Preálgebra Ejemplos

$5 x^{2} + 2 y^{2} - 27 x + 16 y - 19 = 0$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la elipse.

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Paso 1.1

Suma $19$ a ambos lados de la ecuación.

$5 x^{2} + 2 y^{2} - 27 x + 16 y = 19$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $5 x^{2} - 27 x$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 5$

$b = - 27$

$c = 0$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 27}{2 \cdot 5}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Multiplica $2$ por $5$ .

$d = \frac{- 27}{10}$

Paso 1.2.3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d = - \frac{27}{10}$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 27)}^{2}}{4 \cdot 5}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Eleva $- 27$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{729}{4 \cdot 5}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $5$ .

$e = 0 - \frac{729}{20}$

Paso 1.2.4.2.2

Resta $\frac{729}{20}$ de $0$ .

$e = - \frac{729}{20}$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} - \frac{729}{20}$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} - \frac{729}{20}$

Paso 1.3

Sustituye $5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} - \frac{729}{20}$ por $5 x^{2} - 27 x$ en la ecuación $5 x^{2} + 2 y^{2} - 27 x + 16 y = 19$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} - \frac{729}{20} + 2 y^{2} + 16 y = 19$

Paso 1.4

Mueve $- \frac{729}{20}$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $\frac{729}{20}$ a ambos lados.

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 y^{2} + 16 y = 19 + \frac{729}{20}$

Paso 1.5

Completa el cuadrado de $2 y^{2} + 16 y$ .

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Paso 1.5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 2$

$b = 16$

$c = 0$

Paso 1.5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{16}{2 \cdot 2}$

Paso 1.5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.3.2.1

Cancela el factor común de $16$ y $2$ .

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Paso 1.5.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 2}$

Paso 1.5.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 2$ .

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 (2)}$

Paso 1.5.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 2}$

Paso 1.5.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{8}{2}$

Paso 1.5.3.2.2

Cancela el factor común de $8$ y $2$ .

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Paso 1.5.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2}$

Paso 1.5.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.3.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

Paso 1.5.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Paso 1.5.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{4}{1}$

Paso 1.5.3.2.2.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$d = 4$

Paso 1.5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{16^{2}}{4 \cdot 2}$

Paso 1.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.4.2.1.1

Eleva $16$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 2}$

Paso 1.5.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{8}$

Paso 1.5.4.2.1.3

Divide $256$ por $8$ .

$e = 0 - 1 \cdot 32$

Paso 1.5.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $32$ .

$e = 0 - 32$

Paso 1.5.4.2.2

Resta $32$ de $0$ .

$e = - 32$

Paso 1.5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $2 {(y + 4)}^{2} - 32$ .

$2 {(y + 4)}^{2} - 32$

Paso 1.6

Sustituye $2 {(y + 4)}^{2} - 32$ por $2 y^{2} + 16 y$ en la ecuación $5 x^{2} + 2 y^{2} - 27 x + 16 y = 19$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} - 32 = 19 + \frac{729}{20}$

Paso 1.7

Mueve $- 32$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $32$ a ambos lados.

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = 19 + \frac{729}{20} + 32$

Paso 1.8

Simplifica $19 + \frac{729}{20} + 32$ .

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Paso 1.8.1

Obtén el denominador común

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Paso 1.8.1.1

Escribe $19$ como una fracción con el denominador $1$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{19}{1} + \frac{729}{20} + 32$

Paso 1.8.1.2

Multiplica $\frac{19}{1}$ por $\frac{20}{20}$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{19}{1} \cdot \frac{20}{20} + \frac{729}{20} + 32$

Paso 1.8.1.3

Multiplica $\frac{19}{1}$ por $\frac{20}{20}$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{19 \cdot 20}{20} + \frac{729}{20} + 32$

Paso 1.8.1.4

Escribe $32$ como una fracción con el denominador $1$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{19 \cdot 20}{20} + \frac{729}{20} + \frac{32}{1}$

Paso 1.8.1.5

Multiplica $\frac{32}{1}$ por $\frac{20}{20}$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{19 \cdot 20}{20} + \frac{729}{20} + \frac{32}{1} \cdot \frac{20}{20}$

Paso 1.8.1.6

Multiplica $\frac{32}{1}$ por $\frac{20}{20}$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{19 \cdot 20}{20} + \frac{729}{20} + \frac{32 \cdot 20}{20}$

Paso 1.8.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{19 \cdot 20 + 729 + 32 \cdot 20}{20}$

Paso 1.8.3

Simplifica cada término.

