Preálgebra Ejemplos

$16 x^{2} - 9 y^{2} + 64 x - 54 - 161 = 0$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la hipérbola.

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Paso 1.1

Mueve todos los términos que no contengan una variable al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Suma $54$ a ambos lados de la ecuación.

$16 x^{2} - 9 y^{2} + 64 x - 161 = 54$

Paso 1.1.2

Suma $161$ a ambos lados de la ecuación.

$16 x^{2} - 9 y^{2} + 64 x = 54 + 161$

Paso 1.1.3

Suma $54$ y $161$ .

$16 x^{2} - 9 y^{2} + 64 x = 215$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $16 x^{2} + 64 x$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 16$

$b = 64$

$c = 0$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{64}{2 \cdot 16}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $64$ y $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $64$ .

$d = \frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 16}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 16$ .

$d = \frac{2 \cdot 32}{2 (16)}$

Paso 1.2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 16}$

Paso 1.2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{32}{16}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela el factor común de $32$ y $16$ .

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Paso 1.2.3.2.2.1

Factoriza $16$ de $32$ .

$d = \frac{16 \cdot 2}{16}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.2.2.1

Factoriza $16$ de $16$ .

$d = \frac{16 \cdot 2}{16 (1)}$

Paso 1.2.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{16 \cdot 2}{16 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{2}{1}$

Paso 1.2.3.2.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$d = 2$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{64^{2}}{4 \cdot 16}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Eleva $64$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{4096}{4 \cdot 16}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $16$ .

$e = 0 - \frac{4096}{64}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Divide $4096$ por $64$ .

$e = 0 - 1 \cdot 64$

Paso 1.2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $64$ .

$e = 0 - 64$

Paso 1.2.4.2.2

Resta $64$ de $0$ .

$e = - 64$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $16 {(x + 2)}^{2} - 64$ .

$16 {(x + 2)}^{2} - 64$

Paso 1.3

Sustituye $16 {(x + 2)}^{2} - 64$ por $16 x^{2} + 64 x$ en la ecuación $16 x^{2} - 9 y^{2} + 64 x = 215$ .

$16 {(x + 2)}^{2} - 64 - 9 y^{2} = 215$

Paso 1.4

Mueve $- 64$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $64$ a ambos lados.

$16 {(x + 2)}^{2} - 9 y^{2} = 215 + 64$

Paso 1.5

Suma $215$ y $64$ .

$16 {(x + 2)}^{2} - 9 y^{2} = 279$

Paso 1.6

Divide cada término por $279$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{16 {(x + 2)}^{2}}{279} - \frac{9 y^{2}}{279} = \frac{279}{279}$

Paso 1.7

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{\frac{279}{16}} - \frac{y^{2}}{31} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener los vértices y las asíntotas de la hipérbola.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen, $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen, $a$ .

$a = \frac{3 \sqrt{31}}{4}$

$b = \sqrt{31}$

$k = 0$

$h = - 2$

Paso 4

El centro de una hipérbola sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(- 2, 0)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(\frac{3 \sqrt{31}}{4})}^{2} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 5.3.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3 \sqrt{31}}{4}$ .

$\sqrt{\frac{{(3 \sqrt{31})}^{2}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Paso 5.3.1.2

Aplica la regla del producto a $3 \sqrt{31}$ .

$\sqrt{\frac{3^{2} {\sqrt{31}}^{2}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Paso 5.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{9 {\sqrt{31}}^{2}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Paso 5.3.2.2

Reescribe ${\sqrt{31}}^{2}$ como $31$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{31}$ como $31^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{9 {(31^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Paso 5.3.2.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Paso 5.3.2.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{\frac{2}{2}}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Paso 5.3.2.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.2.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{\frac{2}{2}}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Paso 5.3.2.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{1}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Paso 5.3.2.2.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Paso 5.3.3

Simplifica mediante la cancelación del exponente con el radical.

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Paso 5.3.3.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31}{16} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Paso 5.3.3.2

Multiplica $9$ por $31$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Paso 5.3.3.3

Reescribe ${\sqrt{31}}^{2}$ como $31$ .

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Paso 5.3.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{31}$ como $31^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + {(31^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 5.3.3.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 5.3.3.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.3.3.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.3.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.3.3.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{1}}$

Paso 5.3.3.3.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31}$

Paso 5.3.4

Para escribir $31$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31 \cdot \frac{16}{16}}$

Paso 5.3.5

Combina $31$ y $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + \frac{31 \cdot 16}{16}}$

Paso 5.3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{279 + 31 \cdot 16}{16}}$

Paso 5.3.7

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.7.1

Multiplica $31$ por $16$ .

$\sqrt{\frac{279 + 496}{16}}$

Paso 5.3.7.2

Suma $279$ y $496$ .

$\sqrt{\frac{775}{16}}$

Paso 5.3.8

Reescribe $\sqrt{\frac{775}{16}}$ como $\frac{\sqrt{775}}{\sqrt{16}}$ .

