Preálgebra Ejemplos

$- \frac{2}{3} x^{2} + 8 x - 24$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 2}{3} + 8 x - 24$

Paso 1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$y = - \frac{2 x^{2}}{3} + 8 x - 24$

Paso 2

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 2.1.1

Completa el cuadrado de $- \frac{2 x^{2}}{3} + 8 x - 24$ .

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Paso 2.1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - \frac{2}{3}$

$b = 8$

$c = - 24$

Paso 2.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 (- \frac{2}{3})}$

Paso 2.1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $8$ y $2$ .

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Paso 2.1.1.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (- \frac{2}{3})}$

Paso 2.1.1.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.1.3.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (- \frac{2}{3})}$

Paso 2.1.1.3.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$d = \frac{4}{- \frac{2}{3}}$

Paso 2.1.1.3.2.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = 4 (- \frac{3}{2})$

Paso 2.1.1.3.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.1.3.2.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{2}$ al numerador.

$d = 4 (\frac{- 3}{2})$

Paso 2.1.1.3.2.3.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$d = 2 (2) \frac{- 3}{2}$

Paso 2.1.1.3.2.3.3

Cancela el factor común.

$d = 2 \cdot 2 \frac{- 3}{2}$

Paso 2.1.1.3.2.3.4

Reescribe la expresión.

$d = 2 \cdot - 3$

Paso 2.1.1.3.2.4

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$d = - 6$

Paso 2.1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 24 - \frac{8^{2}}{4 (- \frac{2}{3})}$

Paso 2.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.4.2.1.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$e = - 24 - \frac{64}{4 (- \frac{2}{3})}$

Paso 2.1.1.4.2.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1.1.4.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = - 24 - \frac{64}{- 4 (\frac{2}{3})}$

Paso 2.1.1.4.2.1.2.2

Combina $- 4$ y $\frac{2}{3}$ .

$e = - 24 - \frac{64}{\frac{- 4 \cdot 2}{3}}$

Paso 2.1.1.4.2.1.3

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$e = - 24 - \frac{64}{\frac{- 8}{3}}$

Paso 2.1.1.4.2.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = - 24 - \frac{64}{- \frac{8}{3}}$

Paso 2.1.1.4.2.1.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = - 24 - (64 (- \frac{3}{8}))$

Paso 2.1.1.4.2.1.6

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 2.1.1.4.2.1.6.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{8}$ al numerador.

$e = - 24 - (64 (\frac{- 3}{8}))$

Paso 2.1.1.4.2.1.6.2

Factoriza $8$ de $64$ .

$e = - 24 - (8 (8) \frac{- 3}{8})$

Paso 2.1.1.4.2.1.6.3

Cancela el factor común.

$e = - 24 - (8 \cdot 8 \frac{- 3}{8})$

Paso 2.1.1.4.2.1.6.4

Reescribe la expresión.

$e = - 24 - (8 \cdot - 3)$

Paso 2.1.1.4.2.1.7

Multiplica $8$ por $- 3$ .

$e = - 24 - - 24$

Paso 2.1.1.4.2.1.8

Multiplica $- 1$ por $- 24$ .

$e = - 24 + 24$

Paso 2.1.1.4.2.2

Suma $- 24$ y $24$ .

$e = 0$

Paso 2.1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- \frac{2}{3} {(x - 6)}^{2} + 0$ .

$- \frac{2}{3} {(x - 6)}^{2} + 0$

Paso 2.1.2

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = - \frac{2}{3} \cdot {(x - 6)}^{2} + 0$

Paso 2.2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - \frac{2}{3}$

$h = 6$

$k = 0$

Paso 2.3

Como el valor de $a$ es negativo, la parábola se abre hacia abajo.

Abre hacia abajo

Paso 2.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(6, 0)$

Paso 2.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 2.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 2.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{2}{3})}$

Paso 2.5.3

Simplifica.

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Paso 2.5.3.1

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 2.5.3.1.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{2}{3})}$

Paso 2.5.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4 (\frac{2}{3})}$

Paso 2.5.3.2

Combina $4$ y $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 2}{3}}$

Paso 2.5.3.3

Multiplica $4$ por $2$ .

$- \frac{1}{\frac{8}{3}}$

Paso 2.5.3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- (1 (\frac{3}{8}))$

Paso 2.5.3.5

Multiplica $\frac{3}{8}$ por $1$ .

$- \frac{3}{8}$

Paso 2.6

Obtén el foco.

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Paso 2.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 2.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(6, - \frac{3}{8})$

Paso 2.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = 6$

Paso 2.8

Obtén la directriz.

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Paso 2.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 2.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = \frac{3}{8}$

Paso 2.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(6, 0)$

Foco: $(6, - \frac{3}{8})$

Eje de simetría: $x = 6$

Directriz: $y = \frac{3}{8}$

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(6, 0)$

Foco: $(6, - \frac{3}{8})$

Eje de simetría: $x = 6$

Directriz: $y = \frac{3}{8}$

Paso 3

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $5$ en la expresión.