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Paso 1.8.3.1

Multiplica $19$ por $20$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{380 + 729 + 32 \cdot 20}{20}$

Paso 1.8.3.2

Multiplica $32$ por $20$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{380 + 729 + 640}{20}$

Paso 1.8.4

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 1.8.4.1

Suma $380$ y $729$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{1109 + 640}{20}$

Paso 1.8.4.2

Suma $1109$ y $640$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{1749}{20}$

Paso 1.9

Divide cada término por $\frac{1749}{20}$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{5 {(x - \frac{27}{10})}^{2}}{\frac{1749}{20}} + \frac{2 {(y + 4)}^{2}}{\frac{1749}{20}} = \frac{\frac{1749}{20}}{\frac{1749}{20}}$

Paso 1.10

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(x - \frac{27}{10})}^{2}}{\frac{1749}{100}} + \frac{{(y + 4)}^{2}}{\frac{1749}{40}} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una elipse. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener el centro, junto con los ejes mayor y menor de la elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta elipse con los de la ecuación ordinaria. La variable $a$ representa el radio del eje mayor de la elipse, $b$ representa el radio del eje menor de la elipse, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$a = \frac{\sqrt{17490}}{20}$

$b = \frac{\sqrt{1749}}{10}$

$k = - 4$

$h = \frac{27}{10}$

Paso 4

El centro de una elipse sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(\frac{27}{10}, - 4)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la elipse con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{17490}}{20})}^{2} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{17490}}{20}$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{17490}}^{2}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Paso 5.3.2

Reescribe ${\sqrt{17490}}^{2}$ como $17490$ .

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Paso 5.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{17490}$ como $17490^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{{(17490^{\frac{1}{2}})}^{2}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Paso 5.3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{17490^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Paso 5.3.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{\frac{17490^{\frac{2}{2}}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Paso 5.3.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{17490^{\frac{2}{2}}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Paso 5.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{17490^{1}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Paso 5.3.2.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{\frac{17490}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Paso 5.3.3

Eleva $20$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{17490}{400} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Paso 5.3.4

Cancela el factor común de $17490$ y $400$ .

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Paso 5.3.4.1

Factoriza $10$ de $17490$ .

$\sqrt{\frac{10 (1749)}{400} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Paso 5.3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.4.2.1

Factoriza $10$ de $400$ .

$\sqrt{\frac{10 \cdot 1749}{10 \cdot 40} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Paso 5.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{10 \cdot 1749}{10 \cdot 40} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Paso 5.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{1749}{40} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Paso 5.3.5

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{1749}}{10}$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{{\sqrt{1749}}^{2}}{10^{2}}}$

Paso 5.3.6

Reescribe ${\sqrt{1749}}^{2}$ como $1749$ .

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Paso 5.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1749}$ como $1749^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{{(1749^{\frac{1}{2}})}^{2}}{10^{2}}}$

Paso 5.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{10^{2}}}$

Paso 5.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749^{\frac{2}{2}}}{10^{2}}}$

Paso 5.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749^{\frac{2}{2}}}{10^{2}}}$

Paso 5.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749^{1}}{10^{2}}}$

Paso 5.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749}{10^{2}}}$

Paso 5.3.7

Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749}{100}}$

Paso 5.3.8

Para escribir $\frac{1749}{40}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1749}{100}}$

Paso 5.3.9

Para escribir $- \frac{1749}{100}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1749}{100} \cdot \frac{2}{2}}$

Paso 5.3.10

Escribe cada expresión con un denominador común de $200$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.3.10.1

Multiplica $\frac{1749}{40}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5}{40 \cdot 5} - \frac{1749}{100} \cdot \frac{2}{2}}$

Paso 5.3.10.2

Multiplica $40$ por $5$ .

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5}{200} - \frac{1749}{100} \cdot \frac{2}{2}}$

Paso 5.3.10.3

Multiplica $\frac{1749}{100}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5}{200} - \frac{1749 \cdot 2}{100 \cdot 2}}$

Paso 5.3.10.4

Multiplica $100$ por $2$ .

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5}{200} - \frac{1749 \cdot 2}{200}}$

Paso 5.3.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5 - 1749 \cdot 2}{200}}$

Paso 5.3.12

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.12.1

Multiplica $1749$ por $5$ .

$\sqrt{\frac{8745 - 1749 \cdot 2}{200}}$

Paso 5.3.12.2

Multiplica $- 1749$ por $2$ .

