Preálgebra Ejemplos

$- 3 y^{2} + 12 y - x - 9 = 0$

Paso 1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1

Suma $3 y^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$12 y - x - 9 = 3 y^{2}$

Paso 1.2

Resta $12 y$ de ambos lados de la ecuación.

$- x - 9 = 3 y^{2} - 12 y$

Paso 1.3

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$- x = 3 y^{2} - 12 y + 9$

Paso 2

Divide cada término en $- x = 3 y^{2} - 12 y + 9$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.1

Divide cada término en $- x = 3 y^{2} - 12 y + 9$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{3 y^{2}}{- 1} + \frac{- 12 y}{- 1} + \frac{9}{- 1}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{3 y^{2}}{- 1} + \frac{- 12 y}{- 1} + \frac{9}{- 1}$

Paso 2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{3 y^{2}}{- 1} + \frac{- 12 y}{- 1} + \frac{9}{- 1}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{3 y^{2}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot (3 y^{2}) + \frac{- 12 y}{- 1} + \frac{9}{- 1}$

Paso 2.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot (3 y^{2})$ como $- (3 y^{2})$ .

$x = - (3 y^{2}) + \frac{- 12 y}{- 1} + \frac{9}{- 1}$

Paso 2.3.1.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$x = - 3 y^{2} + \frac{- 12 y}{- 1} + \frac{9}{- 1}$

Paso 2.3.1.4

Mueve el negativo del denominador de $\frac{- 12 y}{- 1}$ .

$x = - 3 y^{2} - 1 \cdot (- 12 y) + \frac{9}{- 1}$

Paso 2.3.1.5

Reescribe $- 1 \cdot (- 12 y)$ como $- (- 12 y)$ .

$x = - 3 y^{2} - (- 12 y) + \frac{9}{- 1}$

Paso 2.3.1.6

Multiplica $- 12$ por $- 1$ .

$x = - 3 y^{2} + 12 y + \frac{9}{- 1}$

Paso 2.3.1.7

Divide $9$ por $- 1$ .

$x = - 3 y^{2} + 12 y - 9$

Paso 3

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 3.1.1

Completa el cuadrado de $- 3 y^{2} + 12 y - 9$ .

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Paso 3.1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 3$

$b = 12$

$c = - 9$

Paso 3.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 3.1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 3.1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{12}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $12$ y $2$ .

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Paso 3.1.1.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.1.1.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.1.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot - 3$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 (- 3)}$

Paso 3.1.1.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.1.1.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{6}{- 3}$

Paso 3.1.1.3.2.2

Cancela el factor común de $6$ y $- 3$ .

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Paso 3.1.1.3.2.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$d = \frac{3 (2)}{- 3}$

Paso 3.1.1.3.2.2.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Paso 3.1.1.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$d = - 2$

Paso 3.1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 3.1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 9 - \frac{12^{2}}{4 \cdot - 3}$

Paso 3.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1.4.2.1.1

Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$e = - 9 - \frac{144}{4 \cdot - 3}$

Paso 3.1.1.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 3$ .

$e = - 9 - \frac{144}{- 12}$

Paso 3.1.1.4.2.1.3

Divide $144$ por $- 12$ .

$e = - 9 - - 12$

Paso 3.1.1.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 12$ .

$e = - 9 + 12$

Paso 3.1.1.4.2.2

Suma $- 9$ y $12$ .

$e = 3$

Paso 3.1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- 3 {(y - 2)}^{2} + 3$ .

$- 3 {(y - 2)}^{2} + 3$

Paso 3.1.2

Establece $x$ igual al nuevo lado derecho.

$x = - 3 {(y - 2)}^{2} + 3$

Paso 3.2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - 3$

$h = 3$

$k = 2$

Paso 3.3

Como el valor de $a$ es negativo, la parábola se abre hacia la izquierda.

Abre hacia la izquierda

Paso 3.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(3, 2)$

Paso 3.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 3.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 3.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot - 3}$

Paso 3.5.3

Simplifica.

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Paso 3.5.3.1

Multiplica $4$ por $- 3$ .

$\frac{1}{- 12}$

Paso 3.5.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{12}$

Paso 3.6

Obtén el foco.

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Paso 3.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada x $h$ si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$(h + p, k)$

Paso 3.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(\frac{35}{12}, 2)$

Paso 3.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$y = 2$

Paso 3.8

Obtén la directriz.

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Paso 3.8.1

La directriz de una parábola es la recta vertical que se obtiene al restar $p$ de la coordenada x $h$ del vértice si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$x = h - p$

Paso 3.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $h$ en la fórmula y simplifica.

