Preálgebra Ejemplos

$f (x) = \sqrt{e^{x} x}$

Paso 1

Obtén el dominio para $y = \sqrt{e^{x} x}$ de modo que se pueda elegir una lista de valores de $x$ para obtener una lista de puntos, lo que ayudará a graficar el radical.

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Paso 1.1

Establece el radicando en $\sqrt{x e^{x}}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x e^{x} \geq 0$

Paso 1.2

Resuelve $x$

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Paso 1.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$e^{x} = 0$

Paso 1.2.2

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 1.2.3

Establece $e^{x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.3.1

Establece $e^{x}$ igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Paso 1.2.3.2

Resuelve $e^{x} = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.3.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Paso 1.2.3.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 1.2.3.2.3

No hay soluciones para $e^{x} = 0$

No hay solución

Paso 1.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $x e^{x} \geq 0$ verdadera.

$x = 0$

Paso 1.2.5

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \geq 0$

Paso 1.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \geq 0}$

Notación de intervalo:

$[0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \geq 0}$

Paso 2

Para obtener el extremo de la expresión con radicales, sustituye el valor $x$ $0$ , que es el menor valor en el dominio, en $f (x) = \sqrt{x e^{x}}$ .

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \sqrt{(0) \cdot e^{0}}$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Multiplica $0$ por $e^{0}$ .

$f (0) = \sqrt{0}$

Paso 2.2.2

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$f (0) = \sqrt{0^{2}}$

Paso 2.2.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (0) = 0$

Paso 2.2.4

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 3

El extremo de la expresión radical es $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Paso 4

Selecciona algunos valores de $x$ del dominio. Sería más útil seleccionar los valores para que estén próximos al valor $x$ del extremo de la expresión radical.

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Paso 4.1

Sustituye el valor $x$ $1$ en $f (x) = \sqrt{x e^{x}}$ . En este caso, el punto es $(1, \sqrt{e})$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = \sqrt{(1) \cdot e^{1}}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $e^{1}$ por $1$ .

$f (1) = \sqrt{e}$

Paso 4.1.2.2

La respuesta final es $\sqrt{e}$ .

$y = \sqrt{e}$

Paso 4.2

Sustituye el valor $x$ $2$ en $f (x) = \sqrt{x e^{x}}$ . En este caso, el punto es $(2, e \sqrt{2})$ .

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Paso 4.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = \sqrt{(2) \cdot e^{2}}$

Paso 4.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.2.1

Reordena $2$ y $e^{2}$ .

$f (2) = \sqrt{e^{2} \cdot 2}$

Paso 4.2.2.2

Retira los términos de abajo del radical.

$f (2) = e \sqrt{2}$

Paso 4.2.2.3

La respuesta final es $e \sqrt{2}$ .

$y = e \sqrt{2}$

Paso 4.3

La raíz cuadrada puede representarse de manera gráfica mediante los puntos alrededor del vértice $(0, 0), (1, 1.65), (2, 3.84)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 1.65 \\ 2 & 3.84 \end{array}$

Paso 5