Preálgebra Ejemplos

$y^{2} + 4 x^{2} > 4$

Paso 1

Resta $4 x^{2}$ de ambos lados de la desigualdad.

$y^{2} > 4 - 4 x^{2}$

Paso 2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{y^{2}} > \sqrt{4 - 4 x^{2}}$

Paso 3

Simplifica la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Retira los términos de abajo del radical.

$| y | > \sqrt{4 - 4 x^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Simplifica $\sqrt{4 - 4 x^{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1

Factoriza $4$ de $4 - 4 x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$| y | > \sqrt{4 (1) - 4 x^{2}}$

Paso 3.2.1.1.2

Factoriza $4$ de $- 4 x^{2}$ .

$| y | > \sqrt{4 (1) + 4 (- x^{2})}$

Paso 3.2.1.1.3

Factoriza $4$ de $4 (1) + 4 (- x^{2})$ .

$| y | > \sqrt{4 (1 - x^{2})}$

Paso 3.2.1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$| y | > \sqrt{4 (1^{2} - x^{2})}$

Paso 3.2.1.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$| y | > \sqrt{4 (1 + x) (1 - x)}$

Paso 3.2.1.4

Reescribe $4 (1 + x) (1 - x)$ como $2^{2} ((1^{2} + x) (1 - x))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.4.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$| y | > \sqrt{2^{2} (1 + x) (1 - x)}$

Paso 3.2.1.4.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$| y | > \sqrt{2^{2} (1^{2} + x) (1 - x)}$

Paso 3.2.1.4.3

Agrega paréntesis.

$| y | > \sqrt{2^{2} ((1^{2} + x) (1 - x))}$

Paso 3.2.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$| y | > | 2 | \sqrt{(1^{2} + x) (1 - x)}$

Paso 3.2.1.6

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$| y | > 2 \sqrt{(1^{2} + x) (1 - x)}$

Paso 3.2.1.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$| y | > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Paso 4

Escribe $| y | > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ como una función definida por partes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Para obtener el intervalo de la primera parte, obtén dónde el interior del valor absoluto no es negativo.

$y \geq 0$

Paso 4.2

En la parte donde $y$ no es negativa, elimina el valor absoluto.

$y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Paso 4.3

Obtén el dominio de $y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ y obtén la intersección con $y \geq 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Obtén el dominio de $y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.1

Establece el radicando en $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$(1 + x) (1 - x) \geq 0$

Paso 4.3.1.2

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.2.1

Simplifica $(1 + x) (1 - x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.2.1.1

Expande $(1 + x) (1 - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 (1 - x) + x (1 - x) \geq 0$

Paso 4.3.1.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) \geq 0$

Paso 4.3.1.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) \geq 0$

Paso 4.3.1.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.2.1.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.2.1.2.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) \geq 0$

Paso 4.3.1.2.1.2.1.2

Multiplica $- x$ por $1$ .

$1 - x + x \cdot 1 + x (- x) \geq 0$

Paso 4.3.1.2.1.2.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$1 - x + x + x (- x) \geq 0$

Paso 4.3.1.2.1.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 - x + x - x \cdot x \geq 0$

Paso 4.3.1.2.1.2.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.2.1.2.1.5.1

Mueve $x$ .

$1 - x + x - (x \cdot x) \geq 0$

Paso 4.3.1.2.1.2.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$1 - x + x - x^{2} \geq 0$

Paso 4.3.1.2.1.2.2

Suma $- x$ y $x$ .

$1 + 0 - x^{2} \geq 0$

Paso 4.3.1.2.1.2.3

Suma $1$ y $0$ .

$1 - x^{2} \geq 0$

Paso 4.3.1.2.2

Resta $1$ de ambos lados de la desigualdad.

$- x^{2} \geq - 1$

Paso 4.3.1.2.3

Divide cada término en $- x^{2} \geq - 1$ por $- 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.2.3.1

Divide cada término de $- x^{2} \geq - 1$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Paso 4.3.1.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.2.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Paso 4.3.1.2.3.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Paso 4.3.1.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.2.3.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$x^{2} \leq 1$

Paso 4.3.1.2.4

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{1}$

Paso 4.3.1.2.5

Simplifica la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.2.5.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.2.5.1.1

Retira los términos de abajo del radical.

