Preálgebra Ejemplos

$x^{2} - 2 x + 4 y - 5 = 0$

Paso 1

Resuelve $y$

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Paso 1.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x + 4 y - 5 = - x^{2}$

Paso 1.1.2

Suma $2 x$ a ambos lados de la ecuación.

$4 y - 5 = - x^{2} + 2 x$

Paso 1.1.3

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$4 y = - x^{2} + 2 x + 5$

Paso 1.2

Divide cada término en $4 y = - x^{2} + 2 x + 5$ por $4$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $4 y = - x^{2} + 2 x + 5$ por $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{- x^{2}}{4} + \frac{2 x}{4} + \frac{5}{4}$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 y}{4} = \frac{- x^{2}}{4} + \frac{2 x}{4} + \frac{5}{4}$

Paso 1.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- x^{2}}{4} + \frac{2 x}{4} + \frac{5}{4}$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 x}{4} + \frac{5}{4}$

Paso 1.2.3.1.2

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 1.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (x)}{4} + \frac{5}{4}$

Paso 1.2.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 x}{2 \cdot 2} + \frac{5}{4}$

Paso 1.2.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 x}{2 \cdot 2} + \frac{5}{4}$

Paso 1.2.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} + \frac{5}{4}$

Paso 2

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 2.1.1

Completa el cuadrado de $- \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} + \frac{5}{4}$ .

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Paso 2.1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$b = \frac{1}{2}$

$c = \frac{5}{4}$

Paso 2.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{1}{2}}{2 (- \frac{1}{4})}$

Paso 2.1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.1.3.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{4})}$

Paso 2.1.1.3.2.2

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 2.1.1.3.2.2.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 (- 1)}{2 (- \frac{1}{4})}$

Paso 2.1.1.3.2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d = \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 (\frac{1}{4})})$

Paso 2.1.1.3.2.3

Combina $2$ y $\frac{1}{4}$ .

$d = \frac{1}{2} (- \frac{1}{\frac{2}{4}})$

Paso 2.1.1.3.2.4

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 2.1.1.3.2.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$d = \frac{1}{2} (- \frac{1}{\frac{2 (1)}{4}})$

Paso 2.1.1.3.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.1.3.2.4.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$d = \frac{1}{2} (- \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}})$

Paso 2.1.1.3.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{1}{2} (- \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}})$

Paso 2.1.1.3.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{1}{2} (- \frac{1}{\frac{1}{2}})$

Paso 2.1.1.3.2.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = \frac{1}{2} (- (1 \cdot 2))$

Paso 2.1.1.3.2.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.1.3.2.6.1

Factoriza $2$ de $- (1 \cdot 2)$ .

$d = \frac{1}{2} (2 (- 1 \cdot (1)))$

Paso 2.1.1.3.2.6.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{1}{2} (2 (- 1 \cdot (1)))$

Paso 2.1.1.3.2.6.3

Reescribe la expresión.

$d = - 1 \cdot (1)$

Paso 2.1.1.3.2.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$d = - 1$

Paso 2.1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{5}{4} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Paso 2.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.4.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.1.4.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$e = \frac{5}{4} - \frac{\frac{1^{2}}{2^{2}}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Paso 2.1.1.4.2.1.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$e = \frac{5}{4} - \frac{\frac{1}{2^{2}}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Paso 2.1.1.4.2.1.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{5}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Paso 2.1.1.4.2.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1.1.4.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = \frac{5}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{- 4 (\frac{1}{4})}$

Paso 2.1.1.4.2.1.2.2

Combina $- 4$ y $\frac{1}{4}$ .

$e = \frac{5}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{- 4}{4}}$

Paso 2.1.1.4.2.1.3

Divide $- 4$ por $4$ .

$e = \frac{5}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{- 1}$

Paso 2.1.1.4.2.1.4

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\frac{1}{4}}{- 1}$ .

$e = \frac{5}{4} - (- 1 \cdot \frac{1}{4})$

Paso 2.1.1.4.2.1.5

Reescribe $- 1 \cdot \frac{1}{4}$ como $- \frac{1}{4}$ .

