Preálgebra Ejemplos

$4 x^{2} + 9 y^{2} = 100$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la elipse.

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Paso 1.1

Divide cada término por $100$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{4 x^{2}}{100} + \frac{9 y^{2}}{100} = \frac{100}{100}$

Paso 1.2

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{\frac{100}{9}} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una elipse. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener el centro, junto con los ejes mayor y menor de la elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta elipse con los de la ecuación ordinaria. La variable $a$ representa el radio del eje mayor de la elipse, $b$ representa el radio del eje menor de la elipse, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$a = 5$

$b = \frac{10}{3}$

$k = 0$

$h = 0$

Paso 4

El centro de una elipse sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(0, 0)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la elipse con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(5)}^{2} - {(\frac{10}{3})}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{25 - {(\frac{10}{3})}^{2}}$

Paso 5.3.2

Aplica la regla del producto a $\frac{10}{3}$ .

$\sqrt{25 - \frac{10^{2}}{3^{2}}}$

Paso 5.3.3

Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{25 - \frac{100}{3^{2}}}$

Paso 5.3.4

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{25 - \frac{100}{9}}$

Paso 5.3.5

Para escribir $25$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{25 \cdot \frac{9}{9} - \frac{100}{9}}$

Paso 5.3.6

Combina $25$ y $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{25 \cdot 9}{9} - \frac{100}{9}}$

Paso 5.3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{25 \cdot 9 - 100}{9}}$

Paso 5.3.8

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.8.1

Multiplica $25$ por $9$ .

$\sqrt{\frac{225 - 100}{9}}$

Paso 5.3.8.2

Resta $100$ de $225$ .

$\sqrt{\frac{125}{9}}$

Paso 5.3.9

Reescribe $\sqrt{\frac{125}{9}}$ como $\frac{\sqrt{125}}{\sqrt{9}}$ .

$\frac{\sqrt{125}}{\sqrt{9}}$

Paso 5.3.10

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.10.1

Reescribe $125$ como $5^{2} \cdot 5$ .

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Paso 5.3.10.1.1

Factoriza $25$ de $125$ .

$\frac{\sqrt{25 (5)}}{\sqrt{9}}$

Paso 5.3.10.1.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2} \cdot 5}}{\sqrt{9}}$

Paso 5.3.10.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{5 \sqrt{5}}{\sqrt{9}}$

Paso 5.3.11

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.11.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{5 \sqrt{5}}{\sqrt{3^{2}}}$

Paso 5.3.11.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{5 \sqrt{5}}{3}$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una elipse puede obtenerse al sumar $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(0 + 5, 0)$

Paso 6.3

Simplifica.

$(5, 0)$

Paso 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Paso 6.5

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(0 - (5), 0)$

Paso 6.6

Simplifica.

$(- 5, 0)$

Paso 6.7

Las elipses tienen dos vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(5, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(5, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 0)$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una elipse puede obtenerse al sumar $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(0 + \frac{5 \sqrt{5}}{3}, 0)$

Paso 7.3

Simplifica.

$(\frac{5 \sqrt{5}}{3}, 0)$

Paso 7.4

El segundo foco de una elipse puede obtenerse mediante la resta de $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Paso 7.5

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(0 - (\frac{5 \sqrt{5}}{3}), 0)$

Paso 7.6

Simplifica.

$(- \frac{5 \sqrt{5}}{3}, 0)$

Paso 7.7

Las elipses tienen dos focos.

${Focus}_{1}$ : $(\frac{5 \sqrt{5}}{3}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{5 \sqrt{5}}{3}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{5 \sqrt{5}}{3}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{5 \sqrt{5}}{3}, 0)$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} - {(\frac{10}{3})}^{2}}}{5}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - {(\frac{10}{3})}^{2}}}{5}$

Paso 8.3.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{10}{3}$ .

$\frac{\sqrt{25 - \frac{10^{2}}{3^{2}}}}{5}$

Paso 8.3.1.3

Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - \frac{100}{3^{2}}}}{5}$

Paso 8.3.1.4

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - \frac{100}{9}}}{5}$

Paso 8.3.1.5

Para escribir $25$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{\sqrt{25 \cdot \frac{9}{9} - \frac{100}{9}}}{5}$

Paso 8.3.1.6

Combina $25$ y $\frac{9}{9}$ .

$\frac{\sqrt{\frac{25 \cdot 9}{9} - \frac{100}{9}}}{5}$

Paso 8.3.1.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sqrt{\frac{25 \cdot 9 - 100}{9}}}{5}$

Paso 8.3.1.8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1.8.1

Multiplica $25$ por $9$ .

$\frac{\sqrt{\frac{225 - 100}{9}}}{5}$

Paso 8.3.1.8.2

Resta $100$ de $225$ .

$\frac{\sqrt{\frac{125}{9}}}{5}$

Paso 8.3.1.9

Reescribe $\sqrt{\frac{125}{9}}$ como $\frac{\sqrt{125}}{\sqrt{9}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{125}}{\sqrt{9}}}{5}$

Paso 8.3.1.10

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1.10.1

Reescribe $125$ como $5^{2} \cdot 5$ .

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Paso 8.3.1.10.1.1

Factoriza $25$ de $125$ .

$\frac{\frac{\sqrt{25 (5)}}{\sqrt{9}}}{5}$

Paso 8.3.1.10.1.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{5^{2} \cdot 5}}{\sqrt{9}}}{5}$

Paso 8.3.1.10.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{\frac{5 \sqrt{5}}{\sqrt{9}}}{5}$

Paso 8.3.1.11

Simplifica el denominador.

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Paso 8.3.1.11.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{5}}{\sqrt{3^{2}}}}{5}$

Paso 8.3.1.11.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{\frac{5 \sqrt{5}}{3}}{5}$

Paso 8.3.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{5 \sqrt{5}}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Paso 8.3.3

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 8.3.3.1

Factoriza $5$ de $5 \sqrt{5}$ .

$\frac{5 (\sqrt{5})}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Paso 8.3.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 \sqrt{5}}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Paso 8.3.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

Paso 9

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una elipse.

Centro: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(5, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{5 \sqrt{5}}{3}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{5 \sqrt{5}}{3}, 0)$

Excentricidad: $\frac{\sqrt{5}}{3}$

Paso 10