$\sqrt{\frac{8745 - 3498}{200}}$

Paso 5.3.12.3

Resta $3498$ de $8745$ .

$\sqrt{\frac{5247}{200}}$

Paso 5.3.13

Reescribe $\sqrt{\frac{5247}{200}}$ como $\frac{\sqrt{5247}}{\sqrt{200}}$ .

$\frac{\sqrt{5247}}{\sqrt{200}}$

Paso 5.3.14

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.14.1

Reescribe $5247$ como $3^{2} \cdot 583$ .

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Paso 5.3.14.1.1

Factoriza $9$ de $5247$ .

$\frac{\sqrt{9 (583)}}{\sqrt{200}}$

Paso 5.3.14.1.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 583}}{\sqrt{200}}$

Paso 5.3.14.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{3 \sqrt{583}}{\sqrt{200}}$

Paso 5.3.15

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.15.1

Reescribe $200$ como $10^{2} \cdot 2$ .

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Paso 5.3.15.1.1

Factoriza $100$ de $200$ .

$\frac{3 \sqrt{583}}{\sqrt{100 (2)}}$

Paso 5.3.15.1.2

Reescribe $100$ como $10^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{583}}{\sqrt{10^{2} \cdot 2}}$

Paso 5.3.15.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{3 \sqrt{583}}{10 \sqrt{2}}$

Paso 5.3.16

Multiplica $\frac{3 \sqrt{583}}{10 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{583}}{10 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 5.3.17

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 5.3.17.1

Multiplica $\frac{3 \sqrt{583}}{10 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 5.3.17.2

Mueve $\sqrt{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Paso 5.3.17.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Paso 5.3.17.4

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Paso 5.3.17.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 5.3.17.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 {\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 5.3.17.7

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 5.3.17.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 5.3.17.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 5.3.17.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.3.17.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.17.7.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.3.17.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 \cdot 2^{1}}$

Paso 5.3.17.7.5

Evalúa el exponente.

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 \cdot 2}$

Paso 5.3.18

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.18.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{3 \sqrt{2 \cdot 583}}{10 \cdot 2}$

Paso 5.3.18.2

Multiplica $2$ por $583$ .

$\frac{3 \sqrt{1166}}{10 \cdot 2}$

Paso 5.3.19

Multiplica $10$ por $2$ .

$\frac{3 \sqrt{1166}}{20}$

Paso 6

Obtén los vértices.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

El primer vértice de una elipse puede obtenerse al sumar $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(\frac{27}{10}, - 4 + \frac{\sqrt{17490}}{20})$

Paso 6.3

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Paso 6.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(\frac{27}{10}, - 4 - (\frac{\sqrt{17490}}{20}))$

Paso 6.5

Simplifica.

$(\frac{27}{10}, - 4 - \frac{\sqrt{17490}}{20})$

Paso 6.6

Las elipses tienen dos vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 + \frac{\sqrt{17490}}{20})$

${Vertex}_{2}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 - \frac{\sqrt{17490}}{20})$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 + \frac{\sqrt{17490}}{20})$

${Vertex}_{2}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 - \frac{\sqrt{17490}}{20})$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una elipse puede obtenerse al sumar $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(\frac{27}{10}, - 4 + \frac{3 \sqrt{1166}}{20})$

Paso 7.3

El primer foco de una elipse puede obtenerse al restar $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Paso 7.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(\frac{27}{10}, - 4 - (\frac{3 \sqrt{1166}}{20}))$

Paso 7.5

Simplifica.

$(\frac{27}{10}, - 4 - \frac{3 \sqrt{1166}}{20})$

Paso 7.6

Las elipses tienen dos focos.

${Focus}_{1}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 + \frac{3 \sqrt{1166}}{20})$

${Focus}_{2}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 - \frac{3 \sqrt{1166}}{20})$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 + \frac{3 \sqrt{1166}}{20})$

${Focus}_{2}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 - \frac{3 \sqrt{1166}}{20})$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(\frac{\sqrt{17490}}{20})}^{2} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}}{\frac{\sqrt{17490}}{20}}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{17490}}{20})}^{2} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Paso 8.3.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{17490}}{20}$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{17490}}^{2}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Paso 8.3.3

Reescribe ${\sqrt{17490}}^{2}$ como $17490$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{17490}$ como $17490^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{{(17490^{\frac{1}{2}})}^{2}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Paso 8.3.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{17490^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Paso 8.3.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{\frac{17490^{\frac{2}{2}}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Paso 8.3.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.3.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{17490^{\frac{2}{2}}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Paso 8.3.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{17490^{1}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Paso 8.3.3.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{\frac{17490}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Paso 8.3.4

Eleva $20$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{17490}{400} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Paso 8.3.5

Cancela el factor común de $17490$ y $400$ .