$e = \frac{5}{4} - - \frac{1}{4}$

Paso 2.1.1.4.2.1.6

Multiplica $- - \frac{1}{4}$ .

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Paso 2.1.1.4.2.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e = \frac{5}{4} + 1 (\frac{1}{4})$

Paso 2.1.1.4.2.1.6.2

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$e = \frac{5}{4} + \frac{1}{4}$

Paso 2.1.1.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{5 + 1}{4}$

Paso 2.1.1.4.2.3

Suma $5$ y $1$ .

$e = \frac{6}{4}$

Paso 2.1.1.4.2.4

Cancela el factor común de $6$ y $4$ .

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Paso 2.1.1.4.2.4.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$e = \frac{2 (3)}{4}$

Paso 2.1.1.4.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.1.4.2.4.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$e = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Paso 2.1.1.4.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$e = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Paso 2.1.1.4.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$e = \frac{3}{2}$

Paso 2.1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- \frac{1}{4} {(x - 1)}^{2} + \frac{3}{2}$ .

$- \frac{1}{4} {(x - 1)}^{2} + \frac{3}{2}$

Paso 2.1.2

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = - \frac{1}{4} \cdot {(x - 1)}^{2} + \frac{3}{2}$

Paso 2.2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$h = 1$

$k = \frac{3}{2}$

Paso 2.3

Como el valor de $a$ es negativo, la parábola se abre hacia abajo.

Abre hacia abajo

Paso 2.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(1, \frac{3}{2})$

Paso 2.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 2.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 2.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Paso 2.5.3

Simplifica.

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Paso 2.5.3.1

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 2.5.3.1.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Paso 2.5.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{4})}$

Paso 2.5.3.2

Combina $4$ y $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{4}}$

Paso 2.5.3.3

Divide $4$ por $4$ .

$- \frac{1}{1}$

Paso 2.5.3.4

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 2.5.3.4.1

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{1}$

Paso 2.5.3.4.2

Reescribe la expresión.

$- 1 \cdot 1$

Paso 2.5.3.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 2.6

Obtén el foco.

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Paso 2.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 2.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(1, \frac{1}{2})$

Paso 2.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = 1$

Paso 2.8

Obtén la directriz.

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Paso 2.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 2.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = \frac{5}{2}$

Paso 2.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(1, \frac{3}{2})$

Foco: $(1, \frac{1}{2})$

Eje de simetría: $x = 1$

Directriz: $y = \frac{5}{2}$

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(1, \frac{3}{2})$

Foco: $(1, \frac{1}{2})$

Eje de simetría: $x = 1$

Directriz: $y = \frac{5}{2}$

Paso 3

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = - \frac{{(0)}^{2}}{4} + \frac{0}{2} + \frac{5}{4}$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (0) = \frac{- {(0)}^{2} + 5}{4} + \frac{0}{2}$

Paso 3.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = \frac{- 0 + 5}{4} + \frac{0}{2}$

Paso 3.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 5}{4} + \frac{0}{2}$

Paso 3.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.3.1

Suma $0$ y $5$ .

$f (0) = \frac{5}{4} + \frac{0}{2}$

Paso 3.2.3.2

Divide $0$ por $2$ .

$f (0) = \frac{5}{4} + 0$

Paso 3.2.3.3

Suma $\frac{5}{4}$ y $0$ .

$f (0) = \frac{5}{4}$

Paso 3.2.4

La respuesta final es $\frac{5}{4}$ .

$\frac{5}{4}$

Paso 3.3

El valor de $y$ en $x = 0$ es $\frac{5}{4}$ .

$y = \frac{5}{4}$

Paso 3.4

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = - \frac{{(- 1)}^{2}}{4} + \frac{- 1}{2} + \frac{5}{4}$

Paso 3.5

Simplifica el resultado.

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Paso 3.5.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 1) = \frac{- {(- 1)}^{2} + 5}{4} + \frac{- 1}{2}$

Paso 3.5.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.2.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.2.1.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ .

