Preálgebra Ejemplos

$6 y^{2} - 12 y - 24 x - 42 = 0$

Paso 1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1

Resta $6 y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- 12 y - 24 x - 42 = - 6 y^{2}$

Paso 1.2

Suma $12 y$ a ambos lados de la ecuación.

$- 24 x - 42 = - 6 y^{2} + 12 y$

Paso 1.3

Suma $42$ a ambos lados de la ecuación.

$- 24 x = - 6 y^{2} + 12 y + 42$

Paso 2

Divide cada término en $- 24 x = - 6 y^{2} + 12 y + 42$ por $- 24$ y simplifica.

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Paso 2.1

Divide cada término en $- 24 x = - 6 y^{2} + 12 y + 42$ por $- 24$ .

$\frac{- 24 x}{- 24} = \frac{- 6 y^{2}}{- 24} + \frac{12 y}{- 24} + \frac{42}{- 24}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $- 24$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 24 x}{- 24} = \frac{- 6 y^{2}}{- 24} + \frac{12 y}{- 24} + \frac{42}{- 24}$

Paso 2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 6 y^{2}}{- 24} + \frac{12 y}{- 24} + \frac{42}{- 24}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

Cancela el factor común de $- 6$ y $- 24$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Factoriza $- 6$ de $- 6 y^{2}$ .

$x = \frac{- 6 (y^{2})}{- 24} + \frac{12 y}{- 24} + \frac{42}{- 24}$

Paso 2.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.1.1.2.1

Factoriza $- 6$ de $- 24$ .

$x = \frac{- 6 (y^{2})}{- 6 (4)} + \frac{12 y}{- 24} + \frac{42}{- 24}$

Paso 2.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{- 6 y^{2}}{- 6 \cdot 4} + \frac{12 y}{- 24} + \frac{42}{- 24}$

Paso 2.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{12 y}{- 24} + \frac{42}{- 24}$

Paso 2.3.1.2

Cancela el factor común de $12$ y $- 24$ .

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Paso 2.3.1.2.1

Factoriza $12$ de $12 y$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{12 (y)}{- 24} + \frac{42}{- 24}$

Paso 2.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.1.2.2.1

Factoriza $12$ de $- 24$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{12 y}{12 \cdot - 2} + \frac{42}{- 24}$

Paso 2.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{12 y}{12 \cdot - 2} + \frac{42}{- 24}$

Paso 2.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{- 2} + \frac{42}{- 24}$

Paso 2.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = \frac{y^{2}}{4} - \frac{y}{2} + \frac{42}{- 24}$

Paso 2.3.1.4

Cancela el factor común de $42$ y $- 24$ .

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Paso 2.3.1.4.1

Factoriza $6$ de $42$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} - \frac{y}{2} + \frac{6 (7)}{- 24}$

Paso 2.3.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.1.4.2.1

Factoriza $6$ de $- 24$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} - \frac{y}{2} + \frac{6 \cdot 7}{6 \cdot - 4}$

Paso 2.3.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{y^{2}}{4} - \frac{y}{2} + \frac{6 \cdot 7}{6 \cdot - 4}$

Paso 2.3.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{y^{2}}{4} - \frac{y}{2} + \frac{7}{- 4}$

Paso 2.3.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = \frac{y^{2}}{4} - \frac{y}{2} - \frac{7}{4}$

Paso 3

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 3.1.1

Completa el cuadrado de $\frac{y^{2}}{4} - \frac{y}{2} - \frac{7}{4}$ .

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Paso 3.1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = \frac{1}{4}$

$b = - \frac{1}{2}$

$c = - \frac{7}{4}$

Paso 3.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 3.1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 3.1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{1}{2}}{2 (\frac{1}{4})}$

Paso 3.1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.1.3.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{4})}$

Paso 3.1.1.3.2.2

Combina $2$ y $\frac{1}{4}$ .

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{4}}$

Paso 3.1.1.3.2.3

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 3.1.1.3.2.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{4}}$

Paso 3.1.1.3.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.1.3.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Paso 3.1.1.3.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Paso 3.1.1.3.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Paso 3.1.1.3.2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = - \frac{1}{2} (1 \cdot 2)$

Paso 3.1.1.3.2.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.1.3.2.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$d = \frac{- 1}{2} (1 \cdot 2)$

Paso 3.1.1.3.2.5.2

Factoriza $2$ de $1 \cdot 2$ .

$d = \frac{- 1}{2} (2 \cdot 1)$

Paso 3.1.1.3.2.5.3

Cancela el factor común.

$d = \frac{- 1}{2} (2 \cdot 1)$

Paso 3.1.1.3.2.5.4

Reescribe la expresión.

$d = - 1$

Paso 3.1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 3.1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Paso 3.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1.4.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.1.4.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Paso 3.1.1.4.2.1.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{1 {(\frac{1}{2})}^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Paso 3.1.1.4.2.1.1.3

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{1 \frac{1^{2}}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{4})}$

Paso 3.1.1.4.2.1.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$e = - \frac{7}{4} - \frac{1 \frac{1}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{4})}$

Paso 3.1.1.4.2.1.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{1 (\frac{1}{4})}{4 (\frac{1}{4})}$

Paso 3.1.1.4.2.1.1.6

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{4 (\frac{1}{4})}$

Paso 3.1.1.4.2.1.2

Combina $4$ y $\frac{1}{4}$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{4}{4}}$

Paso 3.1.1.4.2.1.3

Divide $4$ por $4$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{1}$

Paso 3.1.1.4.2.1.4

Divide $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{1}{4}$

Paso 3.1.1.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{- 7 - 1}{4}$

Paso 3.1.1.4.2.3

Resta $1$ de $- 7$ .

