Preálgebra Ejemplos

$t^{2} + \frac{2}{3} t + \frac{1}{9}$

Paso 1

Combina $\frac{2}{3}$ y $x$ .

$y = x^{2} + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{9}$

Paso 2

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 2.1.1

Completa el cuadrado de $x^{2} + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{9}$ .

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Paso 2.1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = \frac{2}{3}$

$c = \frac{1}{9}$

Paso 2.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{2}{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.1.3.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Paso 2.1.1.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.1.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 (1)}$

Paso 2.1.1.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Paso 2.1.1.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{1}{3}$

Paso 2.1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{1}{9} - \frac{{(\frac{2}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 2.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.4.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.1.4.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{3}$ .

$e = \frac{1}{9} - \frac{\frac{2^{2}}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Paso 2.1.1.4.2.1.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{1}{9} - \frac{\frac{4}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Paso 2.1.1.4.2.1.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{1}{9} - \frac{\frac{4}{9}}{4 \cdot 1}$

Paso 2.1.1.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = \frac{1}{9} - \frac{\frac{4}{9}}{4}$

Paso 2.1.1.4.2.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = \frac{1}{9} - (\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Paso 2.1.1.4.2.1.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.1.1.4.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$e = \frac{1}{9} - (\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Paso 2.1.1.4.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$e = \frac{1}{9} - \frac{1}{9}$

Paso 2.1.1.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{1 - 1}{9}$

Paso 2.1.1.4.2.3

Resta $1$ de $1$ .

$e = \frac{0}{9}$

Paso 2.1.1.4.2.4

Divide $0$ por $9$ .

$e = 0$

Paso 2.1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(x + \frac{1}{3})}^{2} + 0$ .

${(x + \frac{1}{3})}^{2} + 0$

Paso 2.1.2

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = {(x + \frac{1}{3})}^{2} + 0$

Paso 2.2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = 1$

$h = - \frac{1}{3}$

$k = 0$

Paso 2.3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 2.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- \frac{1}{3}, 0)$

Paso 2.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 2.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 2.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 2.5.3

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 2.5.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 2.5.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4}$

Paso 2.6

Obtén el foco.

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Paso 2.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 2.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- \frac{1}{3}, \frac{1}{4})$

Paso 2.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = - \frac{1}{3}$

Paso 2.8

Obtén la directriz.

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Paso 2.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 2.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = - \frac{1}{4}$

Paso 2.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- \frac{1}{3}, 0)$

Foco: $(- \frac{1}{3}, \frac{1}{4})$

Eje de simetría: $x = - \frac{1}{3}$

Directriz: $y = - \frac{1}{4}$

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- \frac{1}{3}, 0)$

Foco: $(- \frac{1}{3}, \frac{1}{4})$

Eje de simetría: $x = - \frac{1}{3}$

Directriz: $y = - \frac{1}{4}$

Paso 3

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = {(- 1)}^{2} + \frac{2 (- 1)}{3} + \frac{1}{9}$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{2} + \frac{- 2}{3} + \frac{1}{9}$

Paso 3.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- 1) = 1 + \frac{- 2}{3} + \frac{1}{9}$

Paso 3.2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 1) = 1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{9}$

Paso 3.2.3

Obtén el denominador común

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Paso 3.2.3.1

Escribe $1$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{1} - \frac{2}{3} + \frac{1}{9}$

Paso 3.2.3.2

Multiplica $\frac{1}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{1} \cdot \frac{9}{9} - \frac{2}{3} + \frac{1}{9}$

Paso 3.2.3.3

Multiplica $\frac{1}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (- 1) = \frac{9}{9} - \frac{2}{3} + \frac{1}{9}$

Paso 3.2.3.4

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = \frac{9}{9} - (\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{1}{9}$

Paso 3.2.3.5

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = \frac{9}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{1}{9}$

Paso 3.2.3.6

Multiplica $3$ por $3$ .

