Preálgebra Ejemplos

${(x - 6)}^{2} = 9 y$

Paso 1

Resuelve $y$

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Paso 1.1

Reescribe la ecuación como $9 y = {(x - 6)}^{2}$ .

$9 y = {(x - 6)}^{2}$

Paso 1.2

Divide cada término en $9 y = {(x - 6)}^{2}$ por $9$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $9 y = {(x - 6)}^{2}$ por $9$ .

$\frac{9 y}{9} = \frac{{(x - 6)}^{2}}{9}$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 y}{9} = \frac{{(x - 6)}^{2}}{9}$

Paso 1.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{{(x - 6)}^{2}}{9}$

Paso 2

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 2.1

Reordena los términos.

$y = \frac{1}{9} \cdot {(x - 6)}^{2}$

Paso 2.2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = \frac{1}{9}$

$h = 6$

$k = 0$

Paso 2.3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 2.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(6, 0)$

Paso 2.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 2.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 2.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{9}}$

Paso 2.5.3

Simplifica.

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Paso 2.5.3.1

Combina $4$ y $\frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{9}}$

Paso 2.5.3.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$1 (\frac{9}{4})$

Paso 2.5.3.3

Multiplica $\frac{9}{4}$ por $1$ .

$\frac{9}{4}$

Paso 2.6

Obtén el foco.

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Paso 2.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 2.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(6, \frac{9}{4})$

Paso 2.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = 6$

Paso 2.8

Obtén la directriz.

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Paso 2.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 2.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = - \frac{9}{4}$

Paso 2.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(6, 0)$

Foco: $(6, \frac{9}{4})$

Eje de simetría: $x = 6$

Directriz: $y = - \frac{9}{4}$

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(6, 0)$

Foco: $(6, \frac{9}{4})$

Eje de simetría: $x = 6$

Directriz: $y = - \frac{9}{4}$

Paso 3

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $5$ en la expresión.

$f (5) = \frac{{((5) - 6)}^{2}}{9}$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.1.1

Resta $6$ de $5$ .

$f (5) = \frac{{(- 1)}^{2}}{9}$

Paso 3.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (5) = \frac{1}{9}$

Paso 3.2.2

La respuesta final es $\frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{9}$

Paso 3.3

El valor de $y$ en $x = 5$ es $\frac{1}{9}$ .

$y = \frac{1}{9}$

Paso 3.4

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f (4) = \frac{{((4) - 6)}^{2}}{9}$

Paso 3.5

Simplifica el resultado.

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Paso 3.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1.1

Resta $6$ de $4$ .

$f (4) = \frac{{(- 2)}^{2}}{9}$

Paso 3.5.1.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f (4) = \frac{4}{9}$

Paso 3.5.2

La respuesta final es $\frac{4}{9}$ .

$\frac{4}{9}$

Paso 3.6

El valor de $y$ en $x = 4$ es $\frac{4}{9}$ .

$y = \frac{4}{9}$

Paso 3.7

Reemplaza la variable $x$ con $9$ en la expresión.

$f (9) = \frac{{((9) - 6)}^{2}}{9}$

Paso 3.8

Simplifica el resultado.

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Paso 3.8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.8.1.1

Resta $6$ de $9$ .

$f (9) = \frac{3^{2}}{9}$

Paso 3.8.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (9) = \frac{9}{9}$

Paso 3.8.2

Divide $9$ por $9$ .

$f (9) = 1$

Paso 3.8.3

La respuesta final es $1$ .

$1$

Paso 3.9

El valor de $y$ en $x = 9$ es $1$ .

$y = 1$

Paso 3.10

Reemplaza la variable $x$ con $7$ en la expresión.

$f (7) = \frac{{((7) - 6)}^{2}}{9}$

Paso 3.11

Simplifica el resultado.

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Paso 3.11.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.11.1.1

Resta $6$ de $7$ .

$f (7) = \frac{1^{2}}{9}$

Paso 3.11.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (7) = \frac{1}{9}$

Paso 3.11.2

La respuesta final es $\frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{9}$

Paso 3.12

El valor de $y$ en $x = 7$ es $\frac{1}{9}$ .

$y = \frac{1}{9}$

Paso 3.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 4 & \frac{4}{9} \\ 5 & \frac{1}{9} \\ 6 & 0 \\ 7 & \frac{1}{9} \\ 9 & 1 \end{array}$

Paso 4

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(6, 0)$

Foco: $(6, \frac{9}{4})$

Eje de simetría: $x = 6$

Directriz: $y = - \frac{9}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 4 & \frac{4}{9} \\ 5 & \frac{1}{9} \\ 6 & 0 \\ 7 & \frac{1}{9} \\ 9 & 1 \end{array}$

Paso 5