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Paso 3.5.2.1.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$f (- 1) = \frac{(- 1) {(- 1)}^{2} + 5}{4} + \frac{- 1}{2}$

Paso 3.5.2.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{1 + 2} + 5}{4} + \frac{- 1}{2}$

Paso 3.5.2.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{3} + 5}{4} + \frac{- 1}{2}$

Paso 3.5.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 + 5}{4} + \frac{- 1}{2}$

Paso 3.5.3

Suma $- 1$ y $5$ .

$f (- 1) = \frac{4}{4} + \frac{- 1}{2}$

Paso 3.5.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.4.1

Divide $4$ por $4$ .

$f (- 1) = 1 + \frac{- 1}{2}$

Paso 3.5.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 1) = 1 - \frac{1}{2}$

Paso 3.5.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.5.5.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f (- 1) = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 3.5.5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 1) = \frac{2 - 1}{2}$

Paso 3.5.5.3

Resta $1$ de $2$ .

$f (- 1) = \frac{1}{2}$

Paso 3.5.6

La respuesta final es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 3.6

El valor de $y$ en $x = - 1$ es $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{2}$

Paso 3.7

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = - \frac{{(2)}^{2}}{4} + \frac{2}{2} + \frac{5}{4}$

Paso 3.8

Simplifica el resultado.

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Paso 3.8.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (2) = \frac{- {(2)}^{2} + 5}{4} + \frac{2}{2}$

Paso 3.8.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.8.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (2) = \frac{- 1 \cdot 4 + 5}{4} + \frac{2}{2}$

Paso 3.8.2.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f (2) = \frac{- 4 + 5}{4} + \frac{2}{2}$

Paso 3.8.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.8.3.1

Suma $- 4$ y $5$ .

$f (2) = \frac{1}{4} + \frac{2}{2}$

Paso 3.8.3.2

Divide $2$ por $2$ .

$f (2) = \frac{1}{4} + 1$

Paso 3.8.3.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f (2) = \frac{1}{4} + \frac{4}{4}$

Paso 3.8.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (2) = \frac{1 + 4}{4}$

Paso 3.8.3.5

Suma $1$ y $4$ .

$f (2) = \frac{5}{4}$

Paso 3.8.4

La respuesta final es $\frac{5}{4}$ .

$\frac{5}{4}$

Paso 3.9

El valor de $y$ en $x = 2$ es $\frac{5}{4}$ .

$y = \frac{5}{4}$

Paso 3.10

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = - \frac{{(3)}^{2}}{4} + \frac{3}{2} + \frac{5}{4}$

Paso 3.11

Simplifica el resultado.

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Paso 3.11.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (3) = \frac{- {(3)}^{2} + 5}{4} + \frac{3}{2}$

Paso 3.11.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.11.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (3) = \frac{- 1 \cdot 9 + 5}{4} + \frac{3}{2}$

Paso 3.11.2.2

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$f (3) = \frac{- 9 + 5}{4} + \frac{3}{2}$

Paso 3.11.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.11.3.1

Suma $- 9$ y $5$ .

$f (3) = \frac{- 4}{4} + \frac{3}{2}$

Paso 3.11.3.2

Divide $- 4$ por $4$ .

$f (3) = - 1 + \frac{3}{2}$

Paso 3.11.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (3) = - 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}$

Paso 3.11.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (3) = \frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}$

Paso 3.11.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (3) = \frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}$

Paso 3.11.7

Simplifica el numerador.

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Paso 3.11.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (3) = \frac{- 2 + 3}{2}$

Paso 3.11.7.2

Suma $- 2$ y $3$ .

$f (3) = \frac{1}{2}$

Paso 3.11.8

La respuesta final es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 3.12

El valor de $y$ en $x = 3$ es $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{2}$

Paso 3.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{5}{4} \\ 1 & \frac{3}{2} \\ 2 & \frac{5}{4} \\ 3 & \frac{1}{2} \end{array}$

Paso 4

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(1, \frac{3}{2})$

Foco: $(1, \frac{1}{2})$

Eje de simetría: $x = 1$

Directriz: $y = \frac{5}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{5}{4} \\ 1 & \frac{3}{2} \\ 2 & \frac{5}{4} \\ 3 & \frac{1}{2} \end{array}$

Paso 5