Preálgebra Ejemplos

$5 x^{2} - 5 y^{2} - 6$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la hipérbola.

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Paso 1.1

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$5 x^{2} - 5 y^{2} = 6$

Paso 1.2

Divide cada término por $6$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{5 x^{2}}{6} - \frac{5 y^{2}}{6} = \frac{6}{6}$

Paso 1.3

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{x^{2}}{\frac{6}{5}} - \frac{y^{2}}{\frac{6}{5}} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener los vértices y las asíntotas de la hipérbola.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen, $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen, $a$ .

$a = \frac{\sqrt{30}}{5}$

$b = \frac{\sqrt{30}}{5}$

$k = 0$

$h = 0$

Paso 4

El centro de una hipérbola sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(0, 0)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{30}}{5}$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{30}}^{2}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}}$

Paso 5.3.2

Reescribe ${\sqrt{30}}^{2}$ como $30$ .

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Paso 5.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{30}$ como $30^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{{(30^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}}$

Paso 5.3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{30^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}}$

Paso 5.3.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{\frac{30^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}}$

Paso 5.3.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{30^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}}$

Paso 5.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{30^{1}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}}$

Paso 5.3.2.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{\frac{30}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}}$

Paso 5.3.3

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{30}{25} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}}$

Paso 5.3.4

Cancela el factor común de $30$ y $25$ .

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Paso 5.3.4.1

Factoriza $5$ de $30$ .

$\sqrt{\frac{5 (6)}{25} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}}$

Paso 5.3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.4.2.1

Factoriza $5$ de $25$ .

$\sqrt{\frac{5 \cdot 6}{5 \cdot 5} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}}$

Paso 5.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{5 \cdot 6}{5 \cdot 5} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}}$

Paso 5.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{6}{5} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}}$

Paso 5.3.5

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{30}}{5}$ .

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{{\sqrt{30}}^{2}}{5^{2}}}$

Paso 5.3.6

Reescribe ${\sqrt{30}}^{2}$ como $30$ .

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Paso 5.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{30}$ como $30^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{{(30^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}}}$

Paso 5.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{30^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}}}$

Paso 5.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{30^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}}$

Paso 5.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{30^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}}$

Paso 5.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{30^{1}}{5^{2}}}$

Paso 5.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{30}{5^{2}}}$

Paso 5.3.7

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{30}{25}}$

Paso 5.3.8

Cancela el factor común de $30$ y $25$ .

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Paso 5.3.8.1

Factoriza $5$ de $30$ .

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{5 (6)}{25}}$

Paso 5.3.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.8.2.1

Factoriza $5$ de $25$ .

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{5 \cdot 6}{5 \cdot 5}}$

Paso 5.3.8.2.2

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{5 \cdot 6}{5 \cdot 5}}$

Paso 5.3.8.2.3

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{6}{5}}$

Paso 5.3.9

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.9.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{6 + 6}{5}}$

Paso 5.3.9.2

Suma $6$ y $6$ .

$\sqrt{\frac{12}{5}}$

Paso 5.3.10

Reescribe $\sqrt{\frac{12}{5}}$ como $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{5}}$

Paso 5.3.11

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.11.1

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 5.3.11.1.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{\sqrt{4 (3)}}{\sqrt{5}}$

Paso 5.3.11.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{\sqrt{5}}$

Paso 5.3.11.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$

Paso 5.3.12

Multiplica $\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Paso 5.3.13

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 5.3.13.1

Multiplica $\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Paso 5.3.13.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Paso 5.3.13.3

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Paso 5.3.13.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Paso 5.3.13.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Paso 5.3.13.6

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 5.3.13.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 5.3.13.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 5.3.13.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.3.13.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.13.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.3.13.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Paso 5.3.13.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5}$

Paso 5.3.14

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.14.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{2 \sqrt{5 \cdot 3}}{5}$

Paso 5.3.14.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$\frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una hipérbola puede obtenerse al sumar $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(\frac{\sqrt{30}}{5}, 0)$

Paso 6.3

El segundo vértice de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $a$ de $h$ .