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Paso 8.3.5.1

Factoriza $10$ de $17490$ .

$\sqrt{\frac{10 (1749)}{400} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Paso 8.3.5.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.5.2.1

Factoriza $10$ de $400$ .

$\sqrt{\frac{10 \cdot 1749}{10 \cdot 40} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Paso 8.3.5.2.2

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{10 \cdot 1749}{10 \cdot 40} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Paso 8.3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{1749}{40} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Paso 8.3.6

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{1749}}{10}$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{{\sqrt{1749}}^{2}}{10^{2}}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Paso 8.3.7

Reescribe ${\sqrt{1749}}^{2}$ como $1749$ .

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Paso 8.3.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1749}$ como $1749^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{{(1749^{\frac{1}{2}})}^{2}}{10^{2}}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Paso 8.3.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{10^{2}}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Paso 8.3.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749^{\frac{2}{2}}}{10^{2}}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Paso 8.3.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.7.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749^{\frac{2}{2}}}{10^{2}}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Paso 8.3.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749^{1}}{10^{2}}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Paso 8.3.7.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749}{10^{2}}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Paso 8.3.8

Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749}{100}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Paso 8.3.9

Para escribir $\frac{1749}{40}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1749}{100}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Paso 8.3.10

Para escribir $- \frac{1749}{100}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1749}{100} \cdot \frac{2}{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Paso 8.3.11

Escribe cada expresión con un denominador común de $200$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 8.3.11.1

Multiplica $\frac{1749}{40}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5}{40 \cdot 5} - \frac{1749}{100} \cdot \frac{2}{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Paso 8.3.11.2

Multiplica $40$ por $5$ .

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5}{200} - \frac{1749}{100} \cdot \frac{2}{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Paso 8.3.11.3

Multiplica $\frac{1749}{100}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5}{200} - \frac{1749 \cdot 2}{100 \cdot 2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Paso 8.3.11.4

Multiplica $100$ por $2$ .

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5}{200} - \frac{1749 \cdot 2}{200}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Paso 8.3.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5 - 1749 \cdot 2}{200}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Paso 8.3.13

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.13.1

Multiplica $1749$ por $5$ .

$\sqrt{\frac{8745 - 1749 \cdot 2}{200}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Paso 8.3.13.2

Multiplica $- 1749$ por $2$ .

$\sqrt{\frac{8745 - 3498}{200}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Paso 8.3.13.3

Resta $3498$ de $8745$ .

$\sqrt{\frac{5247}{200}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Paso 8.3.14

Reescribe $\sqrt{\frac{5247}{200}}$ como $\frac{\sqrt{5247}}{\sqrt{200}}$ .

$\frac{\sqrt{5247}}{\sqrt{200}} \cdot \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Paso 8.3.15

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.15.1

Reescribe $5247$ como $3^{2} \cdot 583$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.15.1.1

Factoriza $9$ de $5247$ .

$\frac{\sqrt{9 (583)}}{\sqrt{200}} \cdot \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Paso 8.3.15.1.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 583}}{\sqrt{200}} \cdot \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Paso 8.3.15.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{3 \sqrt{583}}{\sqrt{200}} \cdot \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Paso 8.3.16

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.16.1

Reescribe $200$ como $10^{2} \cdot 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.16.1.1

Factoriza $100$ de $200$ .

$\frac{3 \sqrt{583}}{\sqrt{100 (2)}} \cdot \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Paso 8.3.16.1.2

Reescribe $100$ como $10^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{583}}{\sqrt{10^{2} \cdot 2}} \cdot \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Paso 8.3.16.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{3 \sqrt{583}}{10 \sqrt{2}} \cdot \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Paso 8.3.17

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.17.1

Cancela el factor común de $10$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.17.1.1

Factoriza $10$ de $10 \sqrt{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{583}}{10 (\sqrt{2})} \cdot \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Paso 8.3.17.1.2

Factoriza $10$ de $20$ .

$\frac{3 \sqrt{583}}{10 (\sqrt{2})} \cdot \frac{10 (2)}{\sqrt{17490}}$

Paso 8.3.17.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{3 \sqrt{583}}{10 \sqrt{2}} \cdot \frac{10 \cdot 2}{\sqrt{17490}}$

Paso 8.3.17.1.4

Reescribe la expresión.

