Preálgebra Ejemplos

$4 x^{2} + 9 y^{2} = 81$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la elipse.

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Paso 1.1

Divide cada término por $81$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{4 x^{2}}{81} + \frac{9 y^{2}}{81} = \frac{81}{81}$

Paso 1.2

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{x^{2}}{\frac{81}{4}} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una elipse. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener el centro, junto con los ejes mayor y menor de la elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta elipse con los de la ecuación ordinaria. La variable $a$ representa el radio del eje mayor de la elipse, $b$ representa el radio del eje menor de la elipse, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$a = \frac{9}{2}$

$b = 3$

$k = 0$

$h = 0$

Paso 4

El centro de una elipse sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(0, 0)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la elipse con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} - {(3)}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Aplica la regla del producto a $\frac{9}{2}$ .

$\sqrt{\frac{9^{2}}{2^{2}} - {(3)}^{2}}$

Paso 5.3.2

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{2^{2}} - {(3)}^{2}}$

Paso 5.3.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - {(3)}^{2}}$

Paso 5.3.4

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - 1 \cdot 9}$

Paso 5.3.5

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - 9}$

Paso 5.3.6

Para escribir $- 9$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - 9 \cdot \frac{4}{4}}$

Paso 5.3.7

Combina $- 9$ y $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4}}$

Paso 5.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{81 - 9 \cdot 4}{4}}$

Paso 5.3.9

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.9.1

Multiplica $- 9$ por $4$ .

$\sqrt{\frac{81 - 36}{4}}$

Paso 5.3.9.2

Resta $36$ de $81$ .

$\sqrt{\frac{45}{4}}$

Paso 5.3.10

Reescribe $\sqrt{\frac{45}{4}}$ como $\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{4}}$

Paso 5.3.11

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.11.1

Reescribe $45$ como $3^{2} \cdot 5$ .

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Paso 5.3.11.1.1

Factoriza $9$ de $45$ .

$\frac{\sqrt{9 (5)}}{\sqrt{4}}$

Paso 5.3.11.1.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 5}}{\sqrt{4}}$

Paso 5.3.11.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{4}}$

Paso 5.3.12

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.12.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{2^{2}}}$

Paso 5.3.12.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{3 \sqrt{5}}{2}$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una elipse puede obtenerse al sumar $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(0 + \frac{9}{2}, 0)$

Paso 6.3

Simplifica.

$(\frac{9}{2}, 0)$

Paso 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Paso 6.5

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(0 - (\frac{9}{2}), 0)$

Paso 6.6

Simplifica.

$(- \frac{9}{2}, 0)$

Paso 6.7

Las elipses tienen dos vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{9}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{9}{2}, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{9}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{9}{2}, 0)$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una elipse puede obtenerse al sumar $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(0 + \frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

Paso 7.3

Simplifica.

$(\frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

Paso 7.4

El segundo foco de una elipse puede obtenerse mediante la resta de $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Paso 7.5

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(0 - (\frac{3 \sqrt{5}}{2}), 0)$

Paso 7.6

Simplifica.

$(- \frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

Paso 7.7

Las elipses tienen dos focos.

${Focus}_{1}$ : $(\frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} - {(3)}^{2}}}{\frac{9}{2}}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} - 3^{2}} \frac{2}{9}$

Paso 8.3.2

Aplica la regla del producto a $\frac{9}{2}$ .

$\sqrt{\frac{9^{2}}{2^{2}} - 3^{2}} \frac{2}{9}$

Paso 8.3.3

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{2^{2}} - 3^{2}} \frac{2}{9}$

Paso 8.3.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - 3^{2}} \frac{2}{9}$

Paso 8.3.5

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - 1 \cdot 9} \frac{2}{9}$

Paso 8.3.6

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - 9} \frac{2}{9}$

Paso 8.3.7

Para escribir $- 9$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - 9 \cdot \frac{4}{4}} \frac{2}{9}$

Paso 8.3.8

Combina $- 9$ y $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4}} \frac{2}{9}$

Paso 8.3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{81 - 9 \cdot 4}{4}} \frac{2}{9}$

Paso 8.3.10

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.10.1

Multiplica $- 9$ por $4$ .

$\sqrt{\frac{81 - 36}{4}} \frac{2}{9}$

Paso 8.3.10.2

Resta $36$ de $81$ .

$\sqrt{\frac{45}{4}} \frac{2}{9}$

Paso 8.3.11

Reescribe $\sqrt{\frac{45}{4}}$ como $\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{4}} \cdot \frac{2}{9}$

Paso 8.3.12

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.12.1

Reescribe $45$ como $3^{2} \cdot 5$ .

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Paso 8.3.12.1.1

Factoriza $9$ de $45$ .

$\frac{\sqrt{9 (5)}}{\sqrt{4}} \cdot \frac{2}{9}$

Paso 8.3.12.1.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 5}}{\sqrt{4}} \cdot \frac{2}{9}$

Paso 8.3.12.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{4}} \cdot \frac{2}{9}$

Paso 8.3.13

Simplifica el denominador.

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Paso 8.3.13.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{2^{2}}} \cdot \frac{2}{9}$

Paso 8.3.13.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{3 \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{2}{9}$

Paso 8.3.14

Simplifica los términos.

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Paso 8.3.14.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 8.3.14.1.1

Factoriza $3$ de $3 \sqrt{5}$ .

$\frac{3 (\sqrt{5})}{2} \cdot \frac{2}{9}$

Paso 8.3.14.1.2

Factoriza $3$ de $9$ .

$\frac{3 (\sqrt{5})}{2} \cdot \frac{2}{3 (3)}$

Paso 8.3.14.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{3 \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{2}{3 \cdot 3}$

Paso 8.3.14.1.4

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Paso 8.3.14.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.14.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Paso 8.3.14.2.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{5} \frac{1}{3}$

Paso 8.3.14.3

Combina $\sqrt{5}$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

Paso 9

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una elipse.

Centro: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{9}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{9}{2}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

Excentricidad: $\frac{\sqrt{5}}{3}$

Paso 10