Preálgebra Ejemplos

$36 x^{2} - 9 y^{2} - 72 x - 108 y + 36 = 0$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la hipérbola.

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Paso 1.1

Resta $36$ de ambos lados de la ecuación.

$36 x^{2} - 9 y^{2} - 72 x - 108 y = - 36$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $36 x^{2} - 72 x$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 36$

$b = - 72$

$c = 0$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 72}{2 \cdot 36}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $- 72$ y $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 72$ .

$d = \frac{2 \cdot - 36}{2 \cdot 36}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 36$ .

$d = \frac{2 \cdot - 36}{2 (36)}$

Paso 1.2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 36}{2 \cdot 36}$

Paso 1.2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 36}{36}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela el factor común de $- 36$ y $36$ .

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Paso 1.2.3.2.2.1

Factoriza $36$ de $- 36$ .

$d = \frac{36 \cdot - 1}{36}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.2.2.1

Factoriza $36$ de $36$ .

$d = \frac{36 \cdot - 1}{36 (1)}$

Paso 1.2.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{36 \cdot - 1}{36 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 1}{1}$

Paso 1.2.3.2.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$d = - 1$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 72)}^{2}}{4 \cdot 36}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Eleva $- 72$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{5184}{4 \cdot 36}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $36$ .

$e = 0 - \frac{5184}{144}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Divide $5184$ por $144$ .

$e = 0 - 1 \cdot 36$

Paso 1.2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $36$ .

$e = 0 - 36$

Paso 1.2.4.2.2

Resta $36$ de $0$ .

$e = - 36$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $36 {(x - 1)}^{2} - 36$ .

$36 {(x - 1)}^{2} - 36$

Paso 1.3

Sustituye $36 {(x - 1)}^{2} - 36$ por $36 x^{2} - 72 x$ en la ecuación $36 x^{2} - 9 y^{2} - 72 x - 108 y = - 36$ .

$36 {(x - 1)}^{2} - 36 - 9 y^{2} - 108 y = - 36$

Paso 1.4

Mueve $- 36$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $36$ a ambos lados.

$36 {(x - 1)}^{2} - 9 y^{2} - 108 y = - 36 + 36$

Paso 1.5

Completa el cuadrado de $- 9 y^{2} - 108 y$ .

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Paso 1.5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 9$

$b = - 108$

$c = 0$

Paso 1.5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 108}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.3.2.1

Cancela el factor común de $- 108$ y $2$ .

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Paso 1.5.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 108$ .

$d = \frac{2 \cdot - 54}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.5.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot - 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 54}{2 (- 9)}$

Paso 1.5.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 54}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.5.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 54}{- 9}$

Paso 1.5.3.2.2

Cancela el factor común de $- 54$ y $- 9$ .

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Paso 1.5.3.2.2.1

Factoriza $- 9$ de $- 54$ .

$d = \frac{- 9 (6)}{- 9}$

Paso 1.5.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.3.2.2.2.1

Factoriza $- 9$ de $- 9$ .

$d = \frac{- 9 \cdot 6}{- 9 \cdot 1}$

Paso 1.5.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{- 9 \cdot 6}{- 9 \cdot 1}$

Paso 1.5.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{6}{1}$

Paso 1.5.3.2.2.2.4

Divide $6$ por $1$ .

$d = 6$

Paso 1.5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 108)}^{2}}{4 \cdot - 9}$

Paso 1.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.4.2.1.1

Eleva $- 108$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{11664}{4 \cdot - 9}$

Paso 1.5.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 9$ .

$e = 0 - \frac{11664}{- 36}$

Paso 1.5.4.2.1.3

Divide $11664$ por $- 36$ .

$e = 0 - - 324$

Paso 1.5.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 324$ .

$e = 0 + 324$

Paso 1.5.4.2.2

Suma $0$ y $324$ .

$e = 324$

Paso 1.5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- 9 {(y + 6)}^{2} + 324$ .

$- 9 {(y + 6)}^{2} + 324$

Paso 1.6

Sustituye $- 9 {(y + 6)}^{2} + 324$ por $- 9 y^{2} - 108 y$ en la ecuación $36 x^{2} - 9 y^{2} - 72 x - 108 y = - 36$ .

$36 {(x - 1)}^{2} - 9 {(y + 6)}^{2} + 324 = - 36 + 36$

Paso 1.7

Mueve $324$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $324$ a ambos lados.

$36 {(x - 1)}^{2} - 9 {(y + 6)}^{2} = - 36 + 36 - 324$

Paso 1.8

Simplifica $- 36 + 36 - 324$ .

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Paso 1.8.1

Suma $- 36$ y $36$ .

$36 {(x - 1)}^{2} - 9 {(y + 6)}^{2} = 0 - 324$

Paso 1.8.2

Resta $324$ de $0$ .

$36 {(x - 1)}^{2} - 9 {(y + 6)}^{2} = - 324$

Paso 1.9

Da la vuelta al signo de cada término de la ecuación para que el término del lado derecho sea positivo.

$- 36 {(x - 1)}^{2} + 9 {(y + 6)}^{2} = 324$

Paso 1.10

Divide cada término por $324$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$- \frac{36 {(x - 1)}^{2}}{324} + \frac{9 {(y + 6)}^{2}}{324} = \frac{324}{324}$

Paso 1.11

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(y + 6)}^{2}}{36} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{9} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener los vértices y las asíntotas de la hipérbola.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen, $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen, $a$ .

