Preálgebra Ejemplos

$\frac{x - 13}{x - 20} > 3$

Paso 1

Resta $3$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{x - 13}{x - 20} - 3 > 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{x - 13}{x - 20} - 3$ .

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Paso 2.1

Para escribir $- 3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 20}{x - 20}$ .

$\frac{x - 13}{x - 20} - 3 \cdot \frac{x - 20}{x - 20} > 0$

Paso 2.2

Combina $- 3$ y $\frac{x - 20}{x - 20}$ .

$\frac{x - 13}{x - 20} + \frac{- 3 (x - 20)}{x - 20} > 0$

Paso 2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x - 13 - 3 (x - 20)}{x - 20} > 0$

Paso 2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x - 13 - 3 x - 3 \cdot - 20}{x - 20} > 0$

Paso 2.4.2

Multiplica $- 3$ por $- 20$ .

$\frac{x - 13 - 3 x + 60}{x - 20} > 0$

Paso 2.4.3

Resta $3 x$ de $x$ .

$\frac{- 2 x - 13 + 60}{x - 20} > 0$

Paso 2.4.4

Suma $- 13$ y $60$ .

$\frac{- 2 x + 47}{x - 20} > 0$

Paso 2.5

Factoriza $- 1$ de $- 2 x$ .

$\frac{- (2 x) + 47}{x - 20} > 0$

Paso 2.6

Reescribe $47$ como $- 1 (- 47)$ .

$\frac{- (2 x) - 1 (- 47)}{x - 20} > 0$

Paso 2.7

Factoriza $- 1$ de $- (2 x) - 1 (- 47)$ .

$\frac{- (2 x - 47)}{x - 20} > 0$

Paso 2.8

Reescribe $- (2 x - 47)$ como $- 1 (2 x - 47)$ .

$\frac{- 1 (2 x - 47)}{x - 20} > 0$

Paso 2.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 x - 47}{x - 20} > 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$2 x - 47 = 0$

$x - 20 = 0$

Paso 4

Suma $47$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 47$

Paso 5

Divide cada término en $2 x = 47$ por $2$ y simplifica.

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Paso 5.1

Divide cada término en $2 x = 47$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{47}{2}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{47}{2}$

Paso 5.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{47}{2}$

Paso 6

Suma $20$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 20$

Paso 7

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = \frac{47}{2}$

$x = 20$

Paso 8

Consolida las soluciones.

$x = \frac{47}{2}, 20$

Paso 9

Obtén el dominio de $- \frac{2 x - 47}{x - 20}$ .

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Paso 9.1

Establece el denominador en $\frac{2 x - 47}{x - 20}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x - 20 = 0$

Paso 9.2

Suma $20$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 20$

Paso 9.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 20) \cup (20, \infty)$

Paso 10

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 20$

$20 < x < \frac{47}{2}$

$x > \frac{47}{2}$

Paso 11

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 11.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 20$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 20$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 11.1.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{(0) - 13}{(0) - 20} > 3$

Paso 11.1.3

$0.65$ del lado izquierdo no es mayor que $3$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 11.2

Prueba un valor en el intervalo $20 < x < \frac{47}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.2.1

Elije un valor en el intervalo $20 < x < \frac{47}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 22$

Paso 11.2.2

Reemplaza $x$ con $22$ en la desigualdad original.

$\frac{(22) - 13}{(22) - 20} > 3$

Paso 11.2.3

$4.5$ del lado izquierdo es mayor que $3$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 11.3

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{47}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{47}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 26$

Paso 11.3.2

Reemplaza $x$ con $26$ en la desigualdad original.

$\frac{(26) - 13}{(26) - 20} > 3$

Paso 11.3.3

$2.1\overline{6}$ del lado izquierdo no es mayor que $3$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 11.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 20$ Falso

$20 < x < \frac{47}{2}$ Verdadero

$x > \frac{47}{2}$ Falso

$x < 20$ Falso

$20 < x < \frac{47}{2}$ Verdadero

$x > \frac{47}{2}$ Falso

Paso 12

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$20 < x < \frac{47}{2}$

Paso 13