Preálgebra Ejemplos

$\frac{y}{25} - \frac{x^{2}}{49} = 1$

Paso 1

Resuelve $y$

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Paso 1.1

Suma $\frac{x^{2}}{49}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{y}{25} = 1 + \frac{x^{2}}{49}$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $25$ .

$25 \frac{y}{25} = 25 (1 + \frac{x^{2}}{49})$

Paso 1.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 1.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.1.1

Cancela el factor común de $25$ .

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Paso 1.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$25 \frac{y}{25} = 25 (1 + \frac{x^{2}}{49})$

Paso 1.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = 25 (1 + \frac{x^{2}}{49})$

Paso 1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.2.1

Simplifica $25 (1 + \frac{x^{2}}{49})$ .

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Paso 1.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 25 \cdot 1 + 25 \frac{x^{2}}{49}$

Paso 1.3.2.1.2

Multiplica $25$ por $1$ .

$y = 25 + 25 \frac{x^{2}}{49}$

Paso 1.3.2.1.3

Combina $25$ y $\frac{x^{2}}{49}$ .

$y = 25 + \frac{25 x^{2}}{49}$

Paso 1.4

Reordena $25$ y $\frac{25 x^{2}}{49}$ .

$y = \frac{25 x^{2}}{49} + 25$

Paso 2

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 2.1.1

Completa el cuadrado de $\frac{25 x^{2}}{49} + 25$ .

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Paso 2.1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = \frac{25}{49}$

$b = 0$

$c = 25$

Paso 2.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 (\frac{25}{49})}$

Paso 2.1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 2.1.1.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (\frac{25}{49})}$

Paso 2.1.1.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.1.3.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (\frac{25}{49})}$

Paso 2.1.1.3.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$d = \frac{0}{\frac{25}{49}}$

Paso 2.1.1.3.2.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = 0 (\frac{49}{25})$

Paso 2.1.1.3.2.3

Multiplica $0$ por $\frac{49}{25}$ .

$d = 0$

Paso 2.1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 25 - \frac{0^{2}}{4 (\frac{25}{49})}$

Paso 2.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.4.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$e = 25 - \frac{0}{4 (\frac{25}{49})}$

Paso 2.1.1.4.2.1.2

Combina $4$ y $\frac{25}{49}$ .

$e = 25 - \frac{0}{\frac{4 \cdot 25}{49}}$

Paso 2.1.1.4.2.1.3

Multiplica $4$ por $25$ .

$e = 25 - \frac{0}{\frac{100}{49}}$

Paso 2.1.1.4.2.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = 25 - (0 (\frac{49}{100}))$

Paso 2.1.1.4.2.1.5

Multiplica $0$ por $\frac{49}{100}$ .

$e = 25 - 0$

Paso 2.1.1.4.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$e = 25 + 0$

Paso 2.1.1.4.2.2

Suma $25$ y $0$ .

$e = 25$

Paso 2.1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $\frac{25}{49} {(x + 0)}^{2} + 25$ .

$\frac{25}{49} {(x + 0)}^{2} + 25$

Paso 2.1.2

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = \frac{25}{49} \cdot {(x + 0)}^{2} + 25$

Paso 2.2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = \frac{25}{49}$

$h = 0$

$k = 25$

Paso 2.3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 2.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(0, 25)$

Paso 2.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 2.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 2.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{25}{49}}$

Paso 2.5.3

Simplifica.

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Paso 2.5.3.1

Combina $4$ y $\frac{25}{49}$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 25}{49}}$

Paso 2.5.3.2

Multiplica $4$ por $25$ .

$\frac{1}{\frac{100}{49}}$

Paso 2.5.3.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$1 (\frac{49}{100})$

Paso 2.5.3.4

Multiplica $\frac{49}{100}$ por $1$ .

$\frac{49}{100}$

Paso 2.6

Obtén el foco.

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Paso 2.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 2.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(0, \frac{2549}{100})$

Paso 2.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = 0$

Paso 2.8

Obtén la directriz.

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Paso 2.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 2.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = \frac{2451}{100}$

Paso 2.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(0, 25)$

Foco: $(0, \frac{2549}{100})$

Eje de simetría: $x = 0$

Directriz: $y = \frac{2451}{100}$

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(0, 25)$

Foco: $(0, \frac{2549}{100})$

Eje de simetría: $x = 0$

Directriz: $y = \frac{2451}{100}$

Paso 3

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = \frac{25 {(- 1)}^{2}}{49} + 25$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- 1) = \frac{25 \cdot 1}{49} + 25$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $25$ por $1$ .

$f (- 1) = \frac{25}{49} + 25$

Paso 3.2.2

Para escribir $25$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{49}{49}$ .

$f (- 1) = \frac{25}{49} + 25 \cdot \frac{49}{49}$

Paso 3.2.3

Combina $25$ y $\frac{49}{49}$ .

