Preálgebra Ejemplos

$3 x = y^{2} - 2 y + 7$

Paso 1

Divide cada término en $3 x = y^{2} - 2 y + 7$ por $3$ y simplifica.

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Paso 1.1

Divide cada término en $3 x = y^{2} - 2 y + 7$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{y^{2}}{3} + \frac{- 2 y}{3} + \frac{7}{3}$

Paso 1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{y^{2}}{3} + \frac{- 2 y}{3} + \frac{7}{3}$

Paso 1.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{y^{2}}{3} + \frac{- 2 y}{3} + \frac{7}{3}$

Paso 1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = \frac{y^{2}}{3} - \frac{2 y}{3} + \frac{7}{3}$

Paso 2

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 2.1.1

Completa el cuadrado de $\frac{y^{2}}{3} - \frac{2 y}{3} + \frac{7}{3}$ .

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Paso 2.1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = \frac{1}{3}$

$b = - \frac{2}{3}$

$c = \frac{7}{3}$

Paso 2.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{2}{3}}{2 (\frac{1}{3})}$

Paso 2.1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.1.3.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{3})}$

Paso 2.1.1.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.1.3.2.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{3}$ al numerador.

$d = \frac{- 2}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{3})}$

Paso 2.1.1.3.2.2.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$d = \frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{3})}$

Paso 2.1.1.3.2.2.3

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{3})}$

Paso 2.1.1.3.2.2.4

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3}}$

Paso 2.1.1.3.2.3

Multiplica $\frac{- 1}{3}$ por $\frac{1}{\frac{1}{3}}$ .

$d = \frac{- 1}{3 (\frac{1}{3})}$

Paso 2.1.1.3.2.4

Combina $3$ y $\frac{1}{3}$ .

$d = \frac{- 1}{\frac{3}{3}}$

Paso 2.1.1.3.2.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.1.1.3.2.5.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{- 1}{\frac{3}{3}}$

Paso 2.1.1.3.2.5.2

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 1}{1}$

Paso 2.1.1.3.2.6

Divide $- 1$ por $1$ .

$d = - 1$

Paso 2.1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{7}{3} - \frac{{(- \frac{2}{3})}^{2}}{4 (\frac{1}{3})}$

Paso 2.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.4.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.1.4.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{2}{3}$ .

$e = \frac{7}{3} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}}{4 (\frac{1}{3})}$

Paso 2.1.1.4.2.1.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{7}{3} - \frac{1 {(\frac{2}{3})}^{2}}{4 (\frac{1}{3})}$

Paso 2.1.1.4.2.1.1.3

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{3}$ .

$e = \frac{7}{3} - \frac{1 \frac{2^{2}}{3^{2}}}{4 (\frac{1}{3})}$

Paso 2.1.1.4.2.1.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{7}{3} - \frac{1 \frac{4}{3^{2}}}{4 (\frac{1}{3})}$

Paso 2.1.1.4.2.1.1.5

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{7}{3} - \frac{1 (\frac{4}{9})}{4 (\frac{1}{3})}$

Paso 2.1.1.4.2.1.1.6

Multiplica $\frac{4}{9}$ por $1$ .

$e = \frac{7}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{4 (\frac{1}{3})}$

Paso 2.1.1.4.2.1.2

Combina $4$ y $\frac{1}{3}$ .

$e = \frac{7}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{4}{3}}$

Paso 2.1.1.4.2.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = \frac{7}{3} - (\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{4})$

Paso 2.1.1.4.2.1.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.1.1.4.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$e = \frac{7}{3} - (\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{4})$

Paso 2.1.1.4.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$e = \frac{7}{3} - (\frac{1}{9} \cdot 3)$

Paso 2.1.1.4.2.1.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.1.1.4.2.1.5.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$e = \frac{7}{3} - (\frac{1}{3 (3)} \cdot 3)$

Paso 2.1.1.4.2.1.5.2

Cancela el factor común.

$e = \frac{7}{3} - (\frac{1}{3 \cdot 3} \cdot 3)$

Paso 2.1.1.4.2.1.5.3

Reescribe la expresión.

$e = \frac{7}{3} - \frac{1}{3}$

Paso 2.1.1.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{7 - 1}{3}$

Paso 2.1.1.4.2.3

Resta $1$ de $7$ .

$e = \frac{6}{3}$

Paso 2.1.1.4.2.4

Divide $6$ por $3$ .

$e = 2$

Paso 2.1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $\frac{1}{3} {(y - 1)}^{2} + 2$ .

$\frac{1}{3} {(y - 1)}^{2} + 2$

Paso 2.1.2

Establece $x$ igual al nuevo lado derecho.

$x = \frac{1}{3} \cdot {(y - 1)}^{2} + 2$

Paso 2.2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = \frac{1}{3}$

$h = 2$

$k = 1$

Paso 2.3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia la derecha.

Abre a la derecha

Paso 2.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(2, 1)$

Paso 2.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 2.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 2.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{3}}$

Paso 2.5.3

Simplifica.

