Preálgebra Ejemplos

$c (x) = 0$ , $2 x^{2} + 10 x + 800$

Paso 1

Grafica $c (x) = 0$ .

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Paso 1.1

Reescribe la función como una ecuación.

$y = 0$

Paso 1.2

Usa la ecuación explícita para obtener la pendiente y la intersección con y.

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Paso 1.2.1

La ecuación explícita es $y = m x + b$ , donde $m$ es la pendiente y $b$ es la intersección con y.

$y = m x + b$

Paso 1.2.2

Obtén los valores de $m$ y $b$ con la forma $y = m x + b$ .

$m = 0$

$b = 0$

Paso 1.2.3

La pendiente de la línea es el valor de $m$ y la intersección con y es el valor de $b$ .

Pendiente: $0$

intersección con y: $(0, 0)$

Pendiente: $0$

intersección con y: $(0, 0)$

Paso 1.3

Obtén dos puntos en la línea.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}$

Paso 1.4

Grafica la línea mediante la pendiente, la intersección con y, y dos puntos.

Pendiente: $0$

intersección con y: $(0, 0)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}$

Pendiente: $0$

intersección con y: $(0, 0)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}$

Paso 2

Grafica $2 x^{2} + 10 x + 800$ .

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Paso 2.1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 2.1.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 2.1.1.1

Completa el cuadrado de $2 x^{2} + 10 x + 800$ .

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Paso 2.1.1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 2$

$b = 10$

$c = 800$

Paso 2.1.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.1.1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.1.1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{10}{2 \cdot 2}$

Paso 2.1.1.1.3.2

Cancela el factor común de $10$ y $2$ .

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Paso 2.1.1.1.3.2.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Paso 2.1.1.1.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.1.1.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 2$ .

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 (2)}$

Paso 2.1.1.1.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Paso 2.1.1.1.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{5}{2}$

Paso 2.1.1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.1.1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 800 - \frac{10^{2}}{4 \cdot 2}$

Paso 2.1.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1.4.2.1.1

Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$e = 800 - \frac{100}{4 \cdot 2}$

Paso 2.1.1.1.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$e = 800 - \frac{100}{8}$

Paso 2.1.1.1.4.2.1.3

Cancela el factor común de $100$ y $8$ .

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Paso 2.1.1.1.4.2.1.3.1

Factoriza $4$ de $100$ .

$e = 800 - \frac{4 (25)}{8}$

Paso 2.1.1.1.4.2.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.1.1.4.2.1.3.2.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$e = 800 - \frac{4 \cdot 25}{4 \cdot 2}$

Paso 2.1.1.1.4.2.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$e = 800 - \frac{4 \cdot 25}{4 \cdot 2}$

Paso 2.1.1.1.4.2.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$e = 800 - \frac{25}{2}$

Paso 2.1.1.1.4.2.2

Para escribir $800$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$e = 800 \cdot \frac{2}{2} - \frac{25}{2}$

Paso 2.1.1.1.4.2.3

Combina $800$ y $\frac{2}{2}$ .

$e = \frac{800 \cdot 2}{2} - \frac{25}{2}$

Paso 2.1.1.1.4.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{800 \cdot 2 - 25}{2}$

Paso 2.1.1.1.4.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.1.1.4.2.5.1

Multiplica $800$ por $2$ .

$e = \frac{1600 - 25}{2}$

Paso 2.1.1.1.4.2.5.2

Resta $25$ de $1600$ .

$e = \frac{1575}{2}$

Paso 2.1.1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $2 {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{1575}{2}$ .

$2 {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{1575}{2}$

Paso 2.1.1.2

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = 2 {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{1575}{2}$

Paso 2.1.2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = 2$

$h = - \frac{5}{2}$

$k = \frac{1575}{2}$

Paso 2.1.3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 2.1.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- \frac{5}{2}, \frac{1575}{2})$

Paso 2.1.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 2.1.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 2.1.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 2}$

Paso 2.1.5.3

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{1}{8}$

Paso 2.1.6

Obtén el foco.

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Paso 2.1.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 2.1.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- \frac{5}{2}, \frac{6301}{8})$

Paso 2.1.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = - \frac{5}{2}$

Paso 2.1.8

Obtén la directriz.

