Preálgebra Ejemplos

$x^{2} + 3 y^{2} - 12 y + 9 = 0$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la elipse.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + 3 y^{2} - 12 y = - 9$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $3 y^{2} - 12 y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 3$

$b = - 12$

$c = 0$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 12}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $- 12$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 12$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 3$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 (3)}$

Paso 1.2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 6}{3}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela el factor común de $- 6$ y $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.2.2.1

Factoriza $3$ de $- 6$ .

$d = \frac{3 \cdot - 2}{3}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.2.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$d = \frac{3 \cdot - 2}{3 (1)}$

Paso 1.2.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 2}{1}$

Paso 1.2.3.2.2.2.4

Divide $- 2$ por $1$ .

$d = - 2$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot 3}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.2.1.1

Eleva $- 12$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot 3}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$e = 0 - \frac{144}{12}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Divide $144$ por $12$ .

$e = 0 - 1 \cdot 12$

Paso 1.2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $12$ .

$e = 0 - 12$

Paso 1.2.4.2.2

Resta $12$ de $0$ .

$e = - 12$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $3 {(y - 2)}^{2} - 12$ .

$3 {(y - 2)}^{2} - 12$

Paso 1.3

Sustituye $3 {(y - 2)}^{2} - 12$ por $3 y^{2} - 12 y$ en la ecuación $x^{2} + 3 y^{2} - 12 y = - 9$ .

$x^{2} + 3 {(y - 2)}^{2} - 12 = - 9$

Paso 1.4

Mueve $- 12$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $12$ a ambos lados.

$x^{2} + 3 {(y - 2)}^{2} = - 9 + 12$

Paso 1.5

Suma $- 9$ y $12$ .

$x^{2} + 3 {(y - 2)}^{2} = 3$

Paso 1.6

Divide cada término por $3$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{3 {(y - 2)}^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

Paso 1.7

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{x^{2}}{3} + {(y - 2)}^{2} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una elipse. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener el centro, junto con los ejes mayor y menor de la elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta elipse con los de la ecuación ordinaria. La variable $a$ representa el radio del eje mayor de la elipse, $b$ representa el radio del eje menor de la elipse, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$a = \sqrt{3}$

$b = 1$

$k = 2$

$h = 0$

Paso 4

El centro de una elipse sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(0, 2)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la elipse con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} - {(1)}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(1)}^{2}}$

Paso 5.3.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(1)}^{2}}$

Paso 5.3.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{3^{\frac{2}{2}} - {(1)}^{2}}$

Paso 5.3.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{3^{\frac{2}{2}} - {(1)}^{2}}$

Paso 5.3.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{3^{1} - {(1)}^{2}}$

Paso 5.3.1.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{3 - {(1)}^{2}}$

Paso 5.3.2

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{3 - 1 \cdot 1}$

Paso 5.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\sqrt{3 - 1}$

Paso 5.3.2.3

Resta $1$ de $3$ .

$\sqrt{2}$

Paso 6

Obtén los vértices.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

El primer vértice de una elipse puede obtenerse al sumar $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(0 + \sqrt{3}, 2)$

Paso 6.3

Simplifica.

$(\sqrt{3}, 2)$

Paso 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Paso 6.5

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(0 - (\sqrt{3}), 2)$

Paso 6.6

Simplifica.

$(- \sqrt{3}, 2)$

Paso 6.7

Las elipses tienen dos vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(\sqrt{3}, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \sqrt{3}, 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(\sqrt{3}, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \sqrt{3}, 2)$

Paso 7

Obtén los focos.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

El primer foco de una elipse puede obtenerse al sumar $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(0 + \sqrt{2}, 2)$

Paso 7.3

Simplifica.

$(\sqrt{2}, 2)$

Paso 7.4

El segundo foco de una elipse puede obtenerse mediante la resta de $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Paso 7.5

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(0 - (\sqrt{2}), 2)$

Paso 7.6

Simplifica.

$(- \sqrt{2}, 2)$

Paso 7.7

Las elipses tienen dos focos.

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{2}, 2)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{2}, 2)$

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{2}, 2)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{2}, 2)$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} - {(1)}^{2}}}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1.1

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1^{2}}}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1^{2}}}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.1.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 1^{2}}}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.1.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 1^{2}}}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{3^{1} - 1^{2}}}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.1.1.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{3 - 1^{2}}}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{\sqrt{3 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{3 - 1}}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.1.4

Resta $1$ de $3$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.2

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.3

Combina y simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 8.3.3.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 8.3.3.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 8.3.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 8.3.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 8.3.3.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 8.3.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 8.3.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.3.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.3.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 8.3.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Paso 8.3.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.4.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

Paso 8.3.4.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{6}}{3}$

Paso 9

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una elipse.

Centro: $(0, 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(\sqrt{3}, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \sqrt{3}, 2)$

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{2}, 2)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{2}, 2)$

Excentricidad: $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Paso 10