Preálgebra Ejemplos

$| \frac{- 1}{2 + x} | \leq \frac{1}{6}$

Paso 1

Escribe $| \frac{- 1}{2 + x} | \leq \frac{1}{6}$ como una función definida por partes.

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Paso 1.1

Para obtener el intervalo de la primera parte, obtén dónde el interior del valor absoluto no es negativo.

$\frac{- 1}{2 + x} \geq 0$

Paso 1.2

Resuelve la desigualdad.

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Paso 1.2.1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$- 1 = 0$

$2 + x = 0$

Paso 1.2.2

Como $- 1 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 1.2.3

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 1.2.4

Obtén el dominio de $\frac{6 | \frac{1}{2 + x} | - 1}{6}$ .

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Paso 1.2.4.1

Establece el denominador en $\frac{1}{2 + x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$2 + x = 0$

Paso 1.2.4.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 1.2.4.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Paso 1.2.5

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 2$

Paso 1.3

En la parte donde $\frac{- 1}{2 + x}$ no es negativa, elimina el valor absoluto.

$\frac{- 1}{2 + x} \leq \frac{1}{6}$

Paso 1.4

Obtén el dominio de $\frac{- 1}{2 + x} \leq \frac{1}{6}$ y obtén la intersección con $x < - 2$ .

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Paso 1.4.1

Obtén el dominio de $\frac{- 1}{2 + x} \leq \frac{1}{6}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.1

Establece el denominador en $\frac{- 1}{2 + x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$2 + x = 0$

Paso 1.4.1.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 1.4.1.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Paso 1.4.2

Obtén la intersección de $x < - 2$ y $(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$ .

$x < - 2$

Paso 1.5

Para obtener el intervalo de la segunda parte, obtén dónde el interior del valor absoluto es negativo.

$\frac{- 1}{2 + x} < 0$

Paso 1.6

Resuelve la desigualdad.

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Paso 1.6.1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$- 1 = 0$

$2 + x = 0$

Paso 1.6.2

Como $- 1 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 1.6.3

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 1.6.4

Obtén el dominio de $\frac{6 | \frac{1}{2 + x} | - 1}{6}$ .

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Paso 1.6.4.1

Establece el denominador en $\frac{1}{2 + x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$2 + x = 0$

Paso 1.6.4.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 1.6.4.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Paso 1.6.5

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x > - 2$

Paso 1.7

En la parte donde $\frac{- 1}{2 + x}$ es negativa, elimina el valor absoluto y multiplica por $- 1$ .

$- \frac{- 1}{2 + x} \leq \frac{1}{6}$

Paso 1.8

Obtén el dominio de $- \frac{- 1}{2 + x} \leq \frac{1}{6}$ y obtén la intersección con $x > - 2$ .

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Paso 1.8.1

Obtén el dominio de $- \frac{- 1}{2 + x} \leq \frac{1}{6}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.8.1.1

Establece el denominador en $\frac{- 1}{2 + x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$2 + x = 0$

Paso 1.8.1.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 1.8.1.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Paso 1.8.2

Obtén la intersección de $x > - 2$ y $(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$ .

$x > - 2$

Paso 1.9

Escribe como una función definida por partes.

${\begin{cases} \frac{- 1}{2 + x} \leq \frac{1}{6} & x < - 2 \\ - \frac{- 1}{2 + x} \leq \frac{1}{6} & x > - 2 \end{cases}$

Paso 1.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

${\begin{cases} - \frac{1}{2 + x} \leq \frac{1}{6} & x < - 2 \\ - \frac{- 1}{2 + x} \leq \frac{1}{6} & x > - 2 \end{cases}$

Paso 1.11

Simplifica $- \frac{- 1}{2 + x} \leq \frac{1}{6}$ .

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Paso 1.11.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

${\begin{cases} - \frac{1}{2 + x} \leq \frac{1}{6} & x < - 2 \\ - - \frac{1}{2 + x} \leq \frac{1}{6} & x > - 2 \end{cases}$

Paso 1.11.2

Multiplica $- - \frac{1}{2 + x}$ .

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Paso 1.11.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

${\begin{cases} - \frac{1}{2 + x} \leq \frac{1}{6} & x < - 2 \\ 1 \frac{1}{2 + x} \leq \frac{1}{6} & x > - 2 \end{cases}$

Paso 1.11.2.2

Multiplica $\frac{1}{2 + x}$ por $1$ .

${\begin{cases} - \frac{1}{2 + x} \leq \frac{1}{6} & x < - 2 \\ \frac{1}{2 + x} \leq \frac{1}{6} & x > - 2 \end{cases}$

Paso 2

Resuelve $- \frac{1}{2 + x} \leq \frac{1}{6}$ cuando $x < - 2$ .

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Paso 2.1

Resuelve $- \frac{1}{2 + x} \leq \frac{1}{6}$ en $x$ .

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Paso 2.1.1

Resta $\frac{1}{6}$ de ambos lados de la desigualdad.

$- \frac{1}{2 + x} - \frac{1}{6} \leq 0$

Paso 2.1.2

Simplifica $- \frac{1}{2 + x} - \frac{1}{6}$ .

