Preálgebra Ejemplos

${(x - 4)}^{2} = - 4 (y + 1)$

Paso 1

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Reescribe la ecuación como $- 4 (y + 1) = {(x - 4)}^{2}$ .

$- 4 (y + 1) = {(x - 4)}^{2}$

Paso 1.2

Divide cada término en $- 4 (y + 1) = {(x - 4)}^{2}$ por $- 4$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Divide cada término en $- 4 (y + 1) = {(x - 4)}^{2}$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 (y + 1)}{- 4} = \frac{{(x - 4)}^{2}}{- 4}$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 (y + 1)}{- 4} = \frac{{(x - 4)}^{2}}{- 4}$

Paso 1.2.2.1.2

Divide $y + 1$ por $1$ .

$y + 1 = \frac{{(x - 4)}^{2}}{- 4}$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + 1 = - \frac{{(x - 4)}^{2}}{4}$

Paso 1.3

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y = - \frac{{(x - 4)}^{2}}{4} - 1$

Paso 2

Obtén las propiedades de la parábola dada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Reordena los términos.

$y = - \frac{1}{4} \cdot {(x - 4)}^{2} - 1$

Paso 2.2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$h = 4$

$k = - 1$

Paso 2.3

Como el valor de $a$ es negativo, la parábola se abre hacia abajo.

Abre hacia abajo

Paso 2.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(4, - 1)$

Paso 2.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 2.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Paso 2.5.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.1

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.1.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Paso 2.5.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{4})}$

Paso 2.5.3.2

Combina $4$ y $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{4}}$

Paso 2.5.3.3

Divide $4$ por $4$ .

$- \frac{1}{1}$

Paso 2.5.3.4

Cancela el factor común de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.4.1

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{1}$

Paso 2.5.3.4.2

Reescribe la expresión.

$- 1 \cdot 1$

Paso 2.5.3.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 2.6

Obtén el foco.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 2.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(4, - 2)$

Paso 2.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = 4$

Paso 2.8

Obtén la directriz.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 2.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = 0$

Paso 2.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(4, - 1)$

Foco: $(4, - 2)$

Eje de simetría: $x = 4$

Directriz: $y = 0$

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(4, - 1)$

Foco: $(4, - 2)$

Eje de simetría: $x = 4$

Directriz: $y = 0$

Paso 3

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = - \frac{{(2)}^{2} - 8 \cdot 2 + 20}{4}$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Cancela el factor común de ${(2)}^{2} - 8 \cdot 2 + 20$ y $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1

Factoriza $2$ de ${(2)}^{2}$ .

$f (2) = - \frac{2 \cdot 2 - 8 \cdot 2 + 20}{4}$

Paso 3.2.1.2

Factoriza $2$ de $- 8 \cdot 2$ .

$f (2) = - \frac{2 \cdot 2 + 2 (- 4 \cdot 2) + 20}{4}$

Paso 3.2.1.3

Factoriza $2$ de $2 \cdot 2 + 2 (- 4 \cdot 2)$ .

$f (2) = - \frac{2 \cdot (2 - 4 \cdot 2) + 20}{4}$

Paso 3.2.1.4

Factoriza $2$ de $20$ .

$f (2) = - \frac{2 \cdot (2 - 4 \cdot 2) + 2 (10)}{4}$

Paso 3.2.1.5

Factoriza $2$ de $2 \cdot (2 - 4 \cdot 2) + 2 (10)$ .

$f (2) = - \frac{2 \cdot (2 - 4 \cdot 2 + 10)}{4}$

Paso 3.2.1.6

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.6.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (2) = - \frac{2 \cdot (2 - 4 \cdot 2 + 10)}{2 (2)}$

Paso 3.2.1.6.2

Cancela el factor común.

$f (2) = - \frac{2 \cdot (2 - 4 \cdot 2 + 10)}{2 \cdot 2}$

Paso 3.2.1.6.3

Reescribe la expresión.

$f (2) = - \frac{2 - 4 \cdot 2 + 10}{2}$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común de $2 - 4 \cdot 2 + 10$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (2) = - \frac{2 \cdot 1 - 4 \cdot 2 + 10}{2}$

Paso 3.2.2.2

Factoriza $2$ de $- 4 \cdot 2$ .

$f (2) = - \frac{2 \cdot 1 + 2 (- 2 \cdot 2) + 10}{2}$

Paso 3.2.2.3

Factoriza $2$ de $2 (1) + 2 (- 2 \cdot 2)$ .

$f (2) = - \frac{2 (1 - 2 \cdot 2) + 10}{2}$

Paso 3.2.2.4

Factoriza $2$ de $10$ .

