Preálgebra Ejemplos

$x^{3} + 8 x^{2} < - 5 x + 14$

Paso 1

Suma $5 x$ a ambos lados de la desigualdad.

$x^{3} + 8 x^{2} + 5 x < 14$

Paso 2

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{3} + 8 x^{2} + 5 x = 14$

Paso 3

Resta $14$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{3} + 8 x^{2} + 5 x - 14 = 0$

Paso 4

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.1

Factoriza $x^{3} + 8 x^{2} + 5 x - 14$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 4.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 14, \pm 2, \pm 7$

$q = \pm 1$

Paso 4.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 14, \pm 2, \pm 7$

Paso 4.1.3

Sustituye $1$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1.3.1

Sustituye $1$ en el polinomio.

$1^{3} + 8 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - 14$

Paso 4.1.3.2

Eleva $1$ a la potencia de $3$ .

$1 + 8 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - 14$

Paso 4.1.3.3

Eleva $1$ a la potencia de $2$ .

$1 + 8 \cdot 1 + 5 \cdot 1 - 14$

Paso 4.1.3.4

Multiplica $8$ por $1$ .

$1 + 8 + 5 \cdot 1 - 14$

Paso 4.1.3.5

Suma $1$ y $8$ .

$9 + 5 \cdot 1 - 14$

Paso 4.1.3.6

Multiplica $5$ por $1$ .

$9 + 5 - 14$

Paso 4.1.3.7

Suma $9$ y $5$ .

$14 - 14$

Paso 4.1.3.8

Resta $14$ de $14$ .

$0$

Paso 4.1.4

Como $1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 5 x - 14}{x - 1}$

Paso 4.1.5

Divide $x^{3} + 8 x^{2} + 5 x - 14$ por $x - 1$ .

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Paso 4.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$8 x^{2}$

$5 x$

$14$

Paso 4.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$

Paso 4.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Paso 4.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Paso 4.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$

Paso 4.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$

Paso 4.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $9 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$

Paso 4.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$9 x$

Paso 4.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $9 x^{2} - 9 x$ .

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$

Paso 4.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$14 x$

Paso 4.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$14 x$	-	$14$

Paso 4.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $14 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$14$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$14 x$	-	$14$

Paso 4.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$14$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$14 x$	-	$14$
							+	$14 x$	-	$14$

Paso 4.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $14 x - 14$ .

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$14$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$14 x$	-	$14$
							-	$14 x$	+	$14$

Paso 4.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$14$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$14 x$	-	$14$
							-	$14 x$	+	$14$
										$0$

Paso 4.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} + 9 x + 14$

Paso 4.1.6

Escribe $x^{3} + 8 x^{2} + 5 x - 14$ como un conjunto de factores.

$(x - 1) (x^{2} + 9 x + 14) = 0$

Paso 4.2

Factoriza $x^{2} + 9 x + 14$ con el método AC.

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Paso 4.2.1

Factoriza $x^{2} + 9 x + 14$ con el método AC.

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Paso 4.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $14$ y cuya suma es $9$ .

$2, 7$

Paso 4.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 1) ((x + 2) (x + 7)) = 0$

Paso 4.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x - 1) (x + 2) (x + 7) = 0$

Paso 5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x + 7 = 0$

Paso 6

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 6.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 7

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 7.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 8

Establece $x + 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.1

Establece $x + 7$ igual a $0$ .

$x + 7 = 0$

Paso 8.2

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 7$

Paso 9

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 1) (x + 2) (x + 7) = 0$ verdadera.

$x = 1, - 2, - 7$

Paso 10

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 7$

$- 7 < x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$x > 1$

Paso 11

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 11.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 7$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 7$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 10$

Paso 11.1.2

Reemplaza $x$ con $- 10$ en la desigualdad original.

${(- 10)}^{3} + 8 {(- 10)}^{2} < - 5 \cdot - 10 + 14$

Paso 11.1.3

$- 200$ del lado izquierdo es menor que $64$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 11.2

Prueba un valor en el intervalo $- 7 < x < - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 7 < x < - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 11.2.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

${(- 4)}^{3} + 8 {(- 4)}^{2} < - 5 \cdot - 4 + 14$

Paso 11.2.3

$64$ del lado izquierdo no es menor que $34$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 11.3

Prueba un valor en el intervalo $- 2 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.3.1

Elije un valor en el intervalo $- 2 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 11.3.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

${(0)}^{3} + 8 {(0)}^{2} < - 5 \cdot 0 + 14$

Paso 11.3.3

$0$ del lado izquierdo es menor que $14$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 11.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 11.4.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

${(4)}^{3} + 8 {(4)}^{2} < - 5 \cdot 4 + 14$

Paso 11.4.3

$192$ del lado izquierdo no es menor que $- 6$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 11.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 7$ Verdadero

$- 7 < x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 1$ Verdadero

$x > 1$ Falso

$x < - 7$ Verdadero

$- 7 < x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 1$ Verdadero

$x > 1$ Falso

Paso 12

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 7$ o $- 2 < x < 1$

Paso 13