$\frac{3 \sqrt{583}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{17490}}$

Paso 8.3.17.2

Multiplica $\frac{3 \sqrt{583}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{2}{\sqrt{17490}}$ .

$\frac{3 \sqrt{583} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{17490}}$

Paso 8.3.17.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{6 \sqrt{583}}{\sqrt{2} \sqrt{17490}}$

Paso 8.3.17.4

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{6 \sqrt{583}}{\sqrt{2 \cdot 17490}}$

Paso 8.3.17.5

Multiplica $2$ por $17490$ .

$\frac{6 \sqrt{583}}{\sqrt{34980}}$

Paso 8.3.18

Combina $\sqrt{583}$ y $\sqrt{34980}$ en un solo radical.

$6 \sqrt{\frac{583}{34980}}$

Paso 8.3.19

Cancela el factor común de $583$ y $34980$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.19.1

Factoriza $583$ de $583$ .

$6 \sqrt{\frac{583 (1)}{34980}}$

Paso 8.3.19.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.19.2.1

Factoriza $583$ de $34980$ .

$6 \sqrt{\frac{583 \cdot 1}{583 \cdot 60}}$

Paso 8.3.19.2.2

Cancela el factor común.

$6 \sqrt{\frac{583 \cdot 1}{583 \cdot 60}}$

Paso 8.3.19.2.3

Reescribe la expresión.

$6 \sqrt{\frac{1}{60}}$

Paso 8.3.20

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{60}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{60}}$ .

$6 \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{60}}$

Paso 8.3.21

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$6 \frac{1}{\sqrt{60}}$

Paso 8.3.22

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.22.1

Reescribe $60$ como $2^{2} \cdot 15$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.22.1.1

Factoriza $4$ de $60$ .

$6 \frac{1}{\sqrt{4 (15)}}$

Paso 8.3.22.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$6 \frac{1}{\sqrt{2^{2} \cdot 15}}$

Paso 8.3.22.2

Retira los términos de abajo del radical.

$6 \frac{1}{2 \sqrt{15}}$

Paso 8.3.23

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.23.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.23.1.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$2 (3) \frac{1}{2 \sqrt{15}}$

Paso 8.3.23.1.2

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{15}$ .

$2 (3) \frac{1}{2 (\sqrt{15})}$

Paso 8.3.23.1.3

Cancela el factor común.

$2 \cdot 3 \frac{1}{2 \sqrt{15}}$

Paso 8.3.23.1.4

Reescribe la expresión.

$3 \frac{1}{\sqrt{15}}$

Paso 8.3.23.2

Combina $3$ y $\frac{1}{\sqrt{15}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{15}}$

Paso 8.3.24

Multiplica $\frac{3}{\sqrt{15}}$ por $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$

Paso 8.3.25

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 8.3.25.1

Multiplica $\frac{3}{\sqrt{15}}$ por $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\frac{3 \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Paso 8.3.25.2

Eleva $\sqrt{15}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15}}$

Paso 8.3.25.3

Eleva $\sqrt{15}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1}}$

Paso 8.3.25.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1 + 1}}$

Paso 8.3.25.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{3 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2}}$

Paso 8.3.25.6

Reescribe ${\sqrt{15}}^{2}$ como $15$ .

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Paso 8.3.25.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{15}$ como $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 8.3.25.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 8.3.25.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{3 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.3.25.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.25.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.3.25.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 \sqrt{15}}{15^{1}}$

Paso 8.3.25.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{3 \sqrt{15}}{15}$

Paso 8.3.26

Cancela el factor común de $3$ y $15$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.26.1

Factoriza $3$ de $3 \sqrt{15}$ .

$\frac{3 (\sqrt{15})}{15}$

Paso 8.3.26.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.26.2.1

Factoriza $3$ de $15$ .

$\frac{3 \sqrt{15}}{3 \cdot 5}$

Paso 8.3.26.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \sqrt{15}}{3 \cdot 5}$

Paso 8.3.26.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{15}}{5}$

Paso 9

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una elipse.

Centro: $(\frac{27}{10}, - 4)$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 + \frac{\sqrt{17490}}{20})$

${Vertex}_{2}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 - \frac{\sqrt{17490}}{20})$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 + \frac{3 \sqrt{1166}}{20})$

${Focus}_{2}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 - \frac{3 \sqrt{1166}}{20})$

Excentricidad: $\frac{\sqrt{15}}{5}$

Paso 10