Preálgebra Ejemplos

$\sqrt{x} - \sqrt[3]{x (x - 1)} < 0$

Paso 1

Suma $\sqrt[3]{x (x - 1)}$ a ambos lados de la desigualdad.

$\sqrt{x} < \sqrt[3]{x (x - 1)}$

Paso 2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

${\sqrt{x}}^{2} < {\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$

Paso 3

Simplifica cada lado de la desigualdad.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} < {\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} < {\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$

Paso 3.2.1.2

Simplifica.

$x < {\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica ${\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe ${\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$ como $\sqrt[3]{{(x (x - 1))}^{2}}$ .

$x < \sqrt[3]{{(x (x - 1))}^{2}}$

Paso 3.3.1.2

Aplica la regla del producto a $x (x - 1)$ .

$x < \sqrt[3]{x^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Paso 4

Reescribe para que $\sqrt[3]{x^{2} {(x - 1)}^{2}}$ quede en el lado izquierdo de la desigualdad.

$\sqrt[3]{x^{2} {(x - 1)}^{2}} > x$

Paso 5

To remove the radical on the left side of the inequality, cube both sides of the inequality.

${\sqrt[3]{x^{2} {(x - 1)}^{2}}}^{3} > x^{3}$

Paso 6

Simplifica cada lado de la desigualdad.

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Paso 6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x^{2} {(x - 1)}^{2}}$ como ${(x^{2} {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(x^{2} {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3} > x^{3}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Simplifica ${({(x^{2} {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 6.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 6.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} > x^{3}$

Paso 6.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(x^{2} {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} > x^{3}$

Paso 6.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(x^{2} {(x - 1)}^{2})}^{1} > x^{3}$

Paso 6.2.1.2

Simplifica.

$x^{2} {(x - 1)}^{2} > x^{3}$

Paso 7

Resuelve $x$

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Paso 7.1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la desigualdad.

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Paso 7.1.1

Resta $x^{3}$ de ambos lados de la desigualdad.

$x^{2} {(x - 1)}^{2} - x^{3} > 0$

Paso 7.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.2.1

Reescribe ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$x^{2} ((x - 1) (x - 1)) - x^{3} > 0$

Paso 7.1.2.2

Expande $(x - 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 7.1.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} (x (x - 1) - 1 (x - 1)) - x^{3} > 0$

Paso 7.1.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) - x^{3} > 0$

Paso 7.1.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - x^{3} > 0$

Paso 7.1.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 7.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.2.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - x^{3} > 0$

Paso 7.1.2.3.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) - x^{3} > 0$

Paso 7.1.2.3.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$x^{2} (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) - x^{3} > 0$

Paso 7.1.2.3.1.4

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$x^{2} (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) - x^{3} > 0$

Paso 7.1.2.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x^{2} (x^{2} - x - x + 1) - x^{3} > 0$

Paso 7.1.2.3.2

Resta $x$ de $- x$ .

$x^{2} (x^{2} - 2 x + 1) - x^{3} > 0$

Paso 7.1.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 - x^{3} > 0$

Paso 7.1.2.5

Simplifica.

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Paso 7.1.2.5.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.1.2.5.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2 + 2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 - x^{3} > 0$

Paso 7.1.2.5.1.2

Suma $2$ y $2$ .

$x^{4} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 - x^{3} > 0$

Paso 7.1.2.5.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{4} - 2 x^{2} x + x^{2} \cdot 1 - x^{3} > 0$

Paso 7.1.2.5.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$x^{4} - 2 x^{2} x + x^{2} - x^{3} > 0$

Paso 7.1.2.6

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 7.1.2.6.1

Mueve $x$ .

$x^{4} - 2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} - x^{3} > 0$

Paso 7.1.2.6.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 7.1.2.6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{4} - 2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} - x^{3} > 0$

Paso 7.1.2.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{4} - 2 x^{1 + 2} + x^{2} - x^{3} > 0$

Paso 7.1.2.6.3

Suma $1$ y $2$ .

$x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - x^{3} > 0$

Paso 7.1.3

Resta $x^{3}$ de $- 2 x^{3}$ .

$x^{4} - 3 x^{3} + x^{2} > 0$

Paso 7.2

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{4} - 3 x^{3} + x^{2} = 0$

Paso 7.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{4} - 3 x^{3} + x^{2}$ .

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Paso 7.3.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - 3 x^{3} + x^{2} = 0$

Paso 7.3.2

Factoriza $x^{2}$ de $- 3 x^{3}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 3 x) + x^{2} = 0$

Paso 7.3.3

Multiplica por $1$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 3 x) + x^{2} \cdot 1 = 0$

Paso 7.3.4

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} x^{2} + x^{2} (- 3 x)$ .

$x^{2} (x^{2} - 3 x) + x^{2} \cdot 1 = 0$

Paso 7.3.5

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (x^{2} - 3 x) + x^{2} \cdot 1$ .

$x^{2} (x^{2} - 3 x + 1) = 0$

Paso 7.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 3 x + 1 = 0$

Paso 7.5

Establece $x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.5.1

Establece $x^{2}$ igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 7.5.2

Resuelve $x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 7.5.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 7.5.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 7.5.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 7.5.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 7.5.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 7.6

Establece $x^{2} - 3 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.6.1

Establece $x^{2} - 3 x + 1$ igual a $0$ .

$x^{2} - 3 x + 1 = 0$

Paso 7.6.2

Resuelve $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 7.6.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 7.6.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 3$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.6.2.3

Simplifica.

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Paso 7.6.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.6.2.3.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.6.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 7.6.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.6.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.6.2.3.1.3

Resta $4$ de $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.6.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Paso 7.6.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 7.6.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.6.2.4.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.6.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 7.6.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.6.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.6.2.4.1.3

Resta $4$ de $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.6.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Paso 7.6.2.4.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Paso 7.6.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 7.6.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.6.2.5.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.6.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 7.6.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.6.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.6.2.5.1.3

Resta $4$ de $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.6.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Paso 7.6.2.5.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Paso 7.6.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Paso 7.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $x^{2} (x^{2} - 3 x + 1) = 0$ verdadera.

$x = 0, \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Paso 8

Obtén el dominio de $\sqrt{x} - \sqrt[3]{x (x - 1)}$ .

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Paso 8.1

Establece el radicando en $\sqrt{x}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x \geq 0$

Paso 8.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$[0, \infty)$

Paso 9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x > \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x > \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Notación de intervalo:

$(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \infty)$

Paso 11