$f (2) = - \frac{2 (1 - 2 \cdot 2) + 2 \cdot 5}{2}$

Paso 3.2.2.5

Factoriza $2$ de $2 (1 - 2 \cdot 2) + 2 \cdot 5$ .

$f (2) = - \frac{2 (1 - 2 \cdot 2 + 5)}{2}$

Paso 3.2.2.6

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.6.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (2) = - \frac{2 (1 - 2 \cdot 2 + 5)}{2 (1)}$

Paso 3.2.2.6.2

Cancela el factor común.

$f (2) = - \frac{2 (1 - 2 \cdot 2 + 5)}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.2.6.3

Reescribe la expresión.

$f (2) = - \frac{1 - 2 \cdot 2 + 5}{1}$

Paso 3.2.2.6.4

Divide $1 - 2 \cdot 2 + 5$ por $1$ .

$f (2) = - (1 - 2 \cdot 2 + 5)$

Paso 3.2.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.3.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$f (2) = - (1 - 4 + 5)$

Paso 3.2.3.2

Resta $4$ de $1$ .

$f (2) = - (- 3 + 5)$

Paso 3.2.3.3

Suma $- 3$ y $5$ .

$f (2) = - 1 \cdot 2$

Paso 3.2.3.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (2) = - 2$

Paso 3.2.4

La respuesta final es $- 2$ .

$- 2$

Paso 3.3

El valor de $y$ en $x = 2$ es $- 2$ .

$y = - 2$

Paso 3.4

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = - \frac{{(3)}^{2} - 8 \cdot 3 + 20}{4}$

Paso 3.5

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (3) = - \frac{9 - 8 \cdot 3 + 20}{4}$

Paso 3.5.1.2

Multiplica $- 8$ por $3$ .

$f (3) = - \frac{9 - 24 + 20}{4}$

Paso 3.5.1.3

Resta $24$ de $9$ .

$f (3) = - \frac{- 15 + 20}{4}$

Paso 3.5.1.4

Suma $- 15$ y $20$ .

$f (3) = - \frac{5}{4}$

Paso 3.5.2

La respuesta final es $- \frac{5}{4}$ .

$- \frac{5}{4}$

Paso 3.6

El valor de $y$ en $x = 3$ es $- \frac{5}{4}$ .

$y = - \frac{5}{4}$

Paso 3.7

Reemplaza la variable $x$ con $6$ en la expresión.

$f (6) = - \frac{{(6)}^{2} - 8 \cdot 6 + 20}{4}$

Paso 3.8

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$f (6) = - \frac{36 - 8 \cdot 6 + 20}{4}$

Paso 3.8.1.2

Multiplica $- 8$ por $6$ .

$f (6) = - \frac{36 - 48 + 20}{4}$

Paso 3.8.1.3

Resta $48$ de $36$ .

$f (6) = - \frac{- 12 + 20}{4}$

Paso 3.8.1.4

Suma $- 12$ y $20$ .

$f (6) = - \frac{8}{4}$

Paso 3.8.2

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.2.1

Divide $8$ por $4$ .

$f (6) = - 1 \cdot 2$

Paso 3.8.2.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (6) = - 2$

Paso 3.8.3

La respuesta final es $- 2$ .

$- 2$

Paso 3.9

El valor de $y$ en $x = 6$ es $- 2$ .

$y = - 2$

Paso 3.10

Reemplaza la variable $x$ con $5$ en la expresión.

$f (5) = - \frac{{(5)}^{2} - 8 \cdot 5 + 20}{4}$

Paso 3.11

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.11.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.11.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f (5) = - \frac{25 - 8 \cdot 5 + 20}{4}$

Paso 3.11.1.2

Multiplica $- 8$ por $5$ .

$f (5) = - \frac{25 - 40 + 20}{4}$

Paso 3.11.1.3

Resta $40$ de $25$ .

$f (5) = - \frac{- 15 + 20}{4}$

Paso 3.11.1.4

Suma $- 15$ y $20$ .

$f (5) = - \frac{5}{4}$

Paso 3.11.2

La respuesta final es $- \frac{5}{4}$ .

$- \frac{5}{4}$

Paso 3.12

El valor de $y$ en $x = 5$ es $- \frac{5}{4}$ .

$y = - \frac{5}{4}$

Paso 3.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & - 2 \\ 3 & - \frac{5}{4} \\ 4 & - 1 \\ 5 & - \frac{5}{4} \\ 6 & - 2 \end{array}$

Paso 4

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(4, - 1)$

Foco: $(4, - 2)$

Eje de simetría: $x = 4$

Directriz: $y = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & - 2 \\ 3 & - \frac{5}{4} \\ 4 & - 1 \\ 5 & - \frac{5}{4} \\ 6 & - 2 \end{array}$

Paso 5