Preálgebra Ejemplos

$x^{2} - 6 x - 6 < 0$

Paso 1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{2} - 6 x - 6 = 0$

Paso 2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 6$ y $c = - 6$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 6)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 6$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 24}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.3

Suma $36$ y $24$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.4

Reescribe $60$ como $2^{2} \cdot 15$ .

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Paso 4.1.4.1

Factoriza $4$ de $60$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2}$

Paso 4.3

Simplifica $\frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{15}$

Paso 5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

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Paso 5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 6$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 24}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.3

Suma $36$ y $24$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.4

Reescribe $60$ como $2^{2} \cdot 15$ .

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Paso 5.1.4.1

Factoriza $4$ de $60$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2}$

Paso 5.3

Simplifica $\frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{15}$

Paso 5.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = 3 + \sqrt{15}$

Paso 6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

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Paso 6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 6$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 24}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.3

Suma $36$ y $24$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.4

Reescribe $60$ como $2^{2} \cdot 15$ .

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Paso 6.1.4.1

Factoriza $4$ de $60$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2}$

Paso 6.3

Simplifica $\frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{15}$

Paso 6.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = 3 - \sqrt{15}$

Paso 7

Consolida las soluciones.

$x = 3 + \sqrt{15}, 3 - \sqrt{15}$

Paso 8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 3 - \sqrt{15}$

$3 - \sqrt{15} < x < 3 + \sqrt{15}$

$x > 3 + \sqrt{15}$

Paso 9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 9.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 3 - \sqrt{15}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 3 - \sqrt{15}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 3$

Paso 9.1.2

Reemplaza $x$ con $- 3$ en la desigualdad original.

${(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3 - 6 < 0$

Paso 9.1.3

$21$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 9.2

Prueba un valor en el intervalo $3 - \sqrt{15} < x < 3 + \sqrt{15}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.2.1

Elije un valor en el intervalo $3 - \sqrt{15} < x < 3 + \sqrt{15}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 9.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

${(0)}^{2} - 6 \cdot 0 - 6 < 0$

Paso 9.2.3

$- 6$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 9.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 3 + \sqrt{15}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 3 + \sqrt{15}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 9$

Paso 9.3.2

Reemplaza $x$ con $9$ en la desigualdad original.

${(9)}^{2} - 6 \cdot 9 - 6 < 0$

Paso 9.3.3

$21$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 9.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 3 - \sqrt{15}$ Falso

$3 - \sqrt{15} < x < 3 + \sqrt{15}$ Verdadero

$x > 3 + \sqrt{15}$ Falso

$x < 3 - \sqrt{15}$ Falso

$3 - \sqrt{15} < x < 3 + \sqrt{15}$ Verdadero

$x > 3 + \sqrt{15}$ Falso

Paso 10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$3 - \sqrt{15} < x < 3 + \sqrt{15}$

Paso 11