$a = 6$

$b = 3$

$k = - 6$

$h = 1$

Paso 4

El centro de una hipérbola sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(1, - 6)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(6)}^{2} + {(3)}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{36 + {(3)}^{2}}$

Paso 5.3.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{36 + 9}$

Paso 5.3.3

Suma $36$ y $9$ .

$\sqrt{45}$

Paso 5.3.4

Reescribe $45$ como $3^{2} \cdot 5$ .

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Paso 5.3.4.1

Factoriza $9$ de $45$ .

$\sqrt{9 (5)}$

Paso 5.3.4.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\sqrt{3^{2} \cdot 5}$

Paso 5.3.5

Retira los términos de abajo del radical.

$3 \sqrt{5}$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una hipérbola puede obtenerse al sumar $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(1, 0)$

Paso 6.3

El segundo vértice de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $a$ de $k$ .

$(h, k - a)$

Paso 6.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(1, - 12)$

Paso 6.5

Los vértices de una hipérbola siguen la forma de $(h, k \pm a)$ . Las hipérbolas tienen dos vértices.

$(1, 0), (1, - 12)$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una hipérbola puede obtenerse al sumar $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(1, - 6 + 3 \sqrt{5})$

Paso 7.3

El segundo foco de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Paso 7.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(1, - 6 - 3 \sqrt{5})$

Paso 7.5

Los focos de una hipérbola siguen la forma de $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Las hipérbolas tienen dos focos.

$(1, - 6 + 3 \sqrt{5}), (1, - 6 - 3 \sqrt{5})$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(6)}^{2} + {(3)}^{2}}}{6}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{36 + 3^{2}}}{6}$

Paso 8.3.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{36 + 9}}{6}$

Paso 8.3.1.3

Suma $36$ y $9$ .

$\frac{\sqrt{45}}{6}$

Paso 8.3.1.4

Reescribe $45$ como $3^{2} \cdot 5$ .

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Paso 8.3.1.4.1

Factoriza $9$ de $45$ .

$\frac{\sqrt{9 (5)}}{6}$

Paso 8.3.1.4.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 5}}{6}$

Paso 8.3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{3 \sqrt{5}}{6}$

Paso 8.3.2

Cancela el factor común de $3$ y $6$ .

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Paso 8.3.2.1

Factoriza $3$ de $3 \sqrt{5}$ .

$\frac{3 (\sqrt{5})}{6}$

Paso 8.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.2.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{3 \sqrt{5}}{3 \cdot 2}$

Paso 8.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \sqrt{5}}{3 \cdot 2}$

Paso 8.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

Paso 9

Obtén el parámetro focal.

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Paso 9.1

Obtén el valor del parámetro focal de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Paso 9.2

Sustituye los valores de $b$ y $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ en la fórmula.

$\frac{3^{2}}{3 \sqrt{5}}$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Cancela el factor común de $3^{2}$ y $3$ .

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Paso 9.3.1.1

Factoriza $3$ de $3^{2}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3 \sqrt{5}}$

Paso 9.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.3.1.2.1

Factoriza $3$ de $3 \sqrt{5}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3 (\sqrt{5})}$

Paso 9.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 3}{3 \sqrt{5}}$

Paso 9.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{\sqrt{5}}$

Paso 9.3.2

Multiplica $\frac{3}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Paso 9.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 9.3.3.1

Multiplica $\frac{3}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Paso 9.3.3.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Paso 9.3.3.3

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Paso 9.3.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Paso 9.3.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Paso 9.3.3.6

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 9.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 9.3.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 9.3.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 \sqrt{5}}{5^{1}}$

Paso 9.3.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Paso 10

Las asíntotas siguen la forma $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ porque esta hipérbola abre hacia arriba y hacia abajo.

$y = \pm 2 \cdot (x - (1)) - 6$

Paso 11

Simplifica para obtener la primera asíntota.

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Paso 11.1

Elimina los paréntesis.

$y = 2 \cdot (x - (1)) - 6$

Paso 11.2

Simplifica $2 \cdot (x - (1)) - 6$ .

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y = 2 \cdot (x - 1) - 6$

Paso 11.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 2 x + 2 \cdot - 1 - 6$

Paso 11.2.1.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y = 2 x - 2 - 6$

Paso 11.2.2

Resta $6$ de $- 2$ .

$y = 2 x - 8$

Paso 12

Simplifica para obtener la segunda asíntota.

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Paso 12.1

Elimina los paréntesis.

$y = - 2 \cdot (x - (1)) - 6$

Paso 12.2

Simplifica $- 2 \cdot (x - (1)) - 6$ .

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Paso 12.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y = - 2 \cdot (x - 1) - 6$

Paso 12.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - 2 x - 2 \cdot - 1 - 6$

Paso 12.2.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$y = - 2 x + 2 - 6$

Paso 12.2.2

Resta $6$ de $2$ .

$y = - 2 x - 4$

Paso 13

Esta hipérbola tiene dos asíntotas.

$y = 2 x - 8, y = - 2 x - 4$

Paso 14

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una hipérbola.

Centro: $(1, - 6)$

Vértices: $(1, 0), (1, - 12)$

Focos: $(1, - 6 + 3 \sqrt{5}), (1, - 6 - 3 \sqrt{5})$

Excentricidad: $\frac{\sqrt{5}}{2}$

Parámetro focal: $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Asíntotas: $y = 2 x - 8$ , $y = - 2 x - 4$

Paso 15