$f (- 1) = \frac{9}{9} - \frac{2 \cdot 3}{9} + \frac{1}{9}$

Paso 3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 1) = \frac{9 - 2 \cdot 3 + 1}{9}$

Paso 3.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.5.1

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$f (- 1) = \frac{9 - 6 + 1}{9}$

Paso 3.2.5.2

Resta $6$ de $9$ .

$f (- 1) = \frac{3 + 1}{9}$

Paso 3.2.5.3

Suma $3$ y $1$ .

$f (- 1) = \frac{4}{9}$

Paso 3.2.6

La respuesta final es $\frac{4}{9}$ .

$\frac{4}{9}$

Paso 3.3

El valor de $y$ en $x = - 1$ es $\frac{4}{9}$ .

$y = \frac{4}{9}$

Paso 3.4

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = {(- 2)}^{2} + \frac{2 (- 2)}{3} + \frac{1}{9}$

Paso 3.5

Simplifica el resultado.

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Paso 3.5.1

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f (- 2) = {(- 2)}^{2} + \frac{- 4}{3} + \frac{1}{9}$

Paso 3.5.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f (- 2) = 4 + \frac{- 4}{3} + \frac{1}{9}$

Paso 3.5.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 2) = 4 - \frac{4}{3} + \frac{1}{9}$

Paso 3.5.3

Obtén el denominador común

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Paso 3.5.3.1

Escribe $4$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- 2) = \frac{4}{1} - \frac{4}{3} + \frac{1}{9}$

Paso 3.5.3.2

Multiplica $\frac{4}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (- 2) = \frac{4}{1} \cdot \frac{9}{9} - \frac{4}{3} + \frac{1}{9}$

Paso 3.5.3.3

Multiplica $\frac{4}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (- 2) = \frac{4 \cdot 9}{9} - \frac{4}{3} + \frac{1}{9}$

Paso 3.5.3.4

Multiplica $\frac{4}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = \frac{4 \cdot 9}{9} - (\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{1}{9}$

Paso 3.5.3.5

Multiplica $\frac{4}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = \frac{4 \cdot 9}{9} - \frac{4 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{1}{9}$

Paso 3.5.3.6

Multiplica $3$ por $3$ .

$f (- 2) = \frac{4 \cdot 9}{9} - \frac{4 \cdot 3}{9} + \frac{1}{9}$

Paso 3.5.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 2) = \frac{4 \cdot 9 - 4 \cdot 3 + 1}{9}$

Paso 3.5.5

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.5.1

Multiplica $4$ por $9$ .

$f (- 2) = \frac{36 - 4 \cdot 3 + 1}{9}$

Paso 3.5.5.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$f (- 2) = \frac{36 - 12 + 1}{9}$

Paso 3.5.6

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 3.5.6.1

Resta $12$ de $36$ .

$f (- 2) = \frac{24 + 1}{9}$

Paso 3.5.6.2

Suma $24$ y $1$ .

$f (- 2) = \frac{25}{9}$

Paso 3.5.7

La respuesta final es $\frac{25}{9}$ .

$\frac{25}{9}$

Paso 3.6

El valor de $y$ en $x = - 2$ es $\frac{25}{9}$ .

$y = \frac{25}{9}$

Paso 3.7

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = {(1)}^{2} + \frac{2 (1)}{3} + \frac{1}{9}$

Paso 3.8

Simplifica el resultado.

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Paso 3.8.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (1) = {(1)}^{2} + \frac{2}{3} + \frac{1}{9}$

Paso 3.8.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = 1 + \frac{2}{3} + \frac{1}{9}$

Paso 3.8.3

Obtén el denominador común

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Paso 3.8.3.1

Escribe $1$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (1) = \frac{1}{1} + \frac{2}{3} + \frac{1}{9}$

Paso 3.8.3.2

Multiplica $\frac{1}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (1) = \frac{1}{1} \cdot \frac{9}{9} + \frac{2}{3} + \frac{1}{9}$

Paso 3.8.3.3

Multiplica $\frac{1}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (1) = \frac{9}{9} + \frac{2}{3} + \frac{1}{9}$

Paso 3.8.3.4

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{9}{9} + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{9}$

Paso 3.8.3.5

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{9}{9} + \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{1}{9}$

Paso 3.8.3.6

Multiplica $3$ por $3$ .