$| x | \leq \sqrt{1}$

Paso 4.3.1.2.5.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.2.5.2.1

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$| x | \leq 1$

Paso 4.3.1.2.6

Escribe $| x | \leq 1$ como una función definida por partes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.2.6.1

Para obtener el intervalo de la primera parte, obtén dónde el interior del valor absoluto no es negativo.

$x \geq 0$

Paso 4.3.1.2.6.2

En la parte donde $x$ no es negativa, elimina el valor absoluto.

$x \leq 1$

Paso 4.3.1.2.6.3

Para obtener el intervalo de la segunda parte, obtén dónde el interior del valor absoluto es negativo.

$x < 0$

Paso 4.3.1.2.6.4

En la parte donde $x$ es negativa, elimina el valor absoluto y multiplica por $- 1$ .

$- x \leq 1$

Paso 4.3.1.2.6.5

Escribe como una función definida por partes.

${\begin{cases} x \leq 1 & x \geq 0 \\ - x \leq 1 & x < 0 \end{cases}$

Paso 4.3.1.2.7

Obtén la intersección de $x \leq 1$ y $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 1$

Paso 4.3.1.2.8

Resuelve $- x \leq 1$ cuando $x < 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.2.8.1

Divide cada término en $- x \leq 1$ por $- 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.2.8.1.1

Divide cada término de $- x \leq 1$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{1}{- 1}$

Paso 4.3.1.2.8.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.2.8.1.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} \geq \frac{1}{- 1}$

Paso 4.3.1.2.8.1.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{1}{- 1}$

Paso 4.3.1.2.8.1.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.2.8.1.3.1

Divide $1$ por $- 1$ .

$x \geq - 1$

Paso 4.3.1.2.8.2

Obtén la intersección de $x \geq - 1$ y $x < 0$ .

$- 1 \leq x < 0$

Paso 4.3.1.2.9

Obtén la unión de las soluciones.

$- 1 \leq x \leq 1$

Paso 4.3.1.3

El dominio son todos los valores de $y$ que hacen que la expresión sea definida.

$[- 1, 1]$

Paso 4.3.2

Obtén la intersección de $y \geq 0$ y $[- 1, 1]$ .

$0 \leq y \leq 1$

Paso 4.4

Para obtener el intervalo de la segunda parte, obtén dónde el interior del valor absoluto es negativo.

$y < 0$

Paso 4.5

En la parte donde $y$ es negativa, elimina el valor absoluto y multiplica por $- 1$ .

$- y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Paso 4.6

Obtén el dominio de $- y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ y obtén la intersección con $y < 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.1

Obtén el dominio de $- y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.1.1

Establece el radicando en $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$(1 + x) (1 - x) \geq 0$

Paso 4.6.1.2

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.1.2.1

Simplifica $(1 + x) (1 - x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.1.2.1.1

Expande $(1 + x) (1 - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.1.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 (1 - x) + x (1 - x) \geq 0$

Paso 4.6.1.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) \geq 0$

Paso 4.6.1.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) \geq 0$

Paso 4.6.1.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.1.2.1.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.1.2.1.2.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) \geq 0$

Paso 4.6.1.2.1.2.1.2

Multiplica $- x$ por $1$ .

$1 - x + x \cdot 1 + x (- x) \geq 0$

Paso 4.6.1.2.1.2.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$1 - x + x + x (- x) \geq 0$

Paso 4.6.1.2.1.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 - x + x - x \cdot x \geq 0$

Paso 4.6.1.2.1.2.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.1.2.1.2.1.5.1

Mueve $x$ .

$1 - x + x - (x \cdot x) \geq 0$

Paso 4.6.1.2.1.2.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$1 - x + x - x^{2} \geq 0$

Paso 4.6.1.2.1.2.2

Suma $- x$ y $x$ .

$1 + 0 - x^{2} \geq 0$

Paso 4.6.1.2.1.2.3

Suma $1$ y $0$ .

