Preálgebra Ejemplos

$x^{2} - y^{2} = 21$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la hipérbola.

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Paso 1.1

Divide cada término por $21$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{x^{2}}{21} - \frac{y^{2}}{21} = \frac{21}{21}$

Paso 1.2

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{x^{2}}{21} - \frac{y^{2}}{21} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener los vértices y las asíntotas de la hipérbola.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen, $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen, $a$ .

$a = \sqrt{21}$

$b = \sqrt{21}$

$k = 0$

$h = 0$

Paso 4

El centro de una hipérbola sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(0, 0)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(\sqrt{21})}^{2} + {(\sqrt{21})}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Reescribe ${\sqrt{21}}^{2}$ como $21$ .

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Paso 5.3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{21}$ como $21^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\sqrt{21})}^{2}}$

Paso 5.3.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{21^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\sqrt{21})}^{2}}$

Paso 5.3.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{21^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{21})}^{2}}$

Paso 5.3.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.1.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{21^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{21})}^{2}}$

Paso 5.3.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{21^{1} + {(\sqrt{21})}^{2}}$

Paso 5.3.1.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{21 + {(\sqrt{21})}^{2}}$

Paso 5.3.2

Reescribe ${\sqrt{21}}^{2}$ como $21$ .

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Paso 5.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{21}$ como $21^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{21 + {(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 5.3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{21 + 21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 5.3.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{21 + 21^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.3.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{21 + 21^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{21 + 21^{1}}$

Paso 5.3.2.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{21 + 21}$

Paso 5.3.3

Suma $21$ y $21$ .

$\sqrt{42}$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una hipérbola puede obtenerse al sumar $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(\sqrt{21}, 0)$

Paso 6.3

El segundo vértice de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $a$ de $h$ .

$(h - a, k)$

Paso 6.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- \sqrt{21}, 0)$

Paso 6.5

Los vértices de una hipérbola siguen la forma de $(h \pm a, k)$ . Las hipérbolas tienen dos vértices.

$(\sqrt{21}, 0), (- \sqrt{21}, 0)$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una hipérbola puede obtenerse al sumar $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(\sqrt{42}, 0)$

Paso 7.3

El segundo foco de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Paso 7.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- \sqrt{42}, 0)$

Paso 7.5

Los focos de una hipérbola siguen la forma de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Las hipérbolas tienen dos focos.

$(\sqrt{42}, 0), (- \sqrt{42}, 0)$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{21})}^{2} + {(\sqrt{21})}^{2}}}{\sqrt{21}}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1.1

Reescribe ${\sqrt{21}}^{2}$ como $21$ .

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Paso 8.3.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{21}$ como $21^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{21}}^{2}}}{\sqrt{21}}$

Paso 8.3.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{21^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{21}}^{2}}}{\sqrt{21}}$

Paso 8.3.1.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{21^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{21}}^{2}}}{\sqrt{21}}$

Paso 8.3.1.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{21^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{21}}^{2}}}{\sqrt{21}}$

Paso 8.3.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{21^{1} + {\sqrt{21}}^{2}}}{\sqrt{21}}$

Paso 8.3.1.1.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{21 + {\sqrt{21}}^{2}}}{\sqrt{21}}$

Paso 8.3.1.2

Reescribe ${\sqrt{21}}^{2}$ como $21$ .

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Paso 8.3.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{21}$ como $21^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{21 + {(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{21}}$

Paso 8.3.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{21 + 21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{21}}$

Paso 8.3.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{21 + 21^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{21}}$

Paso 8.3.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{21 + 21^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{21}}$

Paso 8.3.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{21 + 21^{1}}}{\sqrt{21}}$

Paso 8.3.1.2.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{21 + 21}}{\sqrt{21}}$

Paso 8.3.1.3

Suma $21$ y $21$ .

$\frac{\sqrt{42}}{\sqrt{21}}$

Paso 8.3.2

Combina $\sqrt{42}$ y $\sqrt{21}$ en un solo radical.

