Preálgebra Ejemplos

$49 x^{2} + 25 y^{2} = 1225$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la elipse.

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Paso 1.1

Divide cada término por $1225$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{49 x^{2}}{1225} + \frac{25 y^{2}}{1225} = \frac{1225}{1225}$

Paso 1.2

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{49} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una elipse. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener el centro, junto con los ejes mayor y menor de la elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta elipse con los de la ecuación ordinaria. La variable $a$ representa el radio del eje mayor de la elipse, $b$ representa el radio del eje menor de la elipse, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$a = 7$

$b = 5$

$k = 0$

$h = 0$

Paso 4

El centro de una elipse sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(0, 0)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la elipse con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(7)}^{2} - {(5)}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{49 - {(5)}^{2}}$

Paso 5.3.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{49 - 1 \cdot 25}$

Paso 5.3.3

Multiplica $- 1$ por $25$ .

$\sqrt{49 - 25}$

Paso 5.3.4

Resta $25$ de $49$ .

$\sqrt{24}$

Paso 5.3.5

Reescribe $24$ como $2^{2} \cdot 6$ .

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Paso 5.3.5.1

Factoriza $4$ de $24$ .

$\sqrt{4 (6)}$

Paso 5.3.5.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 6}$

Paso 5.3.6

Retira los términos de abajo del radical.

$2 \sqrt{6}$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una elipse puede obtenerse al sumar $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(0, 0 + 7)$

Paso 6.3

Simplifica.

$(0, 7)$

Paso 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Paso 6.5

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(0, 0 - (7))$

Paso 6.6

Simplifica.

$(0, - 7)$

Paso 6.7

Las elipses tienen dos vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 7)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 7)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 7)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 7)$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una elipse puede obtenerse al sumar $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(0, 0 + 2 \sqrt{6})$

Paso 7.3

Simplifica.

$(0, 2 \sqrt{6})$

Paso 7.4

El primer foco de una elipse puede obtenerse al restar $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Paso 7.5

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(0, 0 - (2 \sqrt{6}))$

Paso 7.6

Simplifica.

$(0, - 2 \sqrt{6})$

Paso 7.7

Las elipses tienen dos focos.

${Focus}_{1}$ : $(0, 2 \sqrt{6})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 2 \sqrt{6})$

${Focus}_{1}$ : $(0, 2 \sqrt{6})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 2 \sqrt{6})$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(7)}^{2} - {(5)}^{2}}}{7}$

Paso 8.3

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{49 - 5^{2}}}{7}$

Paso 8.3.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{49 - 1 \cdot 25}}{7}$

Paso 8.3.3

Multiplica $- 1$ por $25$ .

$\frac{\sqrt{49 - 25}}{7}$

Paso 8.3.4

Resta $25$ de $49$ .

$\frac{\sqrt{24}}{7}$

Paso 8.3.5

Reescribe $24$ como $2^{2} \cdot 6$ .

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Paso 8.3.5.1

Factoriza $4$ de $24$ .

$\frac{\sqrt{4 (6)}}{7}$

Paso 8.3.5.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 6}}{7}$

Paso 8.3.6

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{2 \sqrt{6}}{7}$

Paso 9

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una elipse.

Centro: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 7)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 7)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 2 \sqrt{6})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 2 \sqrt{6})$

Excentricidad: $\frac{2 \sqrt{6}}{7}$

Paso 10