Preálgebra Ejemplos

$- 25 x^{2} + y^{2} - 100 x - 125 = 0$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la hipérbola.

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Paso 1.1

Suma $125$ a ambos lados de la ecuación.

$- 25 x^{2} + y^{2} - 100 x = 125$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $- 25 x^{2} - 100 x$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 25$

$b = - 100$

$c = 0$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 100}{2 \cdot - 25}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $- 100$ y $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 100$ .

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot - 25}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot - 25$ .

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 (- 25)}$

Paso 1.2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot - 25}$

Paso 1.2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 50}{- 25}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela el factor común de $- 50$ y $- 25$ .

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Paso 1.2.3.2.2.1

Factoriza $- 25$ de $- 50$ .

$d = \frac{- 25 (2)}{- 25}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.2.2.1

Factoriza $- 25$ de $- 25$ .

$d = \frac{- 25 \cdot 2}{- 25 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{- 25 \cdot 2}{- 25 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{2}{1}$

Paso 1.2.3.2.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$d = 2$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 100)}^{2}}{4 \cdot - 25}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Eleva $- 100$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{10000}{4 \cdot - 25}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 25$ .

$e = 0 - \frac{10000}{- 100}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Divide $10000$ por $- 100$ .

$e = 0 - - 100$

Paso 1.2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 100$ .

$e = 0 + 100$

Paso 1.2.4.2.2

Suma $0$ y $100$ .

$e = 100$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- 25 {(x + 2)}^{2} + 100$ .

$- 25 {(x + 2)}^{2} + 100$

Paso 1.3

Sustituye $- 25 {(x + 2)}^{2} + 100$ por $- 25 x^{2} - 100 x$ en la ecuación $- 25 x^{2} + y^{2} - 100 x = 125$ .

$- 25 {(x + 2)}^{2} + 100 + y^{2} = 125$

Paso 1.4

Mueve $100$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $100$ a ambos lados.

$- 25 {(x + 2)}^{2} + y^{2} = 125 - 100$

Paso 1.5

Resta $100$ de $125$ .

$- 25 {(x + 2)}^{2} + y^{2} = 25$

Paso 1.6

Divide cada término por $25$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$- \frac{25 {(x + 2)}^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{25} = \frac{25}{25}$

Paso 1.7

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{y^{2}}{25} - \frac{{(x + 2)}^{2}}{1} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener los vértices y las asíntotas de la hipérbola.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen, $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen, $a$ .

$a = 5$

$b = 1$

$k = 0$

$h = - 2$

Paso 4

El centro de una hipérbola sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(- 2, 0)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(5)}^{2} + {(1)}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{25 + {(1)}^{2}}$

Paso 5.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{25 + 1}$

Paso 5.3.3

Suma $25$ y $1$ .

$\sqrt{26}$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una hipérbola puede obtenerse al sumar $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 2, 5)$

Paso 6.3

El segundo vértice de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $a$ de $k$ .

$(h, k - a)$

Paso 6.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 2, - 5)$

Paso 6.5

Los vértices de una hipérbola siguen la forma de $(h, k \pm a)$ . Las hipérbolas tienen dos vértices.

$(- 2, 5), (- 2, - 5)$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una hipérbola puede obtenerse al sumar $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 2, \sqrt{26})$

Paso 7.3

El segundo foco de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Paso 7.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 2, - \sqrt{26})$

Paso 7.5

Los focos de una hipérbola siguen la forma de $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Las hipérbolas tienen dos focos.

$(- 2, \sqrt{26}), (- 2, - \sqrt{26})$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} + {(1)}^{2}}}{5}$

Paso 8.3

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + 1^{2}}}{5}$

Paso 8.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{\sqrt{25 + 1}}{5}$

Paso 8.3.3

Suma $25$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{26}}{5}$

Paso 9

Obtén el parámetro focal.

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Paso 9.1

Obtén el valor del parámetro focal de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Paso 9.2

Sustituye los valores de $b$ y $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ en la fórmula.

$\frac{1^{2}}{\sqrt{26}}$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{\sqrt{26}}$

Paso 9.3.2

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{26}}$ por $\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{26}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{26}} \cdot \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{26}}$

Paso 9.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 9.3.3.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{26}}$ por $\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{26}}$ .

$\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{26} \sqrt{26}}$

Paso 9.3.3.2

Eleva $\sqrt{26}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{26}}{{\sqrt{26}}^{1} \sqrt{26}}$

Paso 9.3.3.3

Eleva $\sqrt{26}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{26}}{{\sqrt{26}}^{1} {\sqrt{26}}^{1}}$

Paso 9.3.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{26}}{{\sqrt{26}}^{1 + 1}}$

Paso 9.3.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{26}}{{\sqrt{26}}^{2}}$

Paso 9.3.3.6

Reescribe ${\sqrt{26}}^{2}$ como $26$ .

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Paso 9.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{26}$ como $26^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{26}}{{(26^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 9.3.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{26}}{26^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 9.3.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{26}}{26^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{26}}{26^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{26}}{26^{1}}$

Paso 9.3.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{26}}{26}$

Paso 10

Las asíntotas siguen la forma $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ porque esta hipérbola abre hacia arriba y hacia abajo.

$y = \pm 5 \cdot (x - (- 2)) + 0$

Paso 11

Simplifica para obtener la primera asíntota.

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Paso 11.1

Elimina los paréntesis.

$y = 5 \cdot (x - (- 2)) + 0$

Paso 11.2

Simplifica $5 \cdot (x - (- 2)) + 0$ .

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Paso 11.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 11.2.1.1

Suma $5 \cdot (x - (- 2))$ y $0$ .

$y = 5 \cdot (x - (- 2))$

Paso 11.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$y = 5 \cdot (x + 2)$

Paso 11.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 5 x + 5 \cdot 2$

Paso 11.2.3

Multiplica $5$ por $2$ .

$y = 5 x + 10$

Paso 12

Simplifica para obtener la segunda asíntota.

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Paso 12.1

Elimina los paréntesis.

$y = - 5 \cdot (x - (- 2)) + 0$

Paso 12.2

Simplifica $- 5 \cdot (x - (- 2)) + 0$ .

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Paso 12.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 12.2.1.1

Suma $- 5 \cdot (x - (- 2))$ y $0$ .

$y = - 5 \cdot (x - (- 2))$

Paso 12.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$y = - 5 \cdot (x + 2)$

Paso 12.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - 5 x - 5 \cdot 2$

Paso 12.2.3

Multiplica $- 5$ por $2$ .

$y = - 5 x - 10$

Paso 13

Esta hipérbola tiene dos asíntotas.

$y = 5 x + 10, y = - 5 x - 10$

Paso 14

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una hipérbola.

Centro: $(- 2, 0)$

Vértices: $(- 2, 5), (- 2, - 5)$

Focos: $(- 2, \sqrt{26}), (- 2, - \sqrt{26})$

Excentricidad: $\frac{\sqrt{26}}{5}$

Parámetro focal: $\frac{\sqrt{26}}{26}$

Asíntotas: $y = 5 x + 10$ , $y = - 5 x - 10$

Paso 15