Preálgebra Ejemplos

$\frac{\frac{x^{2} - 25}{x^{2} - 16}}{\frac{2 x + 10}{x^{2} - 4 x \cdot \frac{2 x + 8}{x^{2} - 5 x}}}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 (x + 4) (x - 4)}$ no está definida.

$x = - 4, x = 4$

Paso 2

Como $\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 (x + 4) (x - 4)}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $- 4$ desde la izquierda y $\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 (x + 4) (x - 4)}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $- 4$ desde la derecha, entonces $x = - 4$ es una asíntota vertical.

$x = - 4$

Paso 3

Como $\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 (x + 4) (x - 4)}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $4$ desde la izquierda y $\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 (x + 4) (x - 4)}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $4$ desde la derecha, entonces $x = 4$ es una asíntota vertical.

$x = 4$

Paso 4

Enumera todas las asíntotas verticales:

$x = - 4, 4$

Paso 5

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 6

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Paso 7

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 8

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 8.1

Simplifica el denominador.

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Paso 8.1.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2} - 32$ .

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Paso 8.1.1.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 (x^{2}) - 32}$

Paso 8.1.1.2

Factoriza $2$ de $- 32$ .

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 x^{2} + 2 \cdot - 16}$

Paso 8.1.1.3

Factoriza $2$ de $2 x^{2} + 2 \cdot - 16$ .

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 (x^{2} - 16)}$

Paso 8.1.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 (x^{2} - 4^{2})}$

Paso 8.1.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 (x + 4) (x - 4)}$

Paso 8.2

Expande $2 (x + 4) (x - 4)$ .

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Paso 8.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{(2 x + 2 \cdot 4) (x - 4)}$

Paso 8.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 x (x - 4) + 2 \cdot (4 (x - 4))}$

Paso 8.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 4 + 2 \cdot (4 (x - 4))}$

Paso 8.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 4 + 2 \cdot (4 x) + 2 \cdot 4 \cdot - 4}$

Paso 8.2.5

Mueve $x$ .

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 4 x) + 2 \cdot (4 x) + 2 \cdot 4 \cdot - 4}$

Paso 8.2.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 4 x) + 2 \cdot (4 x) + 2 \cdot 4 \cdot - 4}$

Paso 8.2.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 4 x) + 2 \cdot (4 x) + 2 \cdot 4 \cdot - 4}$

Paso 8.2.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 x^{1 + 1} + 2 \cdot (- 4 x) + 2 \cdot (4 x) + 2 \cdot 4 \cdot - 4}$

Paso 8.2.9

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 x^{2} + 2 \cdot (- 4 x) + 2 \cdot (4 x) + 2 \cdot 4 \cdot - 4}$

Paso 8.2.10

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 x^{2} - 8 x + 2 \cdot (4 x) + 2 \cdot 4 \cdot - 4}$

Paso 8.2.11

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 x^{2} - 8 x + 8 x + 2 \cdot 4 \cdot - 4}$

Paso 8.2.12

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 x^{2} - 8 x + 8 x + 8 \cdot - 4}$

Paso 8.2.13

Multiplica $8$ por $- 4$ .

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 x^{2} - 8 x + 8 x - 32}$

Paso 8.2.14

Suma $- 8 x$ y $8 x$ .

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 x^{2} + 0 - 32}$

Paso 8.2.15

Resta $32$ de $0$ .

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 x^{2} - 32}$

Paso 8.3

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$2 x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$8 x$

$32$

Paso 8.4

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x^{2}$ .

							$\frac{x}{2}$
	$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$32$

Paso 8.5

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

						$\frac{x}{2}$
$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$32$
					+	$x^{3}$	+	$0$	-	$16 x$

Paso 8.6

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} + 0 - 16 x$ .

						$\frac{x}{2}$
$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$32$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$16 x$

Paso 8.7

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

						$\frac{x}{2}$
$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$32$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$16 x$
							-	$5 x^{2}$	+	$8 x$

Paso 8.8

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

						$\frac{x}{2}$
$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$32$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$16 x$
							-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	-	$32$

Paso 8.9

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 5 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x^{2}$ .

						$\frac{x}{2}$	-	$\frac{5}{2}$
$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$32$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$16 x$
							-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	-	$32$

Paso 8.10

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

						$\frac{x}{2}$	-	$\frac{5}{2}$
$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$32$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$16 x$
							-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	-	$32$
							-	$5 x^{2}$	+	$0$	+	$80$

Paso 8.11

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 5 x^{2} + 0 + 80$ .

						$\frac{x}{2}$	-	$\frac{5}{2}$
$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$32$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$16 x$
							-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	-	$32$
							+	$5 x^{2}$	-	$0$	-	$80$

Paso 8.12

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

						$\frac{x}{2}$	-	$\frac{5}{2}$
$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$32$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$16 x$
							-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	-	$32$
							+	$5 x^{2}$	-	$0$	-	$80$
									+	$8 x$	-	$112$

Paso 8.13

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\frac{x}{2} - \frac{5}{2} + \frac{8 x - 112}{2 x^{2} - 32}$

Paso 8.14

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = \frac{x}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 9

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = - 4, 4$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = \frac{x}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 10