Preálgebra Ejemplos

$y^{2} = x + 121$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $x + 121 = y^{2}$ .

$x + 121 = y^{2}$

Paso 2

Resta $121$ de ambos lados de la ecuación.

$x = y^{2} - 121$

Paso 3

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 3.1.1

Completa el cuadrado de $y^{2} - 121$ .

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Paso 3.1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = 0$

$c = - 121$

Paso 3.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 3.1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 3.1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.1.3.2

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 3.1.1.3.2.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.1.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.1.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (1)}$

Paso 3.1.1.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.1.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{0}{1}$

Paso 3.1.1.3.2.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$d = 0$

Paso 3.1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 3.1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 121 - \frac{0^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 3.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1.4.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$e = - 121 - \frac{0}{4 \cdot 1}$

Paso 3.1.1.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = - 121 - \frac{0}{4}$

Paso 3.1.1.4.2.1.3

Divide $0$ por $4$ .

$e = - 121 - 0$

Paso 3.1.1.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$e = - 121 + 0$

Paso 3.1.1.4.2.2

Suma $- 121$ y $0$ .

$e = - 121$

Paso 3.1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(y + 0)}^{2} - 121$ .

${(y + 0)}^{2} - 121$

Paso 3.1.2

Establece $x$ igual al nuevo lado derecho.

$x = {(y + 0)}^{2} - 121$

Paso 3.2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = 1$

$h = - 121$

$k = 0$

Paso 3.3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia la derecha.

Abre a la derecha

Paso 3.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- 121, 0)$

Paso 3.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 3.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 3.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 3.5.3

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 3.5.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 3.5.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4}$

Paso 3.6

Obtén el foco.

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Paso 3.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada x $h$ si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$(h + p, k)$

Paso 3.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- \frac{483}{4}, 0)$

Paso 3.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$y = 0$

Paso 3.8

Obtén la directriz.

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Paso 3.8.1

La directriz de una parábola es la recta vertical que se obtiene al restar $p$ de la coordenada x $h$ del vértice si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$x = h - p$

Paso 3.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $h$ en la fórmula y simplifica.

$x = - \frac{485}{4}$

Paso 3.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre a la derecha

Vértice: $(- 121, 0)$

Foco: $(- \frac{483}{4}, 0)$

Eje de simetría: $y = 0$

Directriz: $x = - \frac{485}{4}$

Dirección: abre a la derecha

Vértice: $(- 121, 0)$

Foco: $(- \frac{483}{4}, 0)$

Eje de simetría: $y = 0$

Directriz: $x = - \frac{485}{4}$

Paso 4

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 4.1

Sustituye el valor $x$ $- 120$ en $f (x) = \sqrt{x + 121}$ . En este caso, el punto es $(- 120, 1)$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 120$ en la expresión.

$f (- 120) = \sqrt{(- 120) + 121}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Suma $- 120$ y $121$ .

$f (- 120) = \sqrt{1}$

Paso 4.1.2.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$f (- 120) = 1$

Paso 4.1.2.3

La respuesta final es $1$ .

$y = 1$

Paso 4.1.3

Convierte $1$ a decimal.

$= 1$

Paso 4.2

Sustituye el valor $x$ $- 120$ en $f (x) = - \sqrt{x + 121}$ . En este caso, el punto es $(- 120, - 1)$ .

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Paso 4.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 120$ en la expresión.

$f (- 120) = - \sqrt{(- 120) + 121}$

Paso 4.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.2.1

Suma $- 120$ y $121$ .

$f (- 120) = - \sqrt{1}$

Paso 4.2.2.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$f (- 120) = - 1 \cdot 1$

Paso 4.2.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (- 120) = - 1$

Paso 4.2.2.4

La respuesta final es $- 1$ .

$y = - 1$

Paso 4.2.3

Convierte $- 1$ a decimal.

$= - 1$

Paso 4.3

Sustituye el valor $x$ $- 119$ en $f (x) = \sqrt{x + 121}$ . En este caso, el punto es $(- 119, 1.41421356)$ .

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Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 119$ en la expresión.

$f (- 119) = \sqrt{(- 119) + 121}$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.3.2.1

Suma $- 119$ y $121$ .

$f (- 119) = \sqrt{2}$

Paso 4.3.2.2

La respuesta final es $\sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2}$

Paso 4.3.3

Convierte $\sqrt{2}$ a decimal.

$= 1.41421356$

Paso 4.4

Sustituye el valor $x$ $- 119$ en $f (x) = - \sqrt{x + 121}$ . En este caso, el punto es $(- 119, - 1.41421356)$ .

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Paso 4.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 119$ en la expresión.

$f (- 119) = - \sqrt{(- 119) + 121}$

Paso 4.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.4.2.1

Suma $- 119$ y $121$ .

$f (- 119) = - \sqrt{2}$

Paso 4.4.2.2

La respuesta final es $- \sqrt{2}$ .

$y = - \sqrt{2}$

Paso 4.4.3

Convierte $- \sqrt{2}$ a decimal.

$= - 1.41421356$

Paso 4.5

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 121 & 0 \\ - 120 & 1 \\ - 120 & - 1 \\ - 119 & 1.41 \\ - 119 & - 1.41 \end{array}$

Paso 5

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre a la derecha

Vértice: $(- 121, 0)$

Foco: $(- \frac{483}{4}, 0)$

Eje de simetría: $y = 0$

Directriz: $x = - \frac{485}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 121 & 0 \\ - 120 & 1 \\ - 120 & - 1 \\ - 119 & 1.41 \\ - 119 & - 1.41 \end{array}$

Paso 6