Preálgebra Ejemplos

$x (7 - x) > 8$

Paso 1

Simplifica $x (7 - x)$ .

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Paso 1.1

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot 7 + x (- x) > 8$

Paso 1.1.2

Reordena.

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Paso 1.1.2.1

Mueve $7$ a la izquierda de $x$ .

$7 \cdot x + x (- x) > 8$

Paso 1.1.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$7 \cdot x - x \cdot x > 8$

Paso 1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.1

Mueve $x$ .

$7 x - (x \cdot x) > 8$

Paso 1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$7 x - x^{2} > 8$

Paso 2

Resta $8$ de ambos lados de la desigualdad.

$7 x - x^{2} - 8 > 0$

Paso 3

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$7 x - x^{2} - 8 = 0$

Paso 4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 5

Sustituye los valores $a = - 1$ , $b = 7$ y $c = - 8$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 8)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 1 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

Paso 6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 1 \cdot - 8$ .

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Paso 6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 4 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

Paso 6.1.2.2

Multiplica $4$ por $- 8$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 32}}{2 \cdot - 1}$

Paso 6.1.3

Resta $32$ de $49$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot - 1}$

Paso 6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{17}}{- 2}$

Paso 6.3

Simplifica $\frac{- 7 \pm \sqrt{17}}{- 2}$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{17}}{2}$

Paso 7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 1 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

Paso 7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 1 \cdot - 8$ .

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Paso 7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 4 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

Paso 7.1.2.2

Multiplica $4$ por $- 8$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 32}}{2 \cdot - 1}$

Paso 7.1.3

Resta $32$ de $49$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot - 1}$

Paso 7.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{17}}{- 2}$

Paso 7.3

Simplifica $\frac{- 7 \pm \sqrt{17}}{- 2}$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{17}}{2}$

Paso 7.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$

Paso 8

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.1

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 1 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 1 \cdot - 8$ .

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Paso 8.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 4 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.1.2.2

Multiplica $4$ por $- 8$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 32}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.1.3

Resta $32$ de $49$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{17}}{- 2}$

Paso 8.3

Simplifica $\frac{- 7 \pm \sqrt{17}}{- 2}$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{17}}{2}$

Paso 8.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{7 - \sqrt{17}}{2}$

Paso 9

Consolida las soluciones.

$x = \frac{7 + \sqrt{17}}{2}, \frac{7 - \sqrt{17}}{2}$

Paso 10

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < \frac{7 - \sqrt{17}}{2}$

$\frac{7 - \sqrt{17}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$

$x > \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$

Paso 11

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 11.1

Prueba un valor en el intervalo $x < \frac{7 - \sqrt{17}}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < \frac{7 - \sqrt{17}}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 11.1.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$(0) (7 - (0)) > 8$

Paso 11.1.3

$0$ del lado izquierdo no es mayor que $8$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 11.2

Prueba un valor en el intervalo $\frac{7 - \sqrt{17}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.2.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{7 - \sqrt{17}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 11.2.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$(4) (7 - (4)) > 8$

Paso 11.2.3

$12$ del lado izquierdo es mayor que $8$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 11.3

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 8$

Paso 11.3.2

Reemplaza $x$ con $8$ en la desigualdad original.

$(8) (7 - (8)) > 8$

Paso 11.3.3

$- 8$ del lado izquierdo no es mayor que $8$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 11.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < \frac{7 - \sqrt{17}}{2}$ Falso

$\frac{7 - \sqrt{17}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$ Verdadero

$x > \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$ Falso

$x < \frac{7 - \sqrt{17}}{2}$ Falso

$\frac{7 - \sqrt{17}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$ Verdadero

$x > \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$ Falso

Paso 12

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$\frac{7 - \sqrt{17}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$

Paso 13