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Paso 2.1.2.1

Para escribir $- \frac{1}{2 + x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{1}{2 + x} \cdot \frac{6}{6} - \frac{1}{6} \leq 0$

Paso 2.1.2.2

Para escribir $- \frac{1}{6}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 + x}{2 + x}$ .

$- \frac{1}{2 + x} \cdot \frac{6}{6} - \frac{1}{6} \cdot \frac{2 + x}{2 + x} \leq 0$

Paso 2.1.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(2 + x) \cdot 6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.1.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{2 + x}$ por $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{6}{(2 + x) \cdot 6} - \frac{1}{6} \cdot \frac{2 + x}{2 + x} \leq 0$

Paso 2.1.2.3.2

Multiplica $\frac{1}{6}$ por $\frac{2 + x}{2 + x}$ .

$- \frac{6}{(2 + x) \cdot 6} - \frac{2 + x}{6 (2 + x)} \leq 0$

Paso 2.1.2.3.3

Reordena los factores de $(2 + x) \cdot 6$ .

$- \frac{6}{6 (2 + x)} - \frac{2 + x}{6 (2 + x)} \leq 0$

Paso 2.1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 6 - (2 + x)}{6 (2 + x)} \leq 0$

Paso 2.1.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.2.5.1

Factoriza $- 1$ de $- 6 - (2 + x)$ .

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Paso 2.1.2.5.1.1

Reordena la expresión.

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Paso 2.1.2.5.1.1.1

Reordena $2$ y $x$ .

$\frac{- 6 - (x + 2)}{6 (2 + x)} \leq 0$

Paso 2.1.2.5.1.1.2

Reordena $- 6$ y $- (x + 2)$ .

$\frac{- (x + 2) - 6}{6 (2 + x)} \leq 0$

Paso 2.1.2.5.1.2

Reescribe $- 6$ como $- 1 (6)$ .

$\frac{- (x + 2) - 1 (6)}{6 (2 + x)} \leq 0$

Paso 2.1.2.5.1.3

Factoriza $- 1$ de $- (x + 2) - 1 (6)$ .

$\frac{- (x + 2 + 6)}{6 (2 + x)} \leq 0$

Paso 2.1.2.5.2

Suma $2$ y $6$ .

$\frac{- (x + 8)}{6 (2 + x)} \leq 0$

Paso 2.1.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x + 8}{6 (2 + x)} \leq 0$

Paso 2.1.3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x + 8 = 0$

$2 + x = 0$

Paso 2.1.4

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 8$

Paso 2.1.5

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 2.1.6

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = - 8$

$x = - 2$

Paso 2.1.7

Consolida las soluciones.

$x = - 8, - 2$

Paso 2.1.8

Obtén el dominio de $- \frac{x + 8}{6 (2 + x)}$ .

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Paso 2.1.8.1

Establece el denominador en $\frac{x + 8}{6 (2 + x)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$6 (2 + x) = 0$

Paso 2.1.8.2

Resuelve $x$

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Paso 2.1.8.2.1

Divide cada término en $6 (2 + x) = 0$ por $6$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.8.2.1.1

Divide cada término en $6 (2 + x) = 0$ por $6$ .

$\frac{6 (2 + x)}{6} = \frac{0}{6}$

Paso 2.1.8.2.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.8.2.1.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 2.1.8.2.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 (2 + x)}{6} = \frac{0}{6}$

Paso 2.1.8.2.1.2.1.2

Divide $2 + x$ por $1$ .

$2 + x = \frac{0}{6}$

Paso 2.1.8.2.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.8.2.1.3.1

Divide $0$ por $6$ .

$2 + x = 0$

Paso 2.1.8.2.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 2.1.8.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Paso 2.1.9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 8$

$- 8 < x < - 2$

$x > - 2$

Paso 2.1.10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 2.1.10.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 8$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.10.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 8$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 10$

Paso 2.1.10.1.2

Reemplaza $x$ con $- 10$ en la desigualdad original.

$- \frac{1}{2 - 10} \leq \frac{1}{6}$

Paso 2.1.10.1.3

$0.125$ del lado izquierdo es menor que $0.1\overline{6}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 2.1.10.2

Prueba un valor en el intervalo $- 8 < x < - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.1.10.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 8 < x < - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 5$

Paso 2.1.10.2.2

Reemplaza $x$ con $- 5$ en la desigualdad original.

$- \frac{1}{2 - 5} \leq \frac{1}{6}$

Paso 2.1.10.2.3

$0.\overline{3}$ del lado izquierdo es mayor que $0.1\overline{6}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 2.1.10.3

Prueba un valor en el intervalo $x > - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.1.10.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 2.1.10.3.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$- \frac{1}{2 + 0} \leq \frac{1}{6}$

Paso 2.1.10.3.3

$- 0.5$ del lado izquierdo es menor que $0.1\overline{6}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 2.1.10.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 8$ Verdadero

$- 8 < x < - 2$ Falso

$x > - 2$ Verdadero

$x < - 8$ Verdadero

$- 8 < x < - 2$ Falso

$x > - 2$ Verdadero

Paso 2.1.11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq - 8$ o $x > - 2$

Paso 2.2

Obtén la intersección de $x \leq - 8 or x > - 2$ y $x < - 2$ .

