Preálgebra Ejemplos

$\frac{3}{5^{2 x - 3}} > \frac{5}{3^{x + 2}}$

Paso 1

Take the log of both sides of the inequality.

$\ln (\frac{3}{5^{2 x - 3}}) > \ln (\frac{5}{3^{x + 2}})$

Paso 2

Reescribe $\ln (\frac{3}{5^{2 x - 3}})$ como $\ln (3) - \ln (5^{2 x - 3})$ .

$\ln (3) - \ln (5^{2 x - 3}) > \ln (\frac{5}{3^{x + 2}})$

Paso 3

Expande $\ln (5^{2 x - 3})$ ; para ello, mueve $2 x - 3$ fuera del logaritmo.

$\ln (3) - ((2 x - 3) \ln (5)) > \ln (\frac{5}{3^{x + 2}})$

Paso 4

Elimina los paréntesis.

$\ln (3) - (2 x - 3) \ln (5) > \ln (\frac{5}{3^{x + 2}})$

Paso 5

Reescribe $\ln (\frac{5}{3^{x + 2}})$ como $\ln (5) - \ln (3^{x + 2})$ .

$\ln (3) - (2 x - 3) \ln (5) > \ln (5) - \ln (3^{x + 2})$

Paso 6

Expande $\ln (3^{x + 2})$ ; para ello, mueve $x + 2$ fuera del logaritmo.

$\ln (3) - (2 x - 3) \ln (5) > \ln (5) - ((x + 2) \ln (3))$

Paso 7

Elimina los paréntesis.

$\ln (3) - (2 x - 3) \ln (5) > \ln (5) - (x + 2) \ln (3)$

Paso 8

Resuelve la desigualdad en $x$ .

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Paso 8.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (3) + (- (2 x) + 3) \ln (5) = \ln (5) - (x + 2) \ln (3)$

Paso 8.1.1.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\ln (3) + (- 2 x + 3) \ln (5) = \ln (5) - (x + 2) \ln (3)$

Paso 8.1.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$\ln (3) + (- 2 x + 3) \ln (5) = \ln (5) - (x + 2) \ln (3)$

Paso 8.1.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (3) - 2 x \ln (5) + 3 \ln (5) = \ln (5) - (x + 2) \ln (3)$

Paso 8.1.2

Reordena $\ln (3)$ y $- 2 x \ln (5)$ .

$- 2 x \ln (5) + \ln (3) + 3 \ln (5) = \ln (5) - (x + 2) \ln (3)$

Paso 8.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 x \ln (5) + \ln (3) + 3 \ln (5) = \ln (5) + (- x - 1 \cdot 2) \ln (3)$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 x \ln (5) + \ln (3) + 3 \ln (5) = \ln (5) + (- x - 2) \ln (3)$

Paso 8.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 x \ln (5) + \ln (3) + 3 \ln (5) = \ln (5) - x \ln (3) - 2 \ln (3)$

Paso 8.2.2

Reordena $\ln (5)$ y $- x \ln (3)$ .

$- 2 x \ln (5) + \ln (3) + 3 \ln (5) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

Paso 8.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.3.1

Simplifica $- 2 x \ln (5) + \ln (3) + 3 \ln (5)$ .

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Paso 8.3.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.1.1.1

Simplifica $- 2 \ln (5)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$x (- \ln (5^{2})) + \ln (3) + 3 \ln (5) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

Paso 8.3.1.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$x (- \ln (25)) + \ln (3) + 3 \ln (5) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

Paso 8.3.1.1.3

Simplifica $3 \ln (5)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$x (- \ln (25)) + \ln (3) + \ln (5^{3}) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

Paso 8.3.1.1.4

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$x (- \ln (25)) + \ln (3) + \ln (125) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

Paso 8.3.1.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$x (- \ln (25)) + \ln (3 \cdot 125) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

Paso 8.3.1.3

Multiplica $3$ por $125$ .

$x (- \ln (25)) + \ln (375) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

Paso 8.3.1.4

Reordena los factores en $x (- \ln (25)) + \ln (375)$ .

$- x \ln (25) + \ln (375) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

Paso 8.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.4.1

Simplifica $- x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$ .