$\frac{\sqrt{775}}{\sqrt{16}}$

Paso 5.3.9

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.9.1

Reescribe $775$ como $5^{2} \cdot 31$ .

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Paso 5.3.9.1.1

Factoriza $25$ de $775$ .

$\frac{\sqrt{25 (31)}}{\sqrt{16}}$

Paso 5.3.9.1.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2} \cdot 31}}{\sqrt{16}}$

Paso 5.3.9.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{5 \sqrt{31}}{\sqrt{16}}$

Paso 5.3.10

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.10.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{5 \sqrt{31}}{\sqrt{4^{2}}}$

Paso 5.3.10.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{5 \sqrt{31}}{4}$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una hipérbola puede obtenerse al sumar $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 2 + \frac{3 \sqrt{31}}{4}, 0)$

Paso 6.3

El segundo vértice de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $a$ de $h$ .

$(h - a, k)$

Paso 6.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 2 - \frac{3 \sqrt{31}}{4}, 0)$

Paso 6.5

Los vértices de una hipérbola siguen la forma de $(h \pm a, k)$ . Las hipérbolas tienen dos vértices.

$(- 2 + \frac{3 \sqrt{31}}{4}, 0), (- 2 - \frac{3 \sqrt{31}}{4}, 0)$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una hipérbola puede obtenerse al sumar $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 2 + \frac{5 \sqrt{31}}{4}, 0)$

Paso 7.3

El segundo foco de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Paso 7.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 2 - \frac{5 \sqrt{31}}{4}, 0)$

Paso 7.5

Los focos de una hipérbola siguen la forma de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Las hipérbolas tienen dos focos.

$(- 2 + \frac{5 \sqrt{31}}{4}, 0), (- 2 - \frac{5 \sqrt{31}}{4}, 0)$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(\frac{3 \sqrt{31}}{4})}^{2} + {(\sqrt{31})}^{2}}}{\frac{3 \sqrt{31}}{4}}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\sqrt{{(\frac{3 \sqrt{31}}{4})}^{2} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Paso 8.3.2

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 8.3.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3 \sqrt{31}}{4}$ .

$\sqrt{\frac{{(3 \sqrt{31})}^{2}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Paso 8.3.2.2

Aplica la regla del producto a $3 \sqrt{31}$ .

$\sqrt{\frac{3^{2} {\sqrt{31}}^{2}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Paso 8.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.3.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{9 {\sqrt{31}}^{2}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Paso 8.3.3.2

Reescribe ${\sqrt{31}}^{2}$ como $31$ .

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Paso 8.3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{31}$ como $31^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{9 {(31^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Paso 8.3.3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Paso 8.3.3.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{\frac{2}{2}}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Paso 8.3.3.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{\frac{2}{2}}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Paso 8.3.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{1}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Paso 8.3.3.2.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Paso 8.3.4

Simplifica mediante la cancelación del exponente con el radical.

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Paso 8.3.4.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31}{16} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Paso 8.3.4.2

Multiplica $9$ por $31$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Paso 8.3.4.3

Reescribe ${\sqrt{31}}^{2}$ como $31$ .

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Paso 8.3.4.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{31}$ como $31^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + {(31^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Paso 8.3.4.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Paso 8.3.4.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{\frac{2}{2}}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Paso 8.3.4.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.4.3.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{\frac{2}{2}}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Paso 8.3.4.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{1}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Paso 8.3.4.3.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Paso 8.3.5

Para escribir $31$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31 \cdot \frac{16}{16}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Paso 8.3.6

Combina $31$ y $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + \frac{31 \cdot 16}{16}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Paso 8.3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{279 + 31 \cdot 16}{16}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Paso 8.3.8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.8.1

Multiplica $31$ por $16$ .

$\sqrt{\frac{279 + 496}{16}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Paso 8.3.8.2

Suma $279$ y $496$ .

$\sqrt{\frac{775}{16}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Paso 8.3.9

Reescribe $\sqrt{\frac{775}{16}}$ como $\frac{\sqrt{775}}{\sqrt{16}}$ .

$\frac{\sqrt{775}}{\sqrt{16}} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Paso 8.3.10

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.10.1

Reescribe $775$ como $5^{2} \cdot 31$ .

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Paso 8.3.10.1.1

Factoriza $25$ de $775$ .

$\frac{\sqrt{25 (31)}}{\sqrt{16}} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Paso 8.3.10.1.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2} \cdot 31}}{\sqrt{16}} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Paso 8.3.10.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{5 \sqrt{31}}{\sqrt{16}} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Paso 8.3.11

Simplifica el denominador.

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Paso 8.3.11.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{5 \sqrt{31}}{\sqrt{4^{2}}} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Paso 8.3.11.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{5 \sqrt{31}}{4} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Paso 8.3.12

Simplifica los términos.

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Paso 8.3.12.1

Cancela el factor común de $\sqrt{31}$ .