$1 - x^{2} \geq 0$

Paso 4.6.1.2.2

Resta $1$ de ambos lados de la desigualdad.

$- x^{2} \geq - 1$

Paso 4.6.1.2.3

Divide cada término en $- x^{2} \geq - 1$ por $- 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.1.2.3.1

Divide cada término de $- x^{2} \geq - 1$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Paso 4.6.1.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.1.2.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Paso 4.6.1.2.3.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Paso 4.6.1.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.1.2.3.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$x^{2} \leq 1$

Paso 4.6.1.2.4

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{1}$

Paso 4.6.1.2.5

Simplifica la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.1.2.5.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.1.2.5.1.1

Retira los términos de abajo del radical.

$| x | \leq \sqrt{1}$

Paso 4.6.1.2.5.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.1.2.5.2.1

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$| x | \leq 1$

Paso 4.6.1.2.6

Escribe $| x | \leq 1$ como una función definida por partes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.1.2.6.1

Para obtener el intervalo de la primera parte, obtén dónde el interior del valor absoluto no es negativo.

$x \geq 0$

Paso 4.6.1.2.6.2

En la parte donde $x$ no es negativa, elimina el valor absoluto.

$x \leq 1$

Paso 4.6.1.2.6.3

Para obtener el intervalo de la segunda parte, obtén dónde el interior del valor absoluto es negativo.

$x < 0$

Paso 4.6.1.2.6.4

En la parte donde $x$ es negativa, elimina el valor absoluto y multiplica por $- 1$ .

$- x \leq 1$

Paso 4.6.1.2.6.5

Escribe como una función definida por partes.

${\begin{cases} x \leq 1 & x \geq 0 \\ - x \leq 1 & x < 0 \end{cases}$

Paso 4.6.1.2.7

Obtén la intersección de $x \leq 1$ y $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 1$

Paso 4.6.1.2.8

Resuelve $- x \leq 1$ cuando $x < 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.1.2.8.1

Divide cada término en $- x \leq 1$ por $- 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.1.2.8.1.1

Divide cada término de $- x \leq 1$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{1}{- 1}$

Paso 4.6.1.2.8.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.1.2.8.1.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} \geq \frac{1}{- 1}$

Paso 4.6.1.2.8.1.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{1}{- 1}$

Paso 4.6.1.2.8.1.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.1.2.8.1.3.1

Divide $1$ por $- 1$ .

$x \geq - 1$

Paso 4.6.1.2.8.2

Obtén la intersección de $x \geq - 1$ y $x < 0$ .

$- 1 \leq x < 0$

Paso 4.6.1.2.9

Obtén la unión de las soluciones.

$- 1 \leq x \leq 1$

Paso 4.6.1.3

El dominio son todos los valores de $y$ que hacen que la expresión sea definida.

$[- 1, 1]$

Paso 4.6.2

Obtén la intersección de $y < 0$ y $[- 1, 1]$ .

$- 1 \leq y < 0$

Paso 4.7

Escribe como una función definida por partes.

${\begin{cases} y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} & 0 \leq y \leq 1 \\ - y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} & - 1 \leq y < 0 \end{cases}$

Paso 5

Obtén la intersección de $y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ y $0 \leq y \leq 1$ .

No hay solución

Paso 6

Resuelve $- y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ cuando $- 1 \leq y < 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Divide cada término en $- y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ por $- 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1

Divide cada término de $- y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- y}{- 1} < \frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{- 1}$

Paso 6.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y}{1} < \frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{- 1}$

Paso 6.1.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y < \frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{- 1}$

Paso 6.1.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.3.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{- 1}$ .

$y < - 1 \cdot (2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)})$

Paso 6.1.3.2

Reescribe $- 1 \cdot (2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)})$ como $- (2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)})$ .

$y < - (2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)})$

Paso 6.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y < - 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Paso 6.2

Obtén la intersección de $y < - 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ y $- 1 \leq y < 0$ .

$- 1 \leq y < N o (Min i m u m)$

Paso 7

Obtén la unión de las soluciones.

$- 1 \leq y < i N o Min m^{2} u$

Paso 8