Preálgebra Ejemplos

$\frac{\frac{5 + x^{2}}{7 \sqrt{x}} - 7 x \sqrt{x}}{{(5 + x^{2})}^{2}}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{\sqrt{x} (5 - 48 x^{2})}{7 x {(5 + x^{2})}^{2}}$ no está definida.

$x \leq 0$

Paso 2

Como $\frac{\sqrt{x} (5 - 48 x^{2})}{7 x {(5 + x^{2})}^{2}}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $0$ desde la izquierda y $\frac{\sqrt{x} (5 - 48 x^{2})}{7 x {(5 + x^{2})}^{2}}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $0$ desde la derecha, entonces $x = 0$ es una asíntota vertical.

$x = 0$

Paso 3

Evalúa $lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x} (5 - 48 x^{2})}{7 x {(5 + x^{2})}^{2}}$ para obtener la asíntota horizontal.

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Paso 3.1

Reduce.

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Paso 3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{\frac{1}{2}} (5 - 48 x^{2})}{7 x {(5 + x^{2})}^{2}}$

Paso 3.1.2

Factoriza $x$ de $x^{\frac{1}{2}} (5 - 48 x^{2})$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (x^{- \frac{1}{2}} (5 - 48 x^{2}))}{7 x {(5 + x^{2})}^{2}}$

Paso 3.1.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.3.1

Factoriza $x$ de $7 x {(5 + x^{2})}^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (x^{- \frac{1}{2}} (5 - 48 x^{2}))}{x (7 {(5 + x^{2})}^{2})}$

Paso 3.1.3.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (x^{- \frac{1}{2}} (5 - 48 x^{2}))}{x (7 {(5 + x^{2})}^{2})}$

Paso 3.1.3.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{- \frac{1}{2}} (5 - 48 x^{2})}{7 {(5 + x^{2})}^{2}}$

Paso 3.1.4

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 - 48 x^{2}}{7 {(5 + x^{2})}^{2} x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.2

Mueve el término $\frac{1}{7}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{5 - 48 x^{2}}{{(5 + x^{2})}^{2} x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.3

Reescribe $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{5 - 48 x^{2}}{{(5 + x^{2})}^{2} \sqrt{x}}$

Paso 3.4

Reordena los factores en ${(5 + x^{2})}^{2} \sqrt{x}$ .

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{5 - 48 x^{2}}{\sqrt{x} {(5 + x^{2})}^{2}}$

Paso 3.5

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador.

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} + \frac{- 48 x^{2}}{x^{4}}}{\sqrt{x} {(\frac{5}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}})}^{2}}$

Paso 3.6

Simplifica los términos.

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Paso 3.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.6.1.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x^{4}$ .

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Paso 3.6.1.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $- 48 x^{2}$ .

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} + \frac{x^{2} \cdot - 48}{x^{4}}}{\sqrt{x} {(\frac{5}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}})}^{2}}$

Paso 3.6.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.6.1.1.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} + \frac{x^{2} \cdot - 48}{x^{2} x^{2}}}{\sqrt{x} {(\frac{5}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}})}^{2}}$

Paso 3.6.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} + \frac{x^{2} \cdot - 48}{x^{2} x^{2}}}{\sqrt{x} {(\frac{5}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}})}^{2}}$

Paso 3.6.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} + \frac{- 48}{x^{2}}}{\sqrt{x} {(\frac{5}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}})}^{2}}$

Paso 3.6.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} {(\frac{5}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}})}^{2}}$

Paso 3.6.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 3.6.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 3.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} {(\frac{5}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}})}^{2}}$

Paso 3.6.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} {(\frac{5}{x^{2}} + 1)}^{2}}$

Paso 3.6.2.2

Reescribe ${(\frac{5}{x^{2}} + 1)}^{2}$ como $(\frac{5}{x^{2}} + 1) (\frac{5}{x^{2}} + 1)$ .

