Preálgebra Ejemplos

$y^{2} - 16 x^{2} = 144$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la hipérbola.

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Paso 1.1

Divide cada término por $144$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{y^{2}}{144} - \frac{16 x^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

Paso 1.2

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{y^{2}}{144} - \frac{x^{2}}{9} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener los vértices y las asíntotas de la hipérbola.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen, $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen, $a$ .

$a = 12$

$b = 3$

$k = 0$

$h = 0$

Paso 4

El centro de una hipérbola sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(0, 0)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(12)}^{2} + {(3)}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{144 + {(3)}^{2}}$

Paso 5.3.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{144 + 9}$

Paso 5.3.3

Suma $144$ y $9$ .

$\sqrt{153}$

Paso 5.3.4

Reescribe $153$ como $3^{2} \cdot 17$ .

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Paso 5.3.4.1

Factoriza $9$ de $153$ .

$\sqrt{9 (17)}$

Paso 5.3.4.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\sqrt{3^{2} \cdot 17}$

Paso 5.3.5

Retira los términos de abajo del radical.

$3 \sqrt{17}$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una hipérbola puede obtenerse al sumar $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(0, 12)$

Paso 6.3

El segundo vértice de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $a$ de $k$ .

$(h, k - a)$

Paso 6.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(0, - 12)$

Paso 6.5

Los vértices de una hipérbola siguen la forma de $(h, k \pm a)$ . Las hipérbolas tienen dos vértices.

$(0, 12), (0, - 12)$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una hipérbola puede obtenerse al sumar $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(0, 3 \sqrt{17})$

Paso 7.3

El segundo foco de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Paso 7.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(0, - 3 \sqrt{17})$

Paso 7.5

Los focos de una hipérbola siguen la forma de $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Las hipérbolas tienen dos focos.

$(0, 3 \sqrt{17}), (0, - 3 \sqrt{17})$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(12)}^{2} + {(3)}^{2}}}{12}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1.1

Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{144 + 3^{2}}}{12}$

Paso 8.3.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{144 + 9}}{12}$

Paso 8.3.1.3

Suma $144$ y $9$ .

$\frac{\sqrt{153}}{12}$

Paso 8.3.1.4

Reescribe $153$ como $3^{2} \cdot 17$ .

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Paso 8.3.1.4.1

Factoriza $9$ de $153$ .

$\frac{\sqrt{9 (17)}}{12}$

Paso 8.3.1.4.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 17}}{12}$

Paso 8.3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{3 \sqrt{17}}{12}$

Paso 8.3.2

Cancela el factor común de $3$ y $12$ .

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Paso 8.3.2.1

Factoriza $3$ de $3 \sqrt{17}$ .

$\frac{3 (\sqrt{17})}{12}$

Paso 8.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.2.2.1

Factoriza $3$ de $12$ .

$\frac{3 \sqrt{17}}{3 \cdot 4}$

Paso 8.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \sqrt{17}}{3 \cdot 4}$

Paso 8.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{17}}{4}$

Paso 9

Obtén el parámetro focal.

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Paso 9.1

Obtén el valor del parámetro focal de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Paso 9.2

Sustituye los valores de $b$ y $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ en la fórmula.

$\frac{3^{2}}{3 \sqrt{17}}$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Cancela el factor común de $3^{2}$ y $3$ .

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Paso 9.3.1.1

Factoriza $3$ de $3^{2}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3 \sqrt{17}}$

Paso 9.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.3.1.2.1

Factoriza $3$ de $3 \sqrt{17}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3 (\sqrt{17})}$

Paso 9.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 3}{3 \sqrt{17}}$

Paso 9.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{\sqrt{17}}$

Paso 9.3.2

Multiplica $\frac{3}{\sqrt{17}}$ por $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{17}} \cdot \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$

Paso 9.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 9.3.3.1

Multiplica $\frac{3}{\sqrt{17}}$ por $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ .

$\frac{3 \sqrt{17}}{\sqrt{17} \sqrt{17}}$

Paso 9.3.3.2

Eleva $\sqrt{17}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1} \sqrt{17}}$

Paso 9.3.3.3

Eleva $\sqrt{17}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1} {\sqrt{17}}^{1}}$

Paso 9.3.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1 + 1}}$

Paso 9.3.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{3 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{2}}$

Paso 9.3.3.6

Reescribe ${\sqrt{17}}^{2}$ como $17$ .

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Paso 9.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{17}$ como $17^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{17}}{{(17^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 9.3.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \sqrt{17}}{17^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 9.3.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{3 \sqrt{17}}{17^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 \sqrt{17}}{17^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 \sqrt{17}}{17^{1}}$

Paso 9.3.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{3 \sqrt{17}}{17}$

Paso 10

Las asíntotas siguen la forma $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ porque esta hipérbola abre hacia arriba y hacia abajo.

$y = \pm 4 \cdot x + 0$

Paso 11

Suma $4 \cdot x$ y $0$ .

$y = 4 x$

Paso 12

Suma $- 4 \cdot x$ y $0$ .

$y = - 4 x$

Paso 13

Esta hipérbola tiene dos asíntotas.

$y = 4 x, y = - 4 x$

Paso 14

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una hipérbola.

Centro: $(0, 0)$

Vértices: $(0, 12), (0, - 12)$

Focos: $(0, 3 \sqrt{17}), (0, - 3 \sqrt{17})$

Excentricidad: $\frac{\sqrt{17}}{4}$

Parámetro focal: $\frac{3 \sqrt{17}}{17}$

Asíntotas: $y = 4 x$ , $y = - 4 x$

Paso 15