$(h - a, k)$

Paso 6.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- \frac{\sqrt{30}}{5}, 0)$

Paso 6.5

Los vértices de una hipérbola siguen la forma de $(h \pm a, k)$ . Las hipérbolas tienen dos vértices.

$(\frac{\sqrt{30}}{5}, 0), (- \frac{\sqrt{30}}{5}, 0)$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una hipérbola puede obtenerse al sumar $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(\frac{2 \sqrt{15}}{5}, 0)$

Paso 7.3

El segundo foco de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Paso 7.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, 0)$

Paso 7.5

Los focos de una hipérbola siguen la forma de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Las hipérbolas tienen dos focos.

$(\frac{2 \sqrt{15}}{5}, 0), (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, 0)$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}}}{\frac{\sqrt{30}}{5}}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

Paso 8.3.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{30}}{5}$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{30}}^{2}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

Paso 8.3.3

Reescribe ${\sqrt{30}}^{2}$ como $30$ .

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Paso 8.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{30}$ como $30^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{{(30^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

Paso 8.3.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{30^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

Paso 8.3.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{\frac{30^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

Paso 8.3.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.3.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{30^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

Paso 8.3.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{30^{1}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

Paso 8.3.3.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{\frac{30}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

Paso 8.3.4

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{30}{25} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

Paso 8.3.5

Cancela el factor común de $30$ y $25$ .

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Paso 8.3.5.1

Factoriza $5$ de $30$ .

$\sqrt{\frac{5 (6)}{25} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

Paso 8.3.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.5.2.1

Factoriza $5$ de $25$ .

$\sqrt{\frac{5 \cdot 6}{5 \cdot 5} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

Paso 8.3.5.2.2

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{5 \cdot 6}{5 \cdot 5} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

Paso 8.3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{6}{5} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

Paso 8.3.6

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{30}}{5}$ .

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{{\sqrt{30}}^{2}}{5^{2}}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

Paso 8.3.7

Reescribe ${\sqrt{30}}^{2}$ como $30$ .

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Paso 8.3.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{30}$ como $30^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{{(30^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

Paso 8.3.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{30^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

Paso 8.3.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{30^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

Paso 8.3.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.7.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{30^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

Paso 8.3.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{30^{1}}{5^{2}}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

Paso 8.3.7.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{30}{5^{2}}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

Paso 8.3.8

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{30}{25}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

Paso 8.3.9

Cancela el factor común de $30$ y $25$ .

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Paso 8.3.9.1

Factoriza $5$ de $30$ .

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{5 (6)}{25}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

Paso 8.3.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.9.2.1

Factoriza $5$ de $25$ .

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{5 \cdot 6}{5 \cdot 5}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

Paso 8.3.9.2.2

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{5 \cdot 6}{5 \cdot 5}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

Paso 8.3.9.2.3

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{6}{5}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

Paso 8.3.10

Simplifica la expresión.

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Paso 8.3.10.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{6 + 6}{5}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

Paso 8.3.10.2

Suma $6$ y $6$ .

$\sqrt{\frac{12}{5}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

Paso 8.3.11

Reescribe $\sqrt{\frac{12}{5}}$ como $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

Paso 8.3.12

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.12.1

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.12.1.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{\sqrt{4 (3)}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

Paso 8.3.12.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

Paso 8.3.12.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

Paso 8.3.13

Multiplica $\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

Paso 8.3.14

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 8.3.14.1

Multiplica $\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

Paso 8.3.14.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

Paso 8.3.14.3

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

Paso 8.3.14.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

Paso 8.3.14.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

Paso 8.3.14.6

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 8.3.14.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

Paso 8.3.14.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

Paso 8.3.14.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

Paso 8.3.14.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.14.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

Paso 8.3.14.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{1}} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

Paso 8.3.14.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

Paso 8.3.15

Cancela el factor común de $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.15.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

Paso 8.3.15.2

Reescribe la expresión.

