Preálgebra Ejemplos

$2 x^{2} + 3 x - 20$

Paso 1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 1.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1.1

Completa el cuadrado de $2 x^{2} + 3 x - 20$ .

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Paso 1.1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 2$

$b = 3$

$c = - 20$

Paso 1.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{3}{2 \cdot 2}$

Paso 1.1.1.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$d = \frac{3}{4}$

Paso 1.1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 20 - \frac{3^{2}}{4 \cdot 2}$

Paso 1.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.4.2.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$e = - 20 - \frac{9}{4 \cdot 2}$

Paso 1.1.1.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$e = - 20 - \frac{9}{8}$

Paso 1.1.1.4.2.2

Para escribir $- 20$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{8}{8}$ .

$e = - 20 \cdot \frac{8}{8} - \frac{9}{8}$

Paso 1.1.1.4.2.3

Combina $- 20$ y $\frac{8}{8}$ .

$e = \frac{- 20 \cdot 8}{8} - \frac{9}{8}$

Paso 1.1.1.4.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{- 20 \cdot 8 - 9}{8}$

Paso 1.1.1.4.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1.4.2.5.1

Multiplica $- 20$ por $8$ .

$e = \frac{- 160 - 9}{8}$

Paso 1.1.1.4.2.5.2

Resta $9$ de $- 160$ .

$e = \frac{- 169}{8}$

Paso 1.1.1.4.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = - \frac{169}{8}$

Paso 1.1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $2 {(x + \frac{3}{4})}^{2} - \frac{169}{8}$ .

$2 {(x + \frac{3}{4})}^{2} - \frac{169}{8}$

Paso 1.1.2

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = 2 {(x + \frac{3}{4})}^{2} - \frac{169}{8}$

Paso 1.2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = 2$

$h = - \frac{3}{4}$

$k = - \frac{169}{8}$

Paso 1.3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 1.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- \frac{3}{4}, - \frac{169}{8})$

Paso 1.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 1.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 1.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 2}$

Paso 1.5.3

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{1}{8}$

Paso 1.6

Obtén el foco.

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Paso 1.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 1.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- \frac{3}{4}, - 21)$

Paso 1.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = - \frac{3}{4}$

Paso 1.8

Obtén la directriz.

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Paso 1.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 1.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = - \frac{85}{4}$

Paso 1.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- \frac{3}{4}, - \frac{169}{8})$

Foco: $(- \frac{3}{4}, - 21)$

Eje de simetría: $x = - \frac{3}{4}$

Directriz: $y = - \frac{85}{4}$

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- \frac{3}{4}, - \frac{169}{8})$

Foco: $(- \frac{3}{4}, - 21)$

Eje de simetría: $x = - \frac{3}{4}$

Directriz: $y = - \frac{85}{4}$

Paso 2

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = 2 {(- 2)}^{2} + 3 (- 2) - 20$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f (- 2) = 2 \cdot 4 + 3 (- 2) - 20$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$f (- 2) = 8 + 3 (- 2) - 20$

Paso 2.2.1.3

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$f (- 2) = 8 - 6 - 20$

Paso 2.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 2.2.2.1

Resta $6$ de $8$ .

$f (- 2) = 2 - 20$

Paso 2.2.2.2

Resta $20$ de $2$ .

$f (- 2) = - 18$

Paso 2.2.3

La respuesta final es $- 18$ .

$- 18$

Paso 2.3

El valor de $y$ en $x = - 2$ es $- 18$ .

$y = - 18$

Paso 2.4

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f (- 3) = 2 {(- 3)}^{2} + 3 (- 3) - 20$

Paso 2.5

Simplifica el resultado.

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Paso 2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$f (- 3) = 2 \cdot 9 + 3 (- 3) - 20$

Paso 2.5.1.2

Multiplica $2$ por $9$ .

$f (- 3) = 18 + 3 (- 3) - 20$

Paso 2.5.1.3

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$f (- 3) = 18 - 9 - 20$

Paso 2.5.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 2.5.2.1

Resta $9$ de $18$ .

$f (- 3) = 9 - 20$

Paso 2.5.2.2

Resta $20$ de $9$ .

$f (- 3) = - 11$

Paso 2.5.3

La respuesta final es $- 11$ .

$- 11$

Paso 2.6

El valor de $y$ en $x = - 3$ es $- 11$ .

$y = - 11$

Paso 2.7

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = 2 {(0)}^{2} + 3 (0) - 20$

Paso 2.8

Simplifica el resultado.

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Paso 2.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.8.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0 + 3 (0) - 20$

Paso 2.8.1.2

Multiplica $2$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 3 (0) - 20$

Paso 2.8.1.3

Multiplica $3$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 20$

Paso 2.8.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.8.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0 - 20$

Paso 2.8.2.2

Resta $20$ de $0$ .

$f (0) = - 20$

Paso 2.8.3

La respuesta final es $- 20$ .

$- 20$

Paso 2.9

El valor de $y$ en $x = 0$ es $- 20$ .

$y = - 20$

Paso 2.10

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = 2 {(1)}^{2} + 3 (1) - 20$

Paso 2.11

Simplifica el resultado.

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Paso 2.11.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.11.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = 2 \cdot 1 + 3 (1) - 20$

Paso 2.11.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (1) = 2 + 3 (1) - 20$

Paso 2.11.1.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$f (1) = 2 + 3 - 20$

Paso 2.11.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.11.2.1

Suma $2$ y $3$ .

$f (1) = 5 - 20$

Paso 2.11.2.2

Resta $20$ de $5$ .

$f (1) = - 15$

Paso 2.11.3

La respuesta final es $- 15$ .

$- 15$

Paso 2.12

El valor de $y$ en $x = 1$ es $- 15$ .

$y = - 15$

Paso 2.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & - 11 \\ - 2 & - 18 \\ - \frac{3}{4} & - \frac{169}{8} \\ 0 & - 20 \\ 1 & - 15 \end{array}$

Paso 3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- \frac{3}{4}, - \frac{169}{8})$

Foco: $(- \frac{3}{4}, - 21)$

Eje de simetría: $x = - \frac{3}{4}$

Directriz: $y = - \frac{85}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & - 11 \\ - 2 & - 18 \\ - \frac{3}{4} & - \frac{169}{8} \\ 0 & - 20 \\ 1 & - 15 \end{array}$

Paso 4