$f (- 1) = \frac{25}{49} + \frac{25 \cdot 49}{49}$

Paso 3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 1) = \frac{25 + 25 \cdot 49}{49}$

Paso 3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.5.1

Multiplica $25$ por $49$ .

$f (- 1) = \frac{25 + 1225}{49}$

Paso 3.2.5.2

Suma $25$ y $1225$ .

$f (- 1) = \frac{1250}{49}$

Paso 3.2.6

La respuesta final es $\frac{1250}{49}$ .

$\frac{1250}{49}$

Paso 3.3

El valor de $y$ en $x = - 1$ es $\frac{1250}{49}$ .

$y = \frac{1250}{49}$

Paso 3.4

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = \frac{25 {(- 2)}^{2}}{49} + 25$

Paso 3.5

Simplifica el resultado.

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Paso 3.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f (- 2) = \frac{25 \cdot 4}{49} + 25$

Paso 3.5.1.2

Multiplica $25$ por $4$ .

$f (- 2) = \frac{100}{49} + 25$

Paso 3.5.2

Para escribir $25$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{49}{49}$ .

$f (- 2) = \frac{100}{49} + 25 \cdot \frac{49}{49}$

Paso 3.5.3

Combina $25$ y $\frac{49}{49}$ .

$f (- 2) = \frac{100}{49} + \frac{25 \cdot 49}{49}$

Paso 3.5.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 2) = \frac{100 + 25 \cdot 49}{49}$

Paso 3.5.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.5.1

Multiplica $25$ por $49$ .

$f (- 2) = \frac{100 + 1225}{49}$

Paso 3.5.5.2

Suma $100$ y $1225$ .

$f (- 2) = \frac{1325}{49}$

Paso 3.5.6

La respuesta final es $\frac{1325}{49}$ .

$\frac{1325}{49}$

Paso 3.6

El valor de $y$ en $x = - 2$ es $\frac{1325}{49}$ .

$y = \frac{1325}{49}$

Paso 3.7

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = \frac{25 {(1)}^{2}}{49} + 25$

Paso 3.8

Simplifica el resultado.

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Paso 3.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.8.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = \frac{25 \cdot 1}{49} + 25$

Paso 3.8.1.2

Multiplica $25$ por $1$ .

$f (1) = \frac{25}{49} + 25$

Paso 3.8.2

Para escribir $25$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{49}{49}$ .

$f (1) = \frac{25}{49} + 25 \cdot \frac{49}{49}$

Paso 3.8.3

Combina $25$ y $\frac{49}{49}$ .

$f (1) = \frac{25}{49} + \frac{25 \cdot 49}{49}$

Paso 3.8.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (1) = \frac{25 + 25 \cdot 49}{49}$

Paso 3.8.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.8.5.1

Multiplica $25$ por $49$ .

$f (1) = \frac{25 + 1225}{49}$

Paso 3.8.5.2

Suma $25$ y $1225$ .

$f (1) = \frac{1250}{49}$

Paso 3.8.6

La respuesta final es $\frac{1250}{49}$ .

$\frac{1250}{49}$

Paso 3.9

El valor de $y$ en $x = 1$ es $\frac{1250}{49}$ .

$y = \frac{1250}{49}$

Paso 3.10

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = \frac{25 {(2)}^{2}}{49} + 25$

Paso 3.11

Simplifica el resultado.

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Paso 3.11.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.11.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (2) = \frac{25 \cdot 4}{49} + 25$

Paso 3.11.1.2

Multiplica $25$ por $4$ .

$f (2) = \frac{100}{49} + 25$

Paso 3.11.2

Para escribir $25$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{49}{49}$ .

$f (2) = \frac{100}{49} + 25 \cdot \frac{49}{49}$

Paso 3.11.3

Combina $25$ y $\frac{49}{49}$ .

$f (2) = \frac{100}{49} + \frac{25 \cdot 49}{49}$

Paso 3.11.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (2) = \frac{100 + 25 \cdot 49}{49}$

Paso 3.11.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.11.5.1

Multiplica $25$ por $49$ .

$f (2) = \frac{100 + 1225}{49}$

Paso 3.11.5.2

Suma $100$ y $1225$ .

$f (2) = \frac{1325}{49}$

Paso 3.11.6

La respuesta final es $\frac{1325}{49}$ .

$\frac{1325}{49}$

Paso 3.12

El valor de $y$ en $x = 2$ es $\frac{1325}{49}$ .

$y = \frac{1325}{49}$

Paso 3.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & \frac{1325}{49} \\ - 1 & \frac{1250}{49} \\ 0 & 25 \\ 1 & \frac{1250}{49} \\ 2 & \frac{1325}{49} \end{array}$

Paso 4

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(0, 25)$

Foco: $(0, \frac{2549}{100})$

Eje de simetría: $x = 0$

Directriz: $y = \frac{2451}{100}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & \frac{1325}{49} \\ - 1 & \frac{1250}{49} \\ 0 & 25 \\ 1 & \frac{1250}{49} \\ 2 & \frac{1325}{49} \end{array}$

Paso 5