$2 \sqrt{3} \sqrt{5} \frac{1}{\sqrt{30}}$

Paso 8.3.16

Combina con la regla del producto para radicales.

$2 \sqrt{5 \cdot 3} \frac{1}{\sqrt{30}}$

Paso 8.3.17

Multiplica $5$ por $3$ .

$2 \sqrt{15} \frac{1}{\sqrt{30}}$

Paso 8.3.18

Combina $\frac{1}{\sqrt{30}}$ y $2$ .

$\frac{2}{\sqrt{30}} \sqrt{15}$

Paso 8.3.19

Combina $\frac{2}{\sqrt{30}}$ y $\sqrt{15}$ .

$\frac{2 \sqrt{15}}{\sqrt{30}}$

Paso 8.3.20

Combina $\sqrt{15}$ y $\sqrt{30}$ en un solo radical.

$2 \sqrt{\frac{15}{30}}$

Paso 8.3.21

Cancela el factor común de $15$ y $30$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.21.1

Factoriza $15$ de $15$ .

$2 \sqrt{\frac{15 (1)}{30}}$

Paso 8.3.21.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.21.2.1

Factoriza $15$ de $30$ .

$2 \sqrt{\frac{15 \cdot 1}{15 \cdot 2}}$

Paso 8.3.21.2.2

Cancela el factor común.

$2 \sqrt{\frac{15 \cdot 1}{15 \cdot 2}}$

Paso 8.3.21.2.3

Reescribe la expresión.

$2 \sqrt{\frac{1}{2}}$

Paso 8.3.22

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$2 \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Paso 8.3.23

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{2}}$

Paso 8.3.24

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$2 (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Paso 8.3.25

Combina y simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.25.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$2 \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 8.3.25.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$2 \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 8.3.25.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$2 \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 8.3.25.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 8.3.25.5

Suma $1$ y $1$ .

$2 \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 8.3.25.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 8.3.25.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 8.3.25.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 8.3.25.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$2 \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.3.25.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.25.6.4.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.3.25.6.4.2

Reescribe la expresión.

$2 \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 8.3.25.6.5

Evalúa el exponente.

$2 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 8.3.26

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.26.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 8.3.26.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{2}$

Paso 9

Obtén el parámetro focal.

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Paso 9.1

Obtén el valor del parámetro focal de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Paso 9.2

Sustituye los valores de $b$ y $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ en la fórmula.

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{30}}{5^{2}}}{2 \sqrt{15}}}{5}$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{\frac{\sqrt{30}}{5^{2}}}{2 \sqrt{15}} \cdot \frac{1}{5}$

Paso 9.3.2

Combinar.

$\frac{\frac{\sqrt{30}}{5^{2}} \cdot 1}{2 \sqrt{15} \cdot 5}$

Paso 9.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 9.3.3.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot 1}{2 \sqrt{15} \cdot 5}$

Paso 9.3.3.2

Multiplica $\frac{\sqrt{30}}{25}$ por $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{30}}{25}}{2 \sqrt{15} \cdot 5}$

Paso 9.3.3.3

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{30}}{25}}{10 \sqrt{15}}$

Paso 9.3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{1}{10 \sqrt{15}}$

Paso 9.3.5

Multiplica $\frac{1}{10 \sqrt{15}}$ por $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\frac{\sqrt{30}}{25} (\frac{1}{10 \sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}})$

Paso 9.3.6

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 9.3.6.1

Multiplica $\frac{1}{10 \sqrt{15}}$ por $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{\sqrt{15}}{10 \sqrt{15} \sqrt{15}}$

Paso 9.3.6.2

Mueve $\sqrt{15}$ .