$x \leq - 8$

Paso 3

Resuelve $\frac{1}{2 + x} \leq \frac{1}{6}$ cuando $x > - 2$ .

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Paso 3.1

Resuelve $\frac{1}{2 + x} \leq \frac{1}{6}$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Resta $\frac{1}{6}$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{1}{2 + x} - \frac{1}{6} \leq 0$

Paso 3.1.2

Simplifica $\frac{1}{2 + x} - \frac{1}{6}$ .

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Paso 3.1.2.1

Para escribir $\frac{1}{2 + x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{1}{2 + x} \cdot \frac{6}{6} - \frac{1}{6} \leq 0$

Paso 3.1.2.2

Para escribir $- \frac{1}{6}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 + x}{2 + x}$ .

$\frac{1}{2 + x} \cdot \frac{6}{6} - \frac{1}{6} \cdot \frac{2 + x}{2 + x} \leq 0$

Paso 3.1.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(2 + x) \cdot 6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.1.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{2 + x}$ por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{6}{(2 + x) \cdot 6} - \frac{1}{6} \cdot \frac{2 + x}{2 + x} \leq 0$

Paso 3.1.2.3.2

Multiplica $\frac{1}{6}$ por $\frac{2 + x}{2 + x}$ .

$\frac{6}{(2 + x) \cdot 6} - \frac{2 + x}{6 (2 + x)} \leq 0$

Paso 3.1.2.3.3

Reordena los factores de $(2 + x) \cdot 6$ .

$\frac{6}{6 (2 + x)} - \frac{2 + x}{6 (2 + x)} \leq 0$

Paso 3.1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{6 - (2 + x)}{6 (2 + x)} \leq 0$

Paso 3.1.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 - 1 \cdot 2 - x}{6 (2 + x)} \leq 0$

Paso 3.1.2.5.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{6 - 2 - x}{6 (2 + x)} \leq 0$

Paso 3.1.2.5.3

Resta $2$ de $6$ .

$\frac{4 - x}{6 (2 + x)} \leq 0$

Paso 3.1.3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$4 - x = 0$

$2 + x = 0$

Paso 3.1.4

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 4$

Paso 3.1.5

Divide cada término en $- x = - 4$ por $- 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.5.1

Divide cada término en $- x = - 4$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 3.1.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.5.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 3.1.5.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 3.1.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.5.3.1

Divide $- 4$ por $- 1$ .

$x = 4$

Paso 3.1.6

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 3.1.7

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 4$

$x = - 2$

Paso 3.1.8

Consolida las soluciones.

$x = 4, - 2$

Paso 3.1.9

Obtén el dominio de $\frac{4 - x}{6 (2 + x)}$ .

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Paso 3.1.9.1

Establece el denominador en $\frac{4 - x}{6 (2 + x)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$6 (2 + x) = 0$

Paso 3.1.9.2

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.9.2.1

Divide cada término en $6 (2 + x) = 0$ por $6$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.9.2.1.1

Divide cada término en $6 (2 + x) = 0$ por $6$ .

$\frac{6 (2 + x)}{6} = \frac{0}{6}$

Paso 3.1.9.2.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.9.2.1.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.9.2.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 (2 + x)}{6} = \frac{0}{6}$

Paso 3.1.9.2.1.2.1.2

Divide $2 + x$ por $1$ .

$2 + x = \frac{0}{6}$

Paso 3.1.9.2.1.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.9.2.1.3.1

Divide $0$ por $6$ .

$2 + x = 0$

Paso 3.1.9.2.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 3.1.9.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Paso 3.1.10

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 2$

$- 2 < x < 4$

$x > 4$

Paso 3.1.11

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.11.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.11.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 3.1.11.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$\frac{1}{2 - 4} \leq \frac{1}{6}$

Paso 3.1.11.1.3

$- 0.5$ del lado izquierdo es menor que $0.1\overline{6}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 3.1.11.2

Prueba un valor en el intervalo $- 2 < x < 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.11.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 2 < x < 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 3.1.11.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{1}{2 + 0} \leq \frac{1}{6}$

Paso 3.1.11.2.3

$0.5$ del lado izquierdo es mayor que $0.1\overline{6}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 3.1.11.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.11.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 3.1.11.3.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$\frac{1}{2 + 6} \leq \frac{1}{6}$

Paso 3.1.11.3.3

$0.125$ del lado izquierdo es menor que $0.1\overline{6}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 3.1.11.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Verdadero

$x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Verdadero

Paso 3.1.12

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 2$ o $x \geq 4$

Paso 3.2

Obtén la intersección de $x < - 2 or x \geq 4$ y $x > - 2$ .

$x \geq 4$

Paso 4

Obtén la unión de las soluciones.

$x \leq - 8$ o $x \geq 4$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x \leq - 8 or x \geq 4$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 8] \cup [4, \infty)$

Paso 6