Preálgebra Ejemplos

$12 x^{2} + 12 x^{- \frac{1}{2}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $12 x^{2} + \frac{12}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$ no está definida.

$x \leq 0$

Paso 2

Como $12 x^{2} + \frac{12}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $0$ desde la izquierda y $12 x^{2} + \frac{12}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $0$ desde la derecha, entonces $x = 0$ es una asíntota vertical.

$x = 0$

Paso 3

Como el límite no existe, no hay asíntotas horizontales.

No hay asíntotas horizontales

Paso 4

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 4.1

Combinar.

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Paso 4.1.1

Para escribir $12 x^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{12 x^{2} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{12}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{12 x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 12}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.1.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.3.1

Factoriza $12$ de $12 x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 12$ .

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Paso 4.1.3.1.1

Factoriza $12$ de $12 x^{2} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 (x^{2} x^{\frac{1}{2}}) + 12}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.1.3.1.2

Factoriza $12$ de $12$ .

$\frac{12 (x^{2} x^{\frac{1}{2}}) + 12 (1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.1.3.1.3

Factoriza $12$ de $12 (x^{2} x^{\frac{1}{2}}) + 12 (1)$ .

$\frac{12 (x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.1.3.2

Multiplica $x^{2}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.3.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{12 (x^{2 + \frac{1}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.1.3.2.2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{12 (x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.1.3.2.3

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{12 (x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.1.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{12 (x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.1.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.3.2.5.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{12 (x^{\frac{4 + 1}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.1.3.2.5.2

Suma $4$ y $1$ .

$\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.1.4

Para escribir $24 x^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{24 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1) + 24 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.6.1

Factoriza $12$ de $12 (x^{\frac{5}{2}} + 1) + 24 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 4.1.6.1.1

Factoriza $12$ de $24 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1) + 12 (2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.6.1.2

Factoriza $12$ de $12 (x^{\frac{5}{2}} + 1) + 12 (2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1 + 2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.6.2

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.6.2.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1 + 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}))}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1 + 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.6.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1 + 2 x^{\frac{1 + 1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.6.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1 + 2 x^{\frac{2}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.6.2.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1 + 2 x^{1})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.6.3

Simplifica $2 x^{1}$ .

$\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1 + 2 x)}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.6.4

Reordena los términos.

$\frac{12 (2 x + x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.7

Simplifica.

$\frac{24 x + 12 x^{\frac{5}{2}} + 12}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.2

Factoriza $12$ de $24 x + 12 x^{\frac{5}{2}} + 12$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $12$ de $24 x$ .

$\frac{12 (2 x) + 12 x^{\frac{5}{2}} + 12}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.2.2

Factoriza $12$ de $12 x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{12 (2 x) + 12 (x^{\frac{5}{2}}) + 12}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.2.3

Factoriza $12$ de $12$ .

$\frac{12 (2 x) + 12 (x^{\frac{5}{2}}) + 12 (1)}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.2.4

Factoriza $12$ de $12 (2 x) + 12 (x^{\frac{5}{2}})$ .

$\frac{12 (2 x + x^{\frac{5}{2}}) + 12 (1)}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.2.5

Factoriza $12$ de $12 (2 x + x^{\frac{5}{2}}) + 12 (1)$ .

$\frac{12 (2 x + x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.3

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = \frac{12 (2 x + x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = 0$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = \frac{12 (2 x + x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6