Preálgebra Ejemplos

$- 16 x^{2} + 96 x - 144 + 4 y^{2} - 32 y = 0$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la hipérbola.

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Paso 1.1

Suma $144$ a ambos lados de la ecuación.

$- 16 x^{2} + 96 x + 4 y^{2} - 32 y = 144$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $- 16 x^{2} + 96 x$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 16$

$b = 96$

$c = 0$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{96}{2 \cdot - 16}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $96$ y $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $96$ .

$d = \frac{2 \cdot 48}{2 \cdot - 16}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot - 16$ .

$d = \frac{2 \cdot 48}{2 (- 16)}$

Paso 1.2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 48}{2 \cdot - 16}$

Paso 1.2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{48}{- 16}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela el factor común de $48$ y $- 16$ .

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Paso 1.2.3.2.2.1

Factoriza $16$ de $48$ .

$d = \frac{16 (3)}{- 16}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{3}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 3$

Paso 1.2.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$d = - 3$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{96^{2}}{4 \cdot - 16}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Eleva $96$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{9216}{4 \cdot - 16}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 16$ .

$e = 0 - \frac{9216}{- 64}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Divide $9216$ por $- 64$ .

$e = 0 - - 144$

Paso 1.2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 144$ .

$e = 0 + 144$

Paso 1.2.4.2.2

Suma $0$ y $144$ .

$e = 144$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- 16 {(x - 3)}^{2} + 144$ .

$- 16 {(x - 3)}^{2} + 144$

Paso 1.3

Sustituye $- 16 {(x - 3)}^{2} + 144$ por $- 16 x^{2} + 96 x$ en la ecuación $- 16 x^{2} + 96 x + 4 y^{2} - 32 y = 144$ .

$- 16 {(x - 3)}^{2} + 144 + 4 y^{2} - 32 y = 144$

Paso 1.4

Mueve $144$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $144$ a ambos lados.

$- 16 {(x - 3)}^{2} + 4 y^{2} - 32 y = 144 - 144$

Paso 1.5

Completa el cuadrado de $4 y^{2} - 32 y$ .

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Paso 1.5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 4$

$b = - 32$

$c = 0$

Paso 1.5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 32}{2 \cdot 4}$

Paso 1.5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.3.2.1

Cancela el factor común de $- 32$ y $2$ .

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Paso 1.5.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 32$ .

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 4}$

Paso 1.5.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 (4)}$

Paso 1.5.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 4}$

Paso 1.5.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 16}{4}$

Paso 1.5.3.2.2

Cancela el factor común de $- 16$ y $4$ .

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Paso 1.5.3.2.2.1

Factoriza $4$ de $- 16$ .

$d = \frac{4 \cdot - 4}{4}$

Paso 1.5.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.3.2.2.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 4}{4 (1)}$

Paso 1.5.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 1}$

Paso 1.5.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 4}{1}$

Paso 1.5.3.2.2.2.4

Divide $- 4$ por $1$ .

$d = - 4$

Paso 1.5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 32)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Paso 1.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.4.2.1.1

Eleva $- 32$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{1024}{4 \cdot 4}$

Paso 1.5.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$e = 0 - \frac{1024}{16}$

Paso 1.5.4.2.1.3

Divide $1024$ por $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 64$

Paso 1.5.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $64$ .

$e = 0 - 64$

Paso 1.5.4.2.2

Resta $64$ de $0$ .

$e = - 64$

Paso 1.5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $4 {(y - 4)}^{2} - 64$ .

$4 {(y - 4)}^{2} - 64$

Paso 1.6

Sustituye $4 {(y - 4)}^{2} - 64$ por $4 y^{2} - 32 y$ en la ecuación $- 16 x^{2} + 96 x + 4 y^{2} - 32 y = 144$ .

$- 16 {(x - 3)}^{2} + 4 {(y - 4)}^{2} - 64 = 144 - 144$

Paso 1.7

Mueve $- 64$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $64$ a ambos lados.

$- 16 {(x - 3)}^{2} + 4 {(y - 4)}^{2} = 144 - 144 + 64$

Paso 1.8

Simplifica $144 - 144 + 64$ .

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Paso 1.8.1

Resta $144$ de $144$ .

$- 16 {(x - 3)}^{2} + 4 {(y - 4)}^{2} = 0 + 64$

Paso 1.8.2

Suma $0$ y $64$ .

$- 16 {(x - 3)}^{2} + 4 {(y - 4)}^{2} = 64$

Paso 1.9

Divide cada término por $64$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$- \frac{16 {(x - 3)}^{2}}{64} + \frac{4 {(y - 4)}^{2}}{64} = \frac{64}{64}$

Paso 1.10

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{16} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{4} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener los vértices y las asíntotas de la hipérbola.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen, $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen, $a$ .

