Preálgebra Ejemplos

$36 x^{2} - 25 y^{2} - 288 x - 100 y + 1376 = 0$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la hipérbola.

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Paso 1.1

Resta $1376$ de ambos lados de la ecuación.

$36 x^{2} - 25 y^{2} - 288 x - 100 y = - 1376$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $36 x^{2} - 288 x$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 36$

$b = - 288$

$c = 0$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 288}{2 \cdot 36}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $- 288$ y $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 288$ .

$d = \frac{2 \cdot - 144}{2 \cdot 36}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 36$ .

$d = \frac{2 \cdot - 144}{2 (36)}$

Paso 1.2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 144}{2 \cdot 36}$

Paso 1.2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 144}{36}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela el factor común de $- 144$ y $36$ .

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Paso 1.2.3.2.2.1

Factoriza $36$ de $- 144$ .

$d = \frac{36 \cdot - 4}{36}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.2.2.1

Factoriza $36$ de $36$ .

$d = \frac{36 \cdot - 4}{36 (1)}$

Paso 1.2.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{36 \cdot - 4}{36 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 4}{1}$

Paso 1.2.3.2.2.2.4

Divide $- 4$ por $1$ .

$d = - 4$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 288)}^{2}}{4 \cdot 36}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Eleva $- 288$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{82944}{4 \cdot 36}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $36$ .

$e = 0 - \frac{82944}{144}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Divide $82944$ por $144$ .

$e = 0 - 1 \cdot 576$

Paso 1.2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $576$ .

$e = 0 - 576$

Paso 1.2.4.2.2

Resta $576$ de $0$ .

$e = - 576$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $36 {(x - 4)}^{2} - 576$ .

$36 {(x - 4)}^{2} - 576$

Paso 1.3

Sustituye $36 {(x - 4)}^{2} - 576$ por $36 x^{2} - 288 x$ en la ecuación $36 x^{2} - 25 y^{2} - 288 x - 100 y = - 1376$ .

$36 {(x - 4)}^{2} - 576 - 25 y^{2} - 100 y = - 1376$

Paso 1.4

Mueve $- 576$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $576$ a ambos lados.

$36 {(x - 4)}^{2} - 25 y^{2} - 100 y = - 1376 + 576$

Paso 1.5

Completa el cuadrado de $- 25 y^{2} - 100 y$ .

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Paso 1.5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 25$

$b = - 100$

$c = 0$

Paso 1.5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 100}{2 \cdot - 25}$

Paso 1.5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.3.2.1

Cancela el factor común de $- 100$ y $2$ .

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Paso 1.5.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 100$ .

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot - 25}$

Paso 1.5.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot - 25$ .

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 (- 25)}$

Paso 1.5.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot - 25}$

Paso 1.5.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 50}{- 25}$

Paso 1.5.3.2.2

Cancela el factor común de $- 50$ y $- 25$ .

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Paso 1.5.3.2.2.1

Factoriza $- 25$ de $- 50$ .

$d = \frac{- 25 (2)}{- 25}$

Paso 1.5.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.3.2.2.2.1

Factoriza $- 25$ de $- 25$ .

$d = \frac{- 25 \cdot 2}{- 25 \cdot 1}$

Paso 1.5.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{- 25 \cdot 2}{- 25 \cdot 1}$

Paso 1.5.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{2}{1}$

Paso 1.5.3.2.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$d = 2$

Paso 1.5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 100)}^{2}}{4 \cdot - 25}$

Paso 1.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.4.2.1.1

Eleva $- 100$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{10000}{4 \cdot - 25}$

Paso 1.5.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 25$ .

$e = 0 - \frac{10000}{- 100}$

Paso 1.5.4.2.1.3

Divide $10000$ por $- 100$ .

$e = 0 - - 100$

Paso 1.5.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 100$ .

$e = 0 + 100$

Paso 1.5.4.2.2

Suma $0$ y $100$ .

$e = 100$

Paso 1.5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- 25 {(y + 2)}^{2} + 100$ .

$- 25 {(y + 2)}^{2} + 100$

Paso 1.6

Sustituye $- 25 {(y + 2)}^{2} + 100$ por $- 25 y^{2} - 100 y$ en la ecuación $36 x^{2} - 25 y^{2} - 288 x - 100 y = - 1376$ .

$36 {(x - 4)}^{2} - 25 {(y + 2)}^{2} + 100 = - 1376 + 576$

Paso 1.7

Mueve $100$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $100$ a ambos lados.