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Paso 2.1.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 2.1.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = \frac{6299}{8}$

Paso 2.1.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- \frac{5}{2}, \frac{1575}{2})$

Foco: $(- \frac{5}{2}, \frac{6301}{8})$

Eje de simetría: $x = - \frac{5}{2}$

Directriz: $y = \frac{6299}{8}$

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- \frac{5}{2}, \frac{1575}{2})$

Foco: $(- \frac{5}{2}, \frac{6301}{8})$

Eje de simetría: $x = - \frac{5}{2}$

Directriz: $y = \frac{6299}{8}$

Paso 2.2

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 2.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f (- 3) = 2 {(- 3)}^{2} + 10 (- 3) + 800$

Paso 2.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.2.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$f (- 3) = 2 \cdot 9 + 10 (- 3) + 800$

Paso 2.2.2.1.2

Multiplica $2$ por $9$ .

$f (- 3) = 18 + 10 (- 3) + 800$

Paso 2.2.2.1.3

Multiplica $10$ por $- 3$ .

$f (- 3) = 18 - 30 + 800$

Paso 2.2.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.2.2.2.1

Resta $30$ de $18$ .

$f (- 3) = - 12 + 800$

Paso 2.2.2.2.2

Suma $- 12$ y $800$ .

$f (- 3) = 788$

Paso 2.2.2.3

La respuesta final es $788$ .

$788$

Paso 2.2.3

El valor de $y$ en $x = - 3$ es $788$ .

$y = 788$

Paso 2.2.4

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f (- 4) = 2 {(- 4)}^{2} + 10 (- 4) + 800$

Paso 2.2.5

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.5.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$f (- 4) = 2 \cdot 16 + 10 (- 4) + 800$

Paso 2.2.5.1.2

Multiplica $2$ por $16$ .

$f (- 4) = 32 + 10 (- 4) + 800$

Paso 2.2.5.1.3

Multiplica $10$ por $- 4$ .

$f (- 4) = 32 - 40 + 800$

Paso 2.2.5.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.2.5.2.1

Resta $40$ de $32$ .

$f (- 4) = - 8 + 800$

Paso 2.2.5.2.2

Suma $- 8$ y $800$ .

$f (- 4) = 792$

Paso 2.2.5.3

La respuesta final es $792$ .

$792$

Paso 2.2.6

El valor de $y$ en $x = - 4$ es $792$ .

$y = 792$

Paso 2.2.7

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = 2 {(- 1)}^{2} + 10 (- 1) + 800$

Paso 2.2.8

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.8.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- 1) = 2 \cdot 1 + 10 (- 1) + 800$

Paso 2.2.8.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (- 1) = 2 + 10 (- 1) + 800$

Paso 2.2.8.1.3

Multiplica $10$ por $- 1$ .

$f (- 1) = 2 - 10 + 800$

Paso 2.2.8.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.2.8.2.1

Resta $10$ de $2$ .

$f (- 1) = - 8 + 800$

Paso 2.2.8.2.2

Suma $- 8$ y $800$ .

$f (- 1) = 792$

Paso 2.2.8.3

La respuesta final es $792$ .

$792$

Paso 2.2.9

El valor de $y$ en $x = - 1$ es $792$ .

$y = 792$

Paso 2.2.10

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = 2 {(0)}^{2} + 10 (0) + 800$

Paso 2.2.11

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.11.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.11.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0 + 10 (0) + 800$

Paso 2.2.11.1.2

Multiplica $2$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 10 (0) + 800$

Paso 2.2.11.1.3

Multiplica $10$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 800$

Paso 2.2.11.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 2.2.11.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0 + 800$

Paso 2.2.11.2.2

Suma $0$ y $800$ .

$f (0) = 800$

Paso 2.2.11.3

La respuesta final es $800$ .

$800$

Paso 2.2.12

El valor de $y$ en $x = 0$ es $800$ .

$y = 800$

Paso 2.2.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 792 \\ - 3 & 788 \\ - \frac{5}{2} & \frac{1575}{2} \\ - 1 & 792 \\ 0 & 800 \end{array}$

Paso 2.3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- \frac{5}{2}, \frac{1575}{2})$

Foco: $(- \frac{5}{2}, \frac{6301}{8})$

Eje de simetría: $x = - \frac{5}{2}$

Directriz: $y = \frac{6299}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 792 \\ - 3 & 788 \\ - \frac{5}{2} & \frac{1575}{2} \\ - 1 & 792 \\ 0 & 800 \end{array}$

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- \frac{5}{2}, \frac{1575}{2})$

Foco: $(- \frac{5}{2}, \frac{6301}{8})$

Eje de simetría: $x = - \frac{5}{2}$

Directriz: $y = \frac{6299}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 792 \\ - 3 & 788 \\ - \frac{5}{2} & \frac{1575}{2} \\ - 1 & 792 \\ 0 & 800 \end{array}$

Paso 3

Traza cada gráfica en el mismo sistema de coordenadas.

$c (x) = 0$

$2 x^{2} + 10 x + 800$

Paso 4