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Paso 8.4.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.4.1.1.1

Simplifica $- 2 \ln (3)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$- x \ln (25) + \ln (375) = - x \ln (3) + \ln (5) - \ln (3^{2})$

Paso 8.4.1.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$- x \ln (25) + \ln (375) = - x \ln (3) + \ln (5) - \ln (9)$

Paso 8.4.1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- x \ln (25) + \ln (375) = - x \ln (3) + \ln (\frac{5}{9})$

Paso 8.5

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$- x \ln (25) + \ln (375) + x \ln (3) - \ln (\frac{5}{9}) = 0$

Paso 8.6

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- x \ln (25) + x \ln (3) + \ln (\frac{375}{\frac{5}{9}}) = 0$

Paso 8.7

Simplifica cada término.

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Paso 8.7.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- x \ln (25) + x \ln (3) + \ln (375 (\frac{9}{5})) = 0$

Paso 8.7.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 8.7.2.1

Factoriza $5$ de $375$ .

$- x \ln (25) + x \ln (3) + \ln (5 (75) (\frac{9}{5})) = 0$

Paso 8.7.2.2

Cancela el factor común.

$- x \ln (25) + x \ln (3) + \ln (5 \cdot (75 (\frac{9}{5}))) = 0$

Paso 8.7.2.3

Reescribe la expresión.

$- x \ln (25) + x \ln (3) + \ln (75 \cdot 9) = 0$

Paso 8.7.3

Multiplica $75$ por $9$ .

$- x \ln (25) + x \ln (3) + \ln (675) = 0$

Paso 8.8

Resta $\ln (675)$ de ambos lados de la ecuación.

$- x \ln (25) + x \ln (3) = - \ln (675)$

Paso 8.9

Factoriza $x$ de $- x \ln (25) + x \ln (3)$ .

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Paso 8.9.1

Factoriza $x$ de $- x \ln (25)$ .

$x (- 1 \ln (25)) + x \ln (3) = - \ln (675)$

Paso 8.9.2

Factoriza $x$ de $x \ln (3)$ .

$x (- 1 \ln (25)) + x (\ln (3)) = - \ln (675)$

Paso 8.9.3

Factoriza $x$ de $x (- 1 \ln (25)) + x (\ln (3))$ .

$x (- 1 \ln (25) + \ln (3)) = - \ln (675)$

Paso 8.10

Reescribe $- 1 \ln (25)$ como $- \ln (25)$ .

$x (- \ln (25) + \ln (3)) = - \ln (675)$

Paso 8.11

Divide cada término en $x (- \ln (25) + \ln (3)) = - \ln (675)$ por $- \ln (25) + \ln (3)$ y simplifica.

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Paso 8.11.1

Divide cada término en $x (- \ln (25) + \ln (3)) = - \ln (675)$ por $- \ln (25) + \ln (3)$ .

$\frac{x (- \ln (25) + \ln (3))}{- \ln (25) + \ln (3)} = \frac{- \ln (675)}{- \ln (25) + \ln (3)}$

Paso 8.11.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.11.2.1

Cancela el factor común de $- \ln (25) + \ln (3)$ .

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Paso 8.11.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (- \ln (25) + \ln (3))}{- \ln (25) + \ln (3)} = \frac{- \ln (675)}{- \ln (25) + \ln (3)}$

Paso 8.11.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \ln (675)}{- \ln (25) + \ln (3)}$

Paso 8.11.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.11.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{\ln (675)}{- \ln (25) + \ln (3)}$

Paso 8.11.3.2

Factoriza $- 1$ de $- \ln (25)$ .

$x = - \frac{\ln (675)}{- \ln (25) + \ln (3)}$

Paso 8.11.3.3

Factoriza $- 1$ de $\ln (3)$ .

$x = - \frac{\ln (675)}{- \ln (25) - 1 (- \ln (3))}$

Paso 8.11.3.4

Factoriza $- 1$ de $- \ln (25) - 1 (- \ln (3))$ .

$x = - \frac{\ln (675)}{- (\ln (25) - \ln (3))}$

Paso 8.11.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 8.11.3.5.1

Reescribe $- (\ln (25) - \ln (3))$ como $- 1 (\ln (25) - \ln (3))$ .

$x = - \frac{\ln (675)}{- 1 (\ln (25) - \ln (3))}$

Paso 8.11.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - - \frac{\ln (675)}{\ln (25) - \ln (3)}$

Paso 8.11.3.5.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1 \frac{\ln (675)}{\ln (25) - \ln (3)}$

Paso 8.11.3.5.4

Multiplica $\frac{\ln (675)}{\ln (25) - \ln (3)}$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (675)}{\ln (25) - \ln (3)}$

Paso 9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < \frac{\ln (675)}{\ln (25) - \ln (3)}$

Paso 10