$f (1) = \frac{9}{9} + \frac{2 \cdot 3}{9} + \frac{1}{9}$

Paso 3.8.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (1) = \frac{9 + 2 \cdot 3 + 1}{9}$

Paso 3.8.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.8.5.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$f (1) = \frac{9 + 6 + 1}{9}$

Paso 3.8.5.2

Suma $9$ y $6$ .

$f (1) = \frac{15 + 1}{9}$

Paso 3.8.5.3

Suma $15$ y $1$ .

$f (1) = \frac{16}{9}$

Paso 3.8.6

La respuesta final es $\frac{16}{9}$ .

$\frac{16}{9}$

Paso 3.9

El valor de $y$ en $x = 1$ es $\frac{16}{9}$ .

$y = \frac{16}{9}$

Paso 3.10

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = {(2)}^{2} + \frac{2 (2)}{3} + \frac{1}{9}$

Paso 3.11

Simplifica el resultado.

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Paso 3.11.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (2) = {(2)}^{2} + \frac{4}{3} + \frac{1}{9}$

Paso 3.11.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (2) = 4 + \frac{4}{3} + \frac{1}{9}$

Paso 3.11.3

Obtén el denominador común

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Paso 3.11.3.1

Escribe $4$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (2) = \frac{4}{1} + \frac{4}{3} + \frac{1}{9}$

Paso 3.11.3.2

Multiplica $\frac{4}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (2) = \frac{4}{1} \cdot \frac{9}{9} + \frac{4}{3} + \frac{1}{9}$

Paso 3.11.3.3

Multiplica $\frac{4}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (2) = \frac{4 \cdot 9}{9} + \frac{4}{3} + \frac{1}{9}$

Paso 3.11.3.4

Multiplica $\frac{4}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{4 \cdot 9}{9} + \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{9}$

Paso 3.11.3.5

Multiplica $\frac{4}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{4 \cdot 9}{9} + \frac{4 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{1}{9}$

Paso 3.11.3.6

Multiplica $3$ por $3$ .

$f (2) = \frac{4 \cdot 9}{9} + \frac{4 \cdot 3}{9} + \frac{1}{9}$

Paso 3.11.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (2) = \frac{4 \cdot 9 + 4 \cdot 3 + 1}{9}$

Paso 3.11.5

Simplifica cada término.

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Paso 3.11.5.1

Multiplica $4$ por $9$ .

$f (2) = \frac{36 + 4 \cdot 3 + 1}{9}$

Paso 3.11.5.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$f (2) = \frac{36 + 12 + 1}{9}$

Paso 3.11.6

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 3.11.6.1

Suma $36$ y $12$ .

$f (2) = \frac{48 + 1}{9}$

Paso 3.11.6.2

Suma $48$ y $1$ .

$f (2) = \frac{49}{9}$

Paso 3.11.7

La respuesta final es $\frac{49}{9}$ .

$\frac{49}{9}$

Paso 3.12

El valor de $y$ en $x = 2$ es $\frac{49}{9}$ .

$y = \frac{49}{9}$

Paso 3.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & \frac{25}{9} \\ - 1 & \frac{4}{9} \\ - \frac{1}{3} & 0 \\ 1 & \frac{16}{9} \\ 2 & \frac{49}{9} \end{array}$

Paso 4

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- \frac{1}{3}, 0)$

Foco: $(- \frac{1}{3}, \frac{1}{4})$

Eje de simetría: $x = - \frac{1}{3}$

Directriz: $y = - \frac{1}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & \frac{25}{9} \\ - 1 & \frac{4}{9} \\ - \frac{1}{3} & 0 \\ 1 & \frac{16}{9} \\ 2 & \frac{49}{9} \end{array}$

Paso 5