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} (\frac{5}{x^{2}} + 1) (\frac{5}{x^{2}} + 1)}$

Paso 3.7

Expande $(\frac{5}{x^{2}} + 1) (\frac{5}{x^{2}} + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} (\frac{5}{x^{2}} (\frac{5}{x^{2}} + 1) + 1 (\frac{5}{x^{2}} + 1))}$

Paso 3.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} (\frac{5}{x^{2}} \cdot \frac{5}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}} \cdot 1 + 1 (\frac{5}{x^{2}} + 1))}$

Paso 3.7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} (\frac{5}{x^{2}} \cdot \frac{5}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}} \cdot 1 + 1 \frac{5}{x^{2}} + 1 \cdot 1)}$

Paso 3.8

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.8.1.1

Combinar.

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} (\frac{5 \cdot 5}{x^{2} x^{2}} + \frac{5}{x^{2}} \cdot 1 + 1 \frac{5}{x^{2}} + 1 \cdot 1)}$

Paso 3.8.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.8.1.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} (\frac{5 \cdot 5}{x^{2 + 2}} + \frac{5}{x^{2}} \cdot 1 + 1 \frac{5}{x^{2}} + 1 \cdot 1)}$

Paso 3.8.1.2.2

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} (\frac{5 \cdot 5}{x^{4}} + \frac{5}{x^{2}} \cdot 1 + 1 \frac{5}{x^{2}} + 1 \cdot 1)}$

Paso 3.8.1.3

Multiplica $5$ por $5$ .

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} (\frac{25}{x^{4}} + \frac{5}{x^{2}} \cdot 1 + 1 \frac{5}{x^{2}} + 1 \cdot 1)}$

Paso 3.8.1.4

Multiplica $\frac{5}{x^{2}}$ por $1$ .

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} (\frac{25}{x^{4}} + \frac{5}{x^{2}} + 1 \frac{5}{x^{2}} + 1 \cdot 1)}$

Paso 3.8.1.5

Multiplica $\frac{5}{x^{2}}$ por $1$ .

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} (\frac{25}{x^{4}} + \frac{5}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}} + 1 \cdot 1)}$

Paso 3.8.1.6

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} (\frac{25}{x^{4}} + \frac{5}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}} + 1)}$

Paso 3.8.2

Suma $\frac{5}{x^{2}}$ y $\frac{5}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} (\frac{25}{x^{4}} + 2 \frac{5}{x^{2}} + 1)}$

Paso 3.9

Multiplica $2 \frac{5}{x^{2}}$ .

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Paso 3.9.1

Combina $2$ y $\frac{5}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} (\frac{25}{x^{4}} + \frac{2 \cdot 5}{x^{2}} + 1)}$

Paso 3.9.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} (\frac{25}{x^{4}} + \frac{10}{x^{2}} + 1)}$

Paso 3.10

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} \frac{25}{x^{4}} + \sqrt{x} \frac{10}{x^{2}} + \sqrt{x} \cdot 1}$

Paso 3.11

Simplifica.

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Paso 3.11.1

Combina $\sqrt{x}$ y $\frac{25}{x^{4}}$ .

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\frac{\sqrt{x} \cdot 25}{x^{4}} + \sqrt{x} \frac{10}{x^{2}} + \sqrt{x} \cdot 1}$

Paso 3.11.2

Combina $\sqrt{x}$ y $\frac{10}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\frac{\sqrt{x} \cdot 25}{x^{4}} + \frac{\sqrt{x} \cdot 10}{x^{2}} + \sqrt{x} \cdot 1}$

Paso 3.11.3

Multiplica $\sqrt{x}$ por $1$ .

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\frac{\sqrt{x} \cdot 25}{x^{4}} + \frac{\sqrt{x} \cdot 10}{x^{2}} + \sqrt{x}}$

Paso 3.12

Simplifica cada término.

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\frac{25 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10 \sqrt{x}}{x^{2}} + \sqrt{x}}$

Paso 3.13

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\frac{25 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10 \sqrt{x}}{x^{2}} + \sqrt{x}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{7} \cdot 0$

Paso 3.14

Multiplica $\frac{1}{7}$ por $0$ .

$0$

Paso 4

Enumera las asíntotas horizontales:

$y = 0$

Paso 5

Usa la división polinómica para obtener las asíntotas oblicuas. Como esta expresión contiene un radical, la división polinómica no se puede hacer.

No se pueden encontrar las asíntotas oblicuas

Paso 6

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = 0$

Asíntotas horizontales: $y = 0$

No se pueden encontrar las asíntotas oblicuas

Paso 7