$a = 4$

$b = 2$

$k = 4$

$h = 3$

Paso 4

El centro de una hipérbola sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(3, 4)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(4)}^{2} + {(2)}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{16 + {(2)}^{2}}$

Paso 5.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{16 + 4}$

Paso 5.3.3

Suma $16$ y $4$ .

$\sqrt{20}$

Paso 5.3.4

Reescribe $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Paso 5.3.4.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$\sqrt{4 (5)}$

Paso 5.3.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 5}$

Paso 5.3.5

Retira los términos de abajo del radical.

$2 \sqrt{5}$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una hipérbola puede obtenerse al sumar $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(3, 8)$

Paso 6.3

El segundo vértice de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $a$ de $k$ .

$(h, k - a)$

Paso 6.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(3, 0)$

Paso 6.5

Los vértices de una hipérbola siguen la forma de $(h, k \pm a)$ . Las hipérbolas tienen dos vértices.

$(3, 8), (3, 0)$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una hipérbola puede obtenerse al sumar $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(3, 4 + 2 \sqrt{5})$

Paso 7.3

El segundo foco de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Paso 7.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(3, 4 - 2 \sqrt{5})$

Paso 7.5

Los focos de una hipérbola siguen la forma de $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Las hipérbolas tienen dos focos.

$(3, 4 + 2 \sqrt{5}), (3, 4 - 2 \sqrt{5})$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} + {(2)}^{2}}}{4}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 2^{2}}}{4}$

Paso 8.3.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 4}}{4}$

Paso 8.3.1.3

Suma $16$ y $4$ .

$\frac{\sqrt{20}}{4}$

Paso 8.3.1.4

Reescribe $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Paso 8.3.1.4.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$\frac{\sqrt{4 (5)}}{4}$

Paso 8.3.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}{4}$

Paso 8.3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{2 \sqrt{5}}{4}$

Paso 8.3.2

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 8.3.2.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{2 (\sqrt{5})}{4}$

Paso 8.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{2 \cdot 2}$

Paso 8.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt{5}}{2 \cdot 2}$

Paso 8.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

Paso 9

Obtén el parámetro focal.

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Paso 9.1

Obtén el valor del parámetro focal de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Paso 9.2

Sustituye los valores de $b$ y $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ en la fórmula.

$\frac{2^{2}}{2 \sqrt{5}}$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Cancela el factor común de $2^{2}$ y $2$ .

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Paso 9.3.1.1

Factoriza $2$ de $2^{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 \sqrt{5}}$

Paso 9.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (\sqrt{5})}$

Paso 9.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \sqrt{5}}$

Paso 9.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{\sqrt{5}}$

Paso 9.3.2

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Paso 9.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 9.3.3.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Paso 9.3.3.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Paso 9.3.3.3

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Paso 9.3.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Paso 9.3.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Paso 9.3.3.6

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 9.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 9.3.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 9.3.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{1}}$

Paso 9.3.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Paso 10

Las asíntotas siguen la forma $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ porque esta hipérbola abre hacia arriba y hacia abajo.

$y = \pm 2 \cdot (x - (3)) + 4$

Paso 11

Simplifica para obtener la primera asíntota.

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Paso 11.1

Elimina los paréntesis.

$y = 2 \cdot (x - (3)) + 4$

Paso 11.2

Simplifica $2 \cdot (x - (3)) + 4$ .

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$y = 2 \cdot (x - 3) + 4$

Paso 11.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 2 x + 2 \cdot - 3 + 4$

Paso 11.2.1.3

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$y = 2 x - 6 + 4$

Paso 11.2.2

Suma $- 6$ y $4$ .

$y = 2 x - 2$

Paso 12

Simplifica para obtener la segunda asíntota.

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Paso 12.1

Elimina los paréntesis.

$y = - 2 \cdot (x - (3)) + 4$

Paso 12.2

Simplifica $- 2 \cdot (x - (3)) + 4$ .

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Paso 12.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$y = - 2 \cdot (x - 3) + 4$

Paso 12.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - 2 x - 2 \cdot - 3 + 4$

Paso 12.2.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 3$ .

$y = - 2 x + 6 + 4$

Paso 12.2.2

Suma $6$ y $4$ .

$y = - 2 x + 10$

Paso 13

Esta hipérbola tiene dos asíntotas.

$y = 2 x - 2, y = - 2 x + 10$

Paso 14

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una hipérbola.

Centro: $(3, 4)$

Vértices: $(3, 8), (3, 0)$

Focos: $(3, 4 + 2 \sqrt{5}), (3, 4 - 2 \sqrt{5})$

Excentricidad: $\frac{\sqrt{5}}{2}$

Parámetro focal: $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Asíntotas: $y = 2 x - 2$ , $y = - 2 x + 10$

Paso 15