \frac{47}{32} \end{array}$

Paso 4