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Paso 2.5.3.1

Combina $4$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{3}}$

Paso 2.5.3.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$1 (\frac{3}{4})$

Paso 2.5.3.3

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $1$ .

$\frac{3}{4}$

Paso 2.6

Obtén el foco.

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Paso 2.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada x $h$ si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$(h + p, k)$

Paso 2.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(\frac{11}{4}, 1)$

Paso 2.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$y = 1$

Paso 2.8

Obtén la directriz.

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Paso 2.8.1

La directriz de una parábola es la recta vertical que se obtiene al restar $p$ de la coordenada x $h$ del vértice si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$x = h - p$

Paso 2.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $h$ en la fórmula y simplifica.

$x = \frac{5}{4}$

Paso 2.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre a la derecha

Vértice: $(2, 1)$

Foco: $(\frac{11}{4}, 1)$

Eje de simetría: $y = 1$

Directriz: $x = \frac{5}{4}$

Dirección: abre a la derecha

Vértice: $(2, 1)$

Foco: $(\frac{11}{4}, 1)$

Eje de simetría: $y = 1$

Directriz: $x = \frac{5}{4}$

Paso 3

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 3.1

Sustituye el valor $x$ $3$ en $f (x) = 1 + \sqrt{3 (- 2 + x)}$ . En este caso, el punto es $(3, 2.7320508)$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = 1 + \sqrt{3 (- 2 + 3)}$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (3) = 1 + \sqrt{3 (- 2 + 3)}$

Paso 3.1.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.2.1

Suma $- 2$ y $3$ .

$f (3) = 1 + \sqrt{3 \cdot 1}$

Paso 3.1.2.2.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$f (3) = 1 + \sqrt{3}$

Paso 3.1.2.3

La respuesta final es $1 + \sqrt{3}$ .

$y = 1 + \sqrt{3}$

Paso 3.1.3

Convierte $1 + \sqrt{3}$ a decimal.

$= 2.7320508$

Paso 3.2

Sustituye el valor $x$ $3$ en $f (x) = 1 - \sqrt{3 (- 2 + x)}$ . En este caso, el punto es $(3, - 0.7320508)$ .

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Paso 3.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = 1 - \sqrt{3 (- 2 + 3)}$

Paso 3.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (3) = 1 - \sqrt{3 (- 2 + 3)}$

Paso 3.2.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.2.1

Suma $- 2$ y $3$ .

$f (3) = 1 - \sqrt{3 \cdot 1}$

Paso 3.2.2.2.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$f (3) = 1 - \sqrt{3}$

Paso 3.2.2.3

La respuesta final es $1 - \sqrt{3}$ .

$y = 1 - \sqrt{3}$

Paso 3.2.3

Convierte $1 - \sqrt{3}$ a decimal.

$= - 0.7320508$

Paso 3.3

Sustituye el valor $x$ $4$ en $f (x) = 1 + \sqrt{3 (- 2 + x)}$ . En este caso, el punto es $(4, 3.44948974)$ .

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Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f (4) = 1 + \sqrt{3 (- 2 + 4)}$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.3.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (4) = 1 + \sqrt{3 (- 2 + 4)}$

Paso 3.3.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.2.1

Suma $- 2$ y $4$ .

$f (4) = 1 + \sqrt{3 \cdot 2}$

Paso 3.3.2.2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$f (4) = 1 + \sqrt{6}$

Paso 3.3.2.3

La respuesta final es $1 + \sqrt{6}$ .

$y = 1 + \sqrt{6}$

Paso 3.3.3

Convierte $1 + \sqrt{6}$ a decimal.

$= 3.44948974$

Paso 3.4

Sustituye el valor $x$ $4$ en $f (x) = 1 - \sqrt{3 (- 2 + x)}$ . En este caso, el punto es $(4, - 1.44948974)$ .

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Paso 3.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f (4) = 1 - \sqrt{3 (- 2 + 4)}$

Paso 3.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.4.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (4) = 1 - \sqrt{3 (- 2 + 4)}$

Paso 3.4.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.2.1

Suma $- 2$ y $4$ .

$f (4) = 1 - \sqrt{3 \cdot 2}$

Paso 3.4.2.2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$f (4) = 1 - \sqrt{6}$

Paso 3.4.2.3

La respuesta final es $1 - \sqrt{6}$ .

$y = 1 - \sqrt{6}$

Paso 3.4.3

Convierte $1 - \sqrt{6}$ a decimal.

$= - 1.44948974$

Paso 3.5

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 1 \\ 3 & 2.73 \\ 3 & - 0.73 \\ 4 & 3.45 \\ 4 & - 1.45 \end{array}$

Paso 4

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre a la derecha

Vértice: $(2, 1)$

Foco: $(\frac{11}{4}, 1)$

Eje de simetría: $y = 1$

Directriz: $x = \frac{5}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 1 \\ 3 & 2.73 \\ 3 & - 0.73 \\ 4 & 3.45 \\ 4 & - 1.45 \end{array}$

Paso 5