$f (5) = - \frac{2 {(5)}^{2}}{3} + 8 (5) - 24$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f (5) = - \frac{2 \cdot 25}{3} + 8 (5) - 24$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $2$ por $25$ .

$f (5) = - \frac{50}{3} + 8 (5) - 24$

Paso 3.2.1.3

Multiplica $8$ por $5$ .

$f (5) = - \frac{50}{3} + 40 - 24$

Paso 3.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 3.2.2.1

Escribe $40$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (5) = - \frac{50}{3} + \frac{40}{1} - 24$

Paso 3.2.2.2

Multiplica $\frac{40}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (5) = - \frac{50}{3} + \frac{40}{1} \cdot \frac{3}{3} - 24$

Paso 3.2.2.3

Multiplica $\frac{40}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (5) = - \frac{50}{3} + \frac{40 \cdot 3}{3} - 24$

Paso 3.2.2.4

Escribe $- 24$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (5) = - \frac{50}{3} + \frac{40 \cdot 3}{3} + \frac{- 24}{1}$

Paso 3.2.2.5

Multiplica $\frac{- 24}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (5) = - \frac{50}{3} + \frac{40 \cdot 3}{3} + \frac{- 24}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 3.2.2.6

Multiplica $\frac{- 24}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (5) = - \frac{50}{3} + \frac{40 \cdot 3}{3} + \frac{- 24 \cdot 3}{3}$

Paso 3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (5) = \frac{- 50 + 40 \cdot 3 - 24 \cdot 3}{3}$

Paso 3.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.4.1

Multiplica $40$ por $3$ .

$f (5) = \frac{- 50 + 120 - 24 \cdot 3}{3}$

Paso 3.2.4.2

Multiplica $- 24$ por $3$ .

$f (5) = \frac{- 50 + 120 - 72}{3}$

Paso 3.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.5.1

Suma $- 50$ y $120$ .

$f (5) = \frac{70 - 72}{3}$

Paso 3.2.5.2

Resta $72$ de $70$ .

$f (5) = \frac{- 2}{3}$

Paso 3.2.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (5) = - \frac{2}{3}$

Paso 3.2.6

La respuesta final es $- \frac{2}{3}$ .

$- \frac{2}{3}$

Paso 3.3

El valor de $y$ en $x = 5$ es $- \frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{2}{3}$

Paso 3.4

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f (4) = - \frac{2 {(4)}^{2}}{3} + 8 (4) - 24$

Paso 3.5

Simplifica el resultado.

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Paso 3.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (4) = - \frac{2 \cdot {(2^{2})}^{2}}{3} + 8 (4) - 24$

Paso 3.5.1.1.2

Multiplica los exponentes en ${(2^{2})}^{2}$ .

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Paso 3.5.1.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (4) = - \frac{2 \cdot 2^{2 \cdot 2}}{3} + 8 (4) - 24$

Paso 3.5.1.1.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (4) = - \frac{2 \cdot 2^{4}}{3} + 8 (4) - 24$

Paso 3.5.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (4) = - \frac{2^{1 + 4}}{3} + 8 (4) - 24$

Paso 3.5.1.1.4

Suma $1$ y $4$ .

$f (4) = - \frac{2^{5}}{3} + 8 (4) - 24$

Paso 3.5.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$f (4) = - \frac{32}{3} + 8 (4) - 24$

Paso 3.5.1.3

Multiplica $8$ por $4$ .

$f (4) = - \frac{32}{3} + 32 - 24$

Paso 3.5.2

Obtén el denominador común

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Paso 3.5.2.1

Escribe $32$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (4) = - \frac{32}{3} + \frac{32}{1} - 24$

Paso 3.5.2.2

Multiplica $\frac{32}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (4) = - \frac{32}{3} + \frac{32}{1} \cdot \frac{3}{3} - 24$

Paso 3.5.2.3

Multiplica $\frac{32}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (4) = - \frac{32}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3} - 24$

Paso 3.5.2.4

Escribe $- 24$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (4) = - \frac{32}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3} + \frac{- 24}{1}$

Paso 3.5.2.5

Multiplica $\frac{- 24}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (4) = - \frac{32}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3} + \frac{- 24}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 3.5.2.6

Multiplica $\frac{- 24}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (4) = - \frac{32}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3} + \frac{- 24 \cdot 3}{3}$

Paso 3.5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (4) = \frac{- 32 + 32 \cdot 3 - 24 \cdot 3}{3}$

Paso 3.5.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.4.1

Multiplica $32$ por $3$ .

$f (4) = \frac{- 32 + 96 - 24 \cdot 3}{3}$

Paso 3.5.4.2

Multiplica $- 24$ por $3$ .

$f (4) = \frac{- 32 + 96 - 72}{3}$

Paso 3.5.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.5.5.1

Suma $- 32$ y $96$ .