$x = \frac{37}{12}$

Paso 3.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia la izquierda

Vértice: $(3, 2)$

Foco: $(\frac{35}{12}, 2)$

Eje de simetría: $y = 2$

Directriz: $x = \frac{37}{12}$

Dirección: abre hacia la izquierda

Vértice: $(3, 2)$

Foco: $(\frac{35}{12}, 2)$

Eje de simetría: $y = 2$

Directriz: $x = \frac{37}{12}$

Paso 4

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 4.1

Sustituye el valor $x$ $1$ en $f (x) = \frac{6 + \sqrt{3 (- x + 3)}}{3}$ . En este caso, el punto es $(1, 2.81649658)$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = \frac{6 + \sqrt{3 (- (1) + 3)}}{3}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (1) = \frac{6 + \sqrt{3 (- 1 + 3)}}{3}$

Paso 4.1.2.1.2

Suma $- 1$ y $3$ .

$f (1) = \frac{6 + \sqrt{3 \cdot 2}}{3}$

Paso 4.1.2.1.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$f (1) = \frac{6 + \sqrt{6}}{3}$

Paso 4.1.2.2

La respuesta final es $\frac{6 + \sqrt{6}}{3}$ .

$y = \frac{6 + \sqrt{6}}{3}$

Paso 4.1.3

Convierte $\frac{6 + \sqrt{6}}{3}$ a decimal.

$= 2.81649658$

Paso 4.2

Sustituye el valor $x$ $1$ en $f (x) = \frac{6 - \sqrt{3 (- x + 3)}}{3}$ . En este caso, el punto es $(1, 1.18350341)$ .

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Paso 4.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = \frac{6 - \sqrt{3 (- (1) + 3)}}{3}$

Paso 4.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (1) = \frac{6 - \sqrt{3 (- 1 + 3)}}{3}$

Paso 4.2.2.1.2

Suma $- 1$ y $3$ .

$f (1) = \frac{6 - \sqrt{3 \cdot 2}}{3}$

Paso 4.2.2.1.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$f (1) = \frac{6 - \sqrt{6}}{3}$

Paso 4.2.2.2

La respuesta final es $\frac{6 - \sqrt{6}}{3}$ .

$y = \frac{6 - \sqrt{6}}{3}$

Paso 4.2.3

Convierte $\frac{6 - \sqrt{6}}{3}$ a decimal.

$= 1.18350341$

Paso 4.3

Sustituye el valor $x$ $2$ en $f (x) = \frac{6 + \sqrt{3 (- x + 3)}}{3}$ . En este caso, el punto es $(2, 2.57735026)$ .

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Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = \frac{6 + \sqrt{3 (- (2) + 3)}}{3}$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (2) = \frac{6 + \sqrt{3 (- 2 + 3)}}{3}$

Paso 4.3.2.1.2

Suma $- 2$ y $3$ .

$f (2) = \frac{6 + \sqrt{3 \cdot 1}}{3}$

Paso 4.3.2.1.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$f (2) = \frac{6 + \sqrt{3}}{3}$

Paso 4.3.2.2

La respuesta final es $\frac{6 + \sqrt{3}}{3}$ .

$y = \frac{6 + \sqrt{3}}{3}$

Paso 4.3.3

Convierte $\frac{6 + \sqrt{3}}{3}$ a decimal.

$= 2.57735026$

Paso 4.4

Sustituye el valor $x$ $2$ en $f (x) = \frac{6 - \sqrt{3 (- x + 3)}}{3}$ . En este caso, el punto es $(2, 1.42264973)$ .

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Paso 4.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = \frac{6 - \sqrt{3 (- (2) + 3)}}{3}$

Paso 4.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.4.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.4.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (2) = \frac{6 - \sqrt{3 (- 2 + 3)}}{3}$

Paso 4.4.2.1.2

Suma $- 2$ y $3$ .

$f (2) = \frac{6 - \sqrt{3 \cdot 1}}{3}$

Paso 4.4.2.1.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$f (2) = \frac{6 - \sqrt{3}}{3}$

Paso 4.4.2.2

La respuesta final es $\frac{6 - \sqrt{3}}{3}$ .

$y = \frac{6 - \sqrt{3}}{3}$

Paso 4.4.3

Convierte $\frac{6 - \sqrt{3}}{3}$ a decimal.

$= 1.42264973$

Paso 4.5

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 2.82 \\ 1 & 1.18 \\ 2 & 2.58 \\ 2 & 1.42 \\ 3 & 2 \end{array}$

Paso 5

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia la izquierda

Vértice: $(3, 2)$

Foco: $(\frac{35}{12}, 2)$

Eje de simetría: $y = 2$

Directriz: $x = \frac{37}{12}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 2.82 \\ 1 & 1.18 \\ 2 & 2.58 \\ 2 & 1.42 \\ 3 & 2 \end{array}$

Paso 6