$\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{\sqrt{15}}{10 (\sqrt{15} \sqrt{15})}$

Paso 9.3.6.3

Eleva $\sqrt{15}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{\sqrt{15}}{10 ({\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15})}$

Paso 9.3.6.4

Eleva $\sqrt{15}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{\sqrt{15}}{10 ({\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1})}$

Paso 9.3.6.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{\sqrt{15}}{10 {\sqrt{15}}^{1 + 1}}$

Paso 9.3.6.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{\sqrt{15}}{10 {\sqrt{15}}^{2}}$

Paso 9.3.6.7

Reescribe ${\sqrt{15}}^{2}$ como $15$ .

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Paso 9.3.6.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{15}$ como $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{\sqrt{15}}{10 {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 9.3.6.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{\sqrt{15}}{10 \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 9.3.6.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{\sqrt{15}}{10 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.6.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.6.7.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{\sqrt{15}}{10 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.6.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{\sqrt{15}}{10 \cdot 15^{1}}$

Paso 9.3.6.7.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{\sqrt{15}}{10 \cdot 15}$

Paso 9.3.7

Multiplica $10$ por $15$ .

$\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{\sqrt{15}}{150}$

Paso 9.3.8

Multiplica $\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{\sqrt{15}}{150}$ .

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Paso 9.3.8.1

Multiplica $\frac{\sqrt{30}}{25}$ por $\frac{\sqrt{15}}{150}$ .

$\frac{\sqrt{30} \sqrt{15}}{25 \cdot 150}$

Paso 9.3.8.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{30 \cdot 15}}{25 \cdot 150}$

Paso 9.3.8.3

Multiplica $30$ por $15$ .

$\frac{\sqrt{450}}{25 \cdot 150}$

Paso 9.3.8.4

Multiplica $25$ por $150$ .

$\frac{\sqrt{450}}{3750}$

Paso 9.3.9

Simplifica el numerador.

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Paso 9.3.9.1

Reescribe $450$ como $15^{2} \cdot 2$ .

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Paso 9.3.9.1.1

Factoriza $225$ de $450$ .

$\frac{\sqrt{225 (2)}}{3750}$

Paso 9.3.9.1.2

Reescribe $225$ como $15^{2}$ .

$\frac{\sqrt{15^{2} \cdot 2}}{3750}$

Paso 9.3.9.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{15 \sqrt{2}}{3750}$

Paso 9.3.10

Cancela el factor común de $15$ y $3750$ .

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Paso 9.3.10.1

Factoriza $15$ de $15 \sqrt{2}$ .

$\frac{15 (\sqrt{2})}{3750}$

Paso 9.3.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.3.10.2.1

Factoriza $15$ de $3750$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{15 \cdot 250}$

Paso 9.3.10.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{15 \sqrt{2}}{15 \cdot 250}$

Paso 9.3.10.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{2}}{250}$

Paso 10

Las asíntotas siguen la forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ porque esta hipérbola abre hacia la izquierda y la derecha.

$y = \pm 1 \cdot x + 0$

Paso 11

Simplifica $1 \cdot x + 0$ .

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Paso 11.1

Suma $1 \cdot x$ y $0$ .

$y = 1 \cdot x$

Paso 11.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$y = x$

Paso 12

Simplifica $- 1 \cdot x + 0$ .

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Paso 12.1

Suma $- 1 \cdot x$ y $0$ .

$y = - 1 \cdot x$

Paso 12.2

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$y = - x$

Paso 13

Esta hipérbola tiene dos asíntotas.

$y = x, y = - x$

Paso 14

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una hipérbola.

Centro: $(0, 0)$

Vértices: $(\frac{\sqrt{30}}{5}, 0), (- \frac{\sqrt{30}}{5}, 0)$

Focos: $(\frac{2 \sqrt{15}}{5}, 0), (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, 0)$

Excentricidad: $\sqrt{2}$

Parámetro focal: $\frac{\sqrt{2}}{250}$

Asíntotas: $y = x$ , $y = - x$

Paso 15