$\sqrt{\frac{42}{21}}$

Paso 8.3.3

Divide $42$ por $21$ .

$\sqrt{2}$

Paso 9

Obtén el parámetro focal.

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Paso 9.1

Obtén el valor del parámetro focal de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Paso 9.2

Sustituye los valores de $b$ y $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ en la fórmula.

$\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{\sqrt{42}}$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Reescribe ${\sqrt{21}}^{2}$ como $21$ .

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Paso 9.3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{21}$ como $21^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{42}}$

Paso 9.3.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt{42}}$

Paso 9.3.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{21^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{42}}$

Paso 9.3.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{21^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{42}}$

Paso 9.3.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{21^{1}}{\sqrt{42}}$

Paso 9.3.1.5

Evalúa el exponente.

$\frac{21}{\sqrt{42}}$

Paso 9.3.2

Multiplica $\frac{21}{\sqrt{42}}$ por $\frac{\sqrt{42}}{\sqrt{42}}$ .

$\frac{21}{\sqrt{42}} \cdot \frac{\sqrt{42}}{\sqrt{42}}$

Paso 9.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 9.3.3.1

Multiplica $\frac{21}{\sqrt{42}}$ por $\frac{\sqrt{42}}{\sqrt{42}}$ .

$\frac{21 \sqrt{42}}{\sqrt{42} \sqrt{42}}$

Paso 9.3.3.2

Eleva $\sqrt{42}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{21 \sqrt{42}}{{\sqrt{42}}^{1} \sqrt{42}}$

Paso 9.3.3.3

Eleva $\sqrt{42}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{21 \sqrt{42}}{{\sqrt{42}}^{1} {\sqrt{42}}^{1}}$

Paso 9.3.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{21 \sqrt{42}}{{\sqrt{42}}^{1 + 1}}$

Paso 9.3.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{21 \sqrt{42}}{{\sqrt{42}}^{2}}$

Paso 9.3.3.6

Reescribe ${\sqrt{42}}^{2}$ como $42$ .

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Paso 9.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{42}$ como $42^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{21 \sqrt{42}}{{(42^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 9.3.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{21 \sqrt{42}}{42^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 9.3.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{21 \sqrt{42}}{42^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{21 \sqrt{42}}{42^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{21 \sqrt{42}}{42^{1}}$

Paso 9.3.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{21 \sqrt{42}}{42}$

Paso 9.3.4

Cancela el factor común de $21$ y $42$ .

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Paso 9.3.4.1

Factoriza $21$ de $21 \sqrt{42}$ .

$\frac{21 (\sqrt{42})}{42}$

Paso 9.3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.3.4.2.1

Factoriza $21$ de $42$ .

$\frac{21 \sqrt{42}}{21 \cdot 2}$

Paso 9.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{21 \sqrt{42}}{21 \cdot 2}$

Paso 9.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{42}}{2}$

Paso 10

Las asíntotas siguen la forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ porque esta hipérbola abre hacia la izquierda y la derecha.

$y = \pm 1 \cdot x + 0$

Paso 11

Simplifica $1 \cdot x + 0$ .

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Paso 11.1

Suma $1 \cdot x$ y $0$ .

$y = 1 \cdot x$

Paso 11.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$y = x$

Paso 12

Simplifica $- 1 \cdot x + 0$ .

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Paso 12.1

Suma $- 1 \cdot x$ y $0$ .

$y = - 1 \cdot x$

Paso 12.2

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$y = - x$

Paso 13

Esta hipérbola tiene dos asíntotas.

$y = x, y = - x$

Paso 14

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una hipérbola.

Centro: $(0, 0)$

Vértices: $(\sqrt{21}, 0), (- \sqrt{21}, 0)$

Focos: $(\sqrt{42}, 0), (- \sqrt{42}, 0)$

Excentricidad: $\sqrt{2}$

Parámetro focal: $\frac{\sqrt{42}}{2}$

Asíntotas: $y = x$ , $y = - x$

Paso 15