$36 {(x - 4)}^{2} - 25 {(y + 2)}^{2} = - 1376 + 576 - 100$

Paso 1.8

Simplifica $- 1376 + 576 - 100$ .

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Paso 1.8.1

Suma $- 1376$ y $576$ .

$36 {(x - 4)}^{2} - 25 {(y + 2)}^{2} = - 800 - 100$

Paso 1.8.2

Resta $100$ de $- 800$ .

$36 {(x - 4)}^{2} - 25 {(y + 2)}^{2} = - 900$

Paso 1.9

Da la vuelta al signo de cada término de la ecuación para que el término del lado derecho sea positivo.

$- 36 {(x - 4)}^{2} + 25 {(y + 2)}^{2} = 900$

Paso 1.10

Divide cada término por $900$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$- \frac{36 {(x - 4)}^{2}}{900} + \frac{25 {(y + 2)}^{2}}{900} = \frac{900}{900}$

Paso 1.11

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(y + 2)}^{2}}{36} - \frac{{(x - 4)}^{2}}{25} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener los vértices y las asíntotas de la hipérbola.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen, $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen, $a$ .

$a = 6$

$b = 5$

$k = - 2$

$h = 4$

Paso 4

El centro de una hipérbola sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(4, - 2)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(6)}^{2} + {(5)}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{36 + {(5)}^{2}}$

Paso 5.3.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{36 + 25}$

Paso 5.3.3

Suma $36$ y $25$ .

$\sqrt{61}$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una hipérbola puede obtenerse al sumar $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(4, 4)$

Paso 6.3

El segundo vértice de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $a$ de $k$ .

$(h, k - a)$

Paso 6.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(4, - 8)$

Paso 6.5

Los vértices de una hipérbola siguen la forma de $(h, k \pm a)$ . Las hipérbolas tienen dos vértices.

$(4, 4), (4, - 8)$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una hipérbola puede obtenerse al sumar $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(4, - 2 + \sqrt{61})$

Paso 7.3

El segundo foco de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Paso 7.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(4, - 2 - \sqrt{61})$

Paso 7.5

Los focos de una hipérbola siguen la forma de $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Las hipérbolas tienen dos focos.

$(4, - 2 + \sqrt{61}), (4, - 2 - \sqrt{61})$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(6)}^{2} + {(5)}^{2}}}{6}$

Paso 8.3

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{36 + 5^{2}}}{6}$

Paso 8.3.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{36 + 25}}{6}$

Paso 8.3.3

Suma $36$ y $25$ .

$\frac{\sqrt{61}}{6}$

Paso 9

Obtén el parámetro focal.

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Paso 9.1

Obtén el valor del parámetro focal de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Paso 9.2

Sustituye los valores de $b$ y $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ en la fórmula.

$\frac{5^{2}}{\sqrt{61}}$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\frac{25}{\sqrt{61}}$

Paso 9.3.2

Multiplica $\frac{25}{\sqrt{61}}$ por $\frac{\sqrt{61}}{\sqrt{61}}$ .

$\frac{25}{\sqrt{61}} \cdot \frac{\sqrt{61}}{\sqrt{61}}$

Paso 9.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 9.3.3.1

Multiplica $\frac{25}{\sqrt{61}}$ por $\frac{\sqrt{61}}{\sqrt{61}}$ .

$\frac{25 \sqrt{61}}{\sqrt{61} \sqrt{61}}$

Paso 9.3.3.2

Eleva $\sqrt{61}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{25 \sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{1} \sqrt{61}}$

Paso 9.3.3.3

Eleva $\sqrt{61}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{25 \sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{1} {\sqrt{61}}^{1}}$

Paso 9.3.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{25 \sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{1 + 1}}$

Paso 9.3.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{25 \sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{2}}$

Paso 9.3.3.6

Reescribe ${\sqrt{61}}^{2}$ como $61$ .

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Paso 9.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{61}$ como $61^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{25 \sqrt{61}}{{(61^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 9.3.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{25 \sqrt{61}}{61^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 9.3.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{25 \sqrt{61}}{61^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{25 \sqrt{61}}{61^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{25 \sqrt{61}}{61^{1}}$

Paso 9.3.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{25 \sqrt{61}}{61}$

Paso 10

Las asíntotas siguen la forma $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ porque esta hipérbola abre hacia arriba y hacia abajo.