$f (4) = \frac{64 - 72}{3}$

Paso 3.5.5.2

Resta $72$ de $64$ .

$f (4) = \frac{- 8}{3}$

Paso 3.5.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (4) = - \frac{8}{3}$

Paso 3.5.6

La respuesta final es $- \frac{8}{3}$ .

$- \frac{8}{3}$

Paso 3.6

El valor de $y$ en $x = 4$ es $- \frac{8}{3}$ .

$y = - \frac{8}{3}$

Paso 3.7

Reemplaza la variable $x$ con $9$ en la expresión.

$f (9) = - \frac{2 {(9)}^{2}}{3} + 8 (9) - 24$

Paso 3.8

Simplifica el resultado.

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Paso 3.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.8.1.1

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$f (9) = - \frac{2 \cdot 81}{3} + 8 (9) - 24$

Paso 3.8.1.2

Multiplica $2$ por $81$ .

$f (9) = - \frac{162}{3} + 8 (9) - 24$

Paso 3.8.1.3

Divide $162$ por $3$ .

$f (9) = - 1 \cdot 54 + 8 (9) - 24$

Paso 3.8.1.4

Multiplica $- 1$ por $54$ .

$f (9) = - 54 + 8 (9) - 24$

Paso 3.8.1.5

Multiplica $8$ por $9$ .

$f (9) = - 54 + 72 - 24$

Paso 3.8.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 3.8.2.1

Suma $- 54$ y $72$ .

$f (9) = 18 - 24$

Paso 3.8.2.2

Resta $24$ de $18$ .

$f (9) = - 6$

Paso 3.8.3

La respuesta final es $- 6$ .

$- 6$

Paso 3.9

El valor de $y$ en $x = 9$ es $- 6$ .

$y = - 6$

Paso 3.10

Reemplaza la variable $x$ con $7$ en la expresión.

$f (7) = - \frac{2 {(7)}^{2}}{3} + 8 (7) - 24$

Paso 3.11

Simplifica el resultado.

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Paso 3.11.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.11.1.1

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$f (7) = - \frac{2 \cdot 49}{3} + 8 (7) - 24$

Paso 3.11.1.2

Multiplica $2$ por $49$ .

$f (7) = - \frac{98}{3} + 8 (7) - 24$

Paso 3.11.1.3

Multiplica $8$ por $7$ .

$f (7) = - \frac{98}{3} + 56 - 24$

Paso 3.11.2

Obtén el denominador común

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Paso 3.11.2.1

Escribe $56$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (7) = - \frac{98}{3} + \frac{56}{1} - 24$

Paso 3.11.2.2

Multiplica $\frac{56}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (7) = - \frac{98}{3} + \frac{56}{1} \cdot \frac{3}{3} - 24$

Paso 3.11.2.3

Multiplica $\frac{56}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (7) = - \frac{98}{3} + \frac{56 \cdot 3}{3} - 24$

Paso 3.11.2.4

Escribe $- 24$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (7) = - \frac{98}{3} + \frac{56 \cdot 3}{3} + \frac{- 24}{1}$

Paso 3.11.2.5

Multiplica $\frac{- 24}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (7) = - \frac{98}{3} + \frac{56 \cdot 3}{3} + \frac{- 24}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 3.11.2.6

Multiplica $\frac{- 24}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (7) = - \frac{98}{3} + \frac{56 \cdot 3}{3} + \frac{- 24 \cdot 3}{3}$

Paso 3.11.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (7) = \frac{- 98 + 56 \cdot 3 - 24 \cdot 3}{3}$

Paso 3.11.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.11.4.1

Multiplica $56$ por $3$ .

$f (7) = \frac{- 98 + 168 - 24 \cdot 3}{3}$

Paso 3.11.4.2

Multiplica $- 24$ por $3$ .

$f (7) = \frac{- 98 + 168 - 72}{3}$

Paso 3.11.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.11.5.1

Suma $- 98$ y $168$ .

$f (7) = \frac{70 - 72}{3}$

Paso 3.11.5.2

Resta $72$ de $70$ .

$f (7) = \frac{- 2}{3}$

Paso 3.11.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (7) = - \frac{2}{3}$

Paso 3.11.6

La respuesta final es $- \frac{2}{3}$ .

$- \frac{2}{3}$

Paso 3.12

El valor de $y$ en $x = 7$ es $- \frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{2}{3}$

Paso 3.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 4 & - \frac{8}{3} \\ 5 & - \frac{2}{3} \\ 6 & 0 \\ 7 & - \frac{2}{3} \\ 9 & - 6 \end{array}$

Paso 4

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(6, 0)$

Foco: $(6, - \frac{3}{8})$

Eje de simetría: $x = 6$

Directriz: $y = \frac{3}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 4 & - \frac{8}{3} \\ 5 & - \frac{2}{3} \\ 6 & 0 \\ 7 & - \frac{2}{3} \\ 9 & - 6 \end{array}$

Paso 5