Preálgebra Ejemplos

$18 x^{2} - 11 x + 1$

Paso 1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 1.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1.1

Completa el cuadrado de $18 x^{2} - 11 x + 1$ .

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Paso 1.1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 18$

$b = - 11$

$c = 1$

Paso 1.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 11}{2 \cdot 18}$

Paso 1.1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.3.2.1

Multiplica $2$ por $18$ .

$d = \frac{- 11}{36}$

Paso 1.1.1.3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d = - \frac{11}{36}$

Paso 1.1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{{(- 11)}^{2}}{4 \cdot 18}$

Paso 1.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.4.2.1.1

Eleva $- 11$ a la potencia de $2$ .

$e = 1 - \frac{121}{4 \cdot 18}$

Paso 1.1.1.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $18$ .

$e = 1 - \frac{121}{72}$

Paso 1.1.1.4.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$e = \frac{72}{72} - \frac{121}{72}$

Paso 1.1.1.4.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{72 - 121}{72}$

Paso 1.1.1.4.2.4

Resta $121$ de $72$ .

$e = \frac{- 49}{72}$

Paso 1.1.1.4.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = - \frac{49}{72}$

Paso 1.1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $18 {(x - \frac{11}{36})}^{2} - \frac{49}{72}$ .

$18 {(x - \frac{11}{36})}^{2} - \frac{49}{72}$

Paso 1.1.2

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = 18 {(x - \frac{11}{36})}^{2} - \frac{49}{72}$

Paso 1.2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = 18$

$h = \frac{11}{36}$

$k = - \frac{49}{72}$

Paso 1.3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 1.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(\frac{11}{36}, - \frac{49}{72})$

Paso 1.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 1.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 1.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 18}$

Paso 1.5.3

Multiplica $4$ por $18$ .

$\frac{1}{72}$

Paso 1.6

Obtén el foco.

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Paso 1.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 1.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(\frac{11}{36}, - \frac{2}{3})$

Paso 1.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = \frac{11}{36}$

Paso 1.8

Obtén la directriz.

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Paso 1.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 1.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = - \frac{25}{36}$

Paso 1.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(\frac{11}{36}, - \frac{49}{72})$

Foco: $(\frac{11}{36}, - \frac{2}{3})$

Eje de simetría: $x = \frac{11}{36}$

Directriz: $y = - \frac{25}{36}$

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(\frac{11}{36}, - \frac{49}{72})$

Foco: $(\frac{11}{36}, - \frac{2}{3})$

Eje de simetría: $x = \frac{11}{36}$

Directriz: $y = - \frac{25}{36}$

Paso 2

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = 18 {(1)}^{2} - 11 \cdot 1 + 1$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = 18 \cdot 1 - 11 \cdot 1 + 1$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $18$ por $1$ .

$f (1) = 18 - 11 \cdot 1 + 1$

Paso 2.2.1.3

Multiplica $- 11$ por $1$ .

$f (1) = 18 - 11 + 1$

Paso 2.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.2.2.1

Resta $11$ de $18$ .

$f (1) = 7 + 1$

Paso 2.2.2.2

Suma $7$ y $1$ .

$f (1) = 8$

Paso 2.2.3

La respuesta final es $8$ .

$8$

Paso 2.3

El valor de $y$ en $x = 1$ es $8$ .

$y = 8$

Paso 2.4

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ \frac{11}{36} & - \frac{49}{72} \\ 1 & 8 \end{array}$

Paso 3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(\frac{11}{36}, - \frac{49}{72})$

Foco: $(\frac{11}{36}, - \frac{2}{3})$

Eje de simetría: $x = \frac{11}{36}$

Directriz: $y = - \frac{25}{36}$

$\begin{array}{c} x & y \\ \frac{11}{36} & - \frac{49}{72} \\ 1 & 8 \end{array}$

Paso 4