$y = \pm \frac{6}{5} \cdot (x - (4)) - 2$

Paso 11

Simplifica para obtener la primera asíntota.

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Paso 11.1

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{6}{5} \cdot (x - (4)) - 2$

Paso 11.2

Simplifica $\frac{6}{5} \cdot (x - (4)) - 2$ .

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$y = \frac{6}{5} \cdot (x - 4) - 2$

Paso 11.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{6}{5} x + \frac{6}{5} \cdot - 4 - 2$

Paso 11.2.1.3

Combina $\frac{6}{5}$ y $x$ .

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{6}{5} \cdot - 4 - 2$

Paso 11.2.1.4

Multiplica $\frac{6}{5} \cdot - 4$ .

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Paso 11.2.1.4.1

Combina $\frac{6}{5}$ y $- 4$ .

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{6 \cdot - 4}{5} - 2$

Paso 11.2.1.4.2

Multiplica $6$ por $- 4$ .

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{- 24}{5} - 2$

Paso 11.2.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{6 x}{5} - \frac{24}{5} - 2$

Paso 11.2.2

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{6 x}{5} - \frac{24}{5} - 2 \cdot \frac{5}{5}$

Paso 11.2.3

Combina $- 2$ y $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{6 x}{5} - \frac{24}{5} + \frac{- 2 \cdot 5}{5}$

Paso 11.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{- 24 - 2 \cdot 5}{5}$

Paso 11.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 11.2.5.1

Multiplica $- 2$ por $5$ .

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{- 24 - 10}{5}$

Paso 11.2.5.2

Resta $10$ de $- 24$ .

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{- 34}{5}$

Paso 11.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{6 x}{5} - \frac{34}{5}$

Paso 12

Simplifica para obtener la segunda asíntota.

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Paso 12.1

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{6}{5} \cdot (x - (4)) - 2$

Paso 12.2

Simplifica $- \frac{6}{5} \cdot (x - (4)) - 2$ .

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Paso 12.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$y = - \frac{6}{5} \cdot (x - 4) - 2$

Paso 12.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{6}{5} x - \frac{6}{5} \cdot - 4 - 2$

Paso 12.2.1.3

Combina $x$ y $\frac{6}{5}$ .

$y = - \frac{x \cdot 6}{5} - \frac{6}{5} \cdot - 4 - 2$

Paso 12.2.1.4

Multiplica $- \frac{6}{5} \cdot - 4$ .

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Paso 12.2.1.4.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 6}{5} + 4 (\frac{6}{5}) - 2$

Paso 12.2.1.4.2

Combina $4$ y $\frac{6}{5}$ .

$y = - \frac{x \cdot 6}{5} + \frac{4 \cdot 6}{5} - 2$

Paso 12.2.1.4.3

Multiplica $4$ por $6$ .

$y = - \frac{x \cdot 6}{5} + \frac{24}{5} - 2$

Paso 12.2.1.5

Mueve $6$ a la izquierda de $x$ .

$y = - \frac{6 x}{5} + \frac{24}{5} - 2$

Paso 12.2.2

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$y = - \frac{6 x}{5} + \frac{24}{5} - 2 \cdot \frac{5}{5}$

Paso 12.2.3

Combina $- 2$ y $\frac{5}{5}$ .

$y = - \frac{6 x}{5} + \frac{24}{5} + \frac{- 2 \cdot 5}{5}$

Paso 12.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = - \frac{6 x}{5} + \frac{24 - 2 \cdot 5}{5}$

Paso 12.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 12.2.5.1

Multiplica $- 2$ por $5$ .

$y = - \frac{6 x}{5} + \frac{24 - 10}{5}$

Paso 12.2.5.2

Resta $10$ de $24$ .

$y = - \frac{6 x}{5} + \frac{14}{5}$

Paso 13

Esta hipérbola tiene dos asíntotas.

$y = \frac{6 x}{5} - \frac{34}{5}, y = - \frac{6 x}{5} + \frac{14}{5}$

Paso 14

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una hipérbola.

Centro: $(4, - 2)$

Vértices: $(4, 4), (4, - 8)$

Focos: $(4, - 2 + \sqrt{61}), (4, - 2 - \sqrt{61})$

Excentricidad: $\frac{\sqrt{61}}{6}$

Parámetro focal: $\frac{25 \sqrt{61}}{61}$

Asíntotas: $y = \frac{6 x}{5} - \frac{34}{5}$ , $y = - \frac{6 x}{5} + \frac{14}{5}$

Paso 15