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Paso 8.3.12.1.1

Factoriza $\sqrt{31}$ de $5 \sqrt{31}$ .

$\frac{\sqrt{31} \cdot 5}{4} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Paso 8.3.12.1.2

Factoriza $\sqrt{31}$ de $3 \sqrt{31}$ .

$\frac{\sqrt{31} \cdot 5}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{31} \cdot 3}$

Paso 8.3.12.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{31} \cdot 5}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{31} \cdot 3}$

Paso 8.3.12.1.4

Reescribe la expresión.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{4}{3}$

Paso 8.3.12.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 8.3.12.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{4}{3}$

Paso 8.3.12.2.2

Reescribe la expresión.

$5 (\frac{1}{3})$

Paso 8.3.12.3

Combina $5$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5}{3}$

Paso 9

Obtén el parámetro focal.

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Paso 9.1

Obtén el valor del parámetro focal de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Paso 9.2

Sustituye los valores de $b$ y $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ en la fórmula.

$\frac{\frac{{\sqrt{31}}^{2}}{5 \sqrt{31}}}{4}$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Cancela el factor común de ${\sqrt{31}}^{2}$ y $\sqrt{31}$ .

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Paso 9.3.1.1

Factoriza $\sqrt{31}$ de ${\sqrt{31}}^{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{31} \sqrt{31}}{5 \sqrt{31}}}{4}$

Paso 9.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.3.1.2.1

Factoriza $\sqrt{31}$ de $5 \sqrt{31}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{31} \sqrt{31}}{\sqrt{31} \cdot 5}}{4}$

Paso 9.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{\sqrt{31} \sqrt{31}}{\sqrt{31} \cdot 5}}{4}$

Paso 9.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{\sqrt{31}}{5}}{4}$

Paso 9.3.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{\sqrt{31}}{5} \cdot \frac{1}{4}$

Paso 9.3.3

Multiplica $\frac{\sqrt{31}}{5} \cdot \frac{1}{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{31}}{5}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\sqrt{31}}{5 \cdot 4}$

Paso 9.3.3.2

Multiplica $5$ por $4$ .

$\frac{\sqrt{31}}{20}$

Paso 10

Las asíntotas siguen la forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ porque esta hipérbola abre hacia la izquierda y la derecha.

$y = \pm \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2)) + 0$

Paso 11

Simplifica para obtener la primera asíntota.

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Paso 11.1

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2)) + 0$

Paso 11.2

Simplifica $\frac{4}{3} \cdot (x - (- 2)) + 0$ .

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Paso 11.2.1

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.1

Suma $\frac{4}{3} \cdot (x - (- 2))$ y $0$ .

$y = \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2))$

Paso 11.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$y = \frac{4}{3} \cdot (x + 2)$

Paso 11.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{4}{3} x + \frac{4}{3} \cdot 2$

Paso 11.2.3

Combina $\frac{4}{3}$ y $x$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} \cdot 2$

Paso 11.2.4

Multiplica $\frac{4}{3} \cdot 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.4.1

Combina $\frac{4}{3}$ y $2$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4 \cdot 2}{3}$

Paso 11.2.4.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3}$

Paso 12

Simplifica para obtener la segunda asíntota.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2)) + 0$

Paso 12.2

Simplifica $- \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2)) + 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.1

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.1.1

Suma $- \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2))$ y $0$ .

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2))$

Paso 12.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x + 2)$

Paso 12.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{4}{3} x - \frac{4}{3} \cdot 2$

Paso 12.2.3

Combina $x$ y $\frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - \frac{4}{3} \cdot 2$

Paso 12.2.4

Multiplica $- \frac{4}{3} \cdot 2$ .

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Paso 12.2.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - 2 (\frac{4}{3})$

Paso 12.2.4.2

Combina $- 2$ y $\frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{- 2 \cdot 4}{3}$

Paso 12.2.4.3

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{- 8}{3}$

Paso 12.2.5

Simplifica cada término.

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Paso 12.2.5.1

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$y = - \frac{4 \cdot x}{3} + \frac{- 8}{3}$

Paso 12.2.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{4 x}{3} - \frac{8}{3}$

Paso 13

Esta hipérbola tiene dos asíntotas.

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3}, y = - \frac{4 x}{3} - \frac{8}{3}$

Paso 14

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una hipérbola.

Centro: $(- 2, 0)$

Vértices: $(- 2 + \frac{3 \sqrt{31}}{4}, 0), (- 2 - \frac{3 \sqrt{31}}{4}, 0)$

Focos: $(- 2 + \frac{5 \sqrt{31}}{4}, 0), (- 2 - \frac{5 \sqrt{31}}{4}, 0)$

Excentricidad: $\frac{5}{3}$

Parámetro focal: $\frac{\sqrt{31}}{20}$

Asíntotas: $y = \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3}$ , $y = - \frac{4 x}{3} - \frac{8}{3}$

Paso 15