$e = \frac{- 8}{4}$

Paso 3.1.1.4.2.4

Divide $- 8$ por $4$ .

$e = - 2$

Paso 3.1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $\frac{1}{4} {(y - 1)}^{2} - 2$ .

$\frac{1}{4} {(y - 1)}^{2} - 2$

Paso 3.1.2

Establece $x$ igual al nuevo lado derecho.

$x = \frac{1}{4} \cdot {(y - 1)}^{2} - 2$

Paso 3.2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = \frac{1}{4}$

$h = - 2$

$k = 1$

Paso 3.3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia la derecha.

Abre a la derecha

Paso 3.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- 2, 1)$

Paso 3.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 3.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 3.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{4}}$

Paso 3.5.3

Simplifica.

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Paso 3.5.3.1

Combina $4$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{4}}$

Paso 3.5.3.2

Simplifica mediante la división de números.

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Paso 3.5.3.2.1

Divide $4$ por $4$ .

$\frac{1}{1}$

Paso 3.5.3.2.2

Divide $1$ por $1$ .

$1$

Paso 3.6

Obtén el foco.

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Paso 3.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada x $h$ si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$(h + p, k)$

Paso 3.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 1, 1)$

Paso 3.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$y = 1$

Paso 3.8

Obtén la directriz.

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Paso 3.8.1

La directriz de una parábola es la recta vertical que se obtiene al restar $p$ de la coordenada x $h$ del vértice si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$x = h - p$

Paso 3.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $h$ en la fórmula y simplifica.

$x = - 3$

Paso 3.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre a la derecha

Vértice: $(- 2, 1)$

Foco: $(- 1, 1)$

Eje de simetría: $y = 1$

Directriz: $x = - 3$

Dirección: abre a la derecha

Vértice: $(- 2, 1)$

Foco: $(- 1, 1)$

Eje de simetría: $y = 1$

Directriz: $x = - 3$

Paso 4

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 4.1

Sustituye el valor $x$ $- 1$ en $f (x) = 1 + 2 \sqrt{x + 2}$ . En este caso, el punto es $(- 1, 3)$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = 1 + 2 \sqrt{(- 1) + 2}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Suma $- 1$ y $2$ .

$f (- 1) = 1 + 2 \sqrt{1}$

Paso 4.1.2.1.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$f (- 1) = 1 + 2 \cdot 1$

Paso 4.1.2.1.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (- 1) = 1 + 2$

Paso 4.1.2.2

Suma $1$ y $2$ .

$f (- 1) = 3$

Paso 4.1.2.3

La respuesta final es $3$ .

$y = 3$

Paso 4.1.3

Convierte $3$ a decimal.

$= 3$

Paso 4.2

Sustituye el valor $x$ $- 1$ en $f (x) = 1 - 2 \sqrt{x + 2}$ . En este caso, el punto es $(- 1, - 1)$ .

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Paso 4.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = 1 - 2 \sqrt{(- 1) + 2}$

Paso 4.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Suma $- 1$ y $2$ .

$f (- 1) = 1 - 2 \sqrt{1}$

Paso 4.2.2.1.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$f (- 1) = 1 - 2 \cdot 1$

Paso 4.2.2.1.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f (- 1) = 1 - 2$

Paso 4.2.2.2

Resta $2$ de $1$ .

$f (- 1) = - 1$

Paso 4.2.2.3

La respuesta final es $- 1$ .

$y = - 1$

Paso 4.2.3

Convierte $- 1$ a decimal.

$= - 1$

Paso 4.3

Sustituye el valor $x$ $0$ en $f (x) = 1 + 2 \sqrt{x + 2}$ . En este caso, el punto es $(0, 3.82842712)$ .

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Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = 1 + 2 \sqrt{(0) + 2}$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.3.2.1

Suma $0$ y $2$ .

$f (0) = 1 + 2 \sqrt{2}$

Paso 4.3.2.2

La respuesta final es $1 + 2 \sqrt{2}$ .

$y = 1 + 2 \sqrt{2}$

Paso 4.3.3

Convierte $1 + 2 \sqrt{2}$ a decimal.

$= 3.82842712$

Paso 4.4

Sustituye el valor $x$ $0$ en $f (x) = 1 - 2 \sqrt{x + 2}$ . En este caso, el punto es $(0, - 1.82842712)$ .

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Paso 4.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = 1 - 2 \sqrt{(0) + 2}$

Paso 4.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.4.2.1

Suma $0$ y $2$ .

$f (0) = 1 - 2 \sqrt{2}$

Paso 4.4.2.2

La respuesta final es $1 - 2 \sqrt{2}$ .

$y = 1 - 2 \sqrt{2}$

Paso 4.4.3

Convierte $1 - 2 \sqrt{2}$ a decimal.

$= - 1.82842712$

Paso 4.5

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 1 \\ - 1 & 3 \\ - 1 & - 1 \\ 0 & 3.83 \\ 0 & - 1.83 \end{array}$

Paso 5

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre a la derecha

Vértice: $(- 2, 1)$

Foco: $(- 1, 1)$

Eje de simetría: $y = 1$

Directriz: $x = - 3$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 1 \\ - 1 & 3 \\ - 1 & - 1 \\ 0 & 3.83 \\ 0 & - 1.83 \end{array}$

Paso 6