Preálgebra Ejemplos

$y = - 2 \sec (\frac{π}{2} x + π) + 2$

Paso 1

Obtén las asíntotas.

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Paso 1.1

Para cualquier $y = \sec (x)$ , las asíntotas verticales se producen en $x = \frac{π}{2} + n π$ , donde $n$ es un número entero. Usa el período básico de $y = s e c (x)$ , $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ , a fin de obtener las asíntotas verticales de $y = - 2 \sec (\frac{π x}{2} + π) + 2$ . Establece el interior de la función secante, $b x + c$ , para que $y = a \sec (b x + c) + d$ sea igual a $- \frac{π}{2}$ a fin de obtener dónde se produce la asíntota vertical de $y = - 2 \sec (\frac{π x}{2} + π) + 2$ .

$\frac{π x}{2} + π = - \frac{π}{2}$

Paso 1.2

Resuelve $x$

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Paso 1.2.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.2.1.1

Resta $π$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{π x}{2} = - \frac{π}{2} - π$

Paso 1.2.1.2

Para escribir $- π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{2} = - \frac{π}{2} - π \cdot \frac{2}{2}$

Paso 1.2.1.3

Combina $- π$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{2} = - \frac{π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2}$

Paso 1.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π x}{2} = \frac{- π - π \cdot 2}{2}$

Paso 1.2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.1.5.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{- π - 2 π}{2}$

Paso 1.2.1.5.2

Resta $2 π$ de $- π$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{- 3 π}{2}$

Paso 1.2.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{π x}{2} = - \frac{3 π}{2}$

Paso 1.2.2

Como la expresión en cada lado de la ecuación tiene el mismo denominador, los numeradores deben ser iguales.

$π x = - 3 π$

Paso 1.2.3

Divide cada término en $π x = - 3 π$ por $π$ y simplifica.

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Paso 1.2.3.1

Divide cada término en $π x = - 3 π$ por $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{- 3 π}{π}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{π x}{π} = \frac{- 3 π}{π}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 π}{π}$

Paso 1.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.3.1

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 1.2.3.3.1.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{- 3 π}{π}$

Paso 1.2.3.3.1.2

Divide $- 3$ por $1$ .

$x = - 3$

Paso 1.3

Establece el interior de la secante $\frac{π x}{2} + π$ igual a $\frac{3 π}{2}$ .

$\frac{π x}{2} + π = \frac{3 π}{2}$

Paso 1.4

Resuelve $x$

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Paso 1.4.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.4.1.1

Resta $π$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π}{2} - π$

Paso 1.4.1.2

Para escribir $- π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π}{2} - π \cdot \frac{2}{2}$

Paso 1.4.1.3

Combina $- π$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2}$

Paso 1.4.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π - π \cdot 2}{2}$

Paso 1.4.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.4.1.5.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π - 2 π}{2}$

Paso 1.4.1.5.2

Resta $2 π$ de $3 π$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{π}{2}$

Paso 1.4.2

Como la expresión en cada lado de la ecuación tiene el mismo denominador, los numeradores deben ser iguales.

$π x = π$

Paso 1.4.3

Divide cada término en $π x = π$ por $π$ y simplifica.

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Paso 1.4.3.1

Divide cada término en $π x = π$ por $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

Paso 1.4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.4.3.2.1

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 1.4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

Paso 1.4.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{π}{π}$

Paso 1.4.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.4.3.3.1

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 1.4.3.3.1.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{π}{π}$

Paso 1.4.3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$x = 1$

Paso 1.5

El período básico de $y = - 2 \sec (\frac{π x}{2} + π) + 2$ se producirá en $(- 3, 1)$ , donde $- 3$ y $1$ son asíntotas verticales.

$(- 3, 1)$

Paso 1.6

Obtén el período $\frac{2 π}{| b |}$ para buscar dónde existen las asíntotas verticales. Las asíntotas verticales ocurren cada medio período.

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Paso 1.6.1

$\frac{π}{2}$ es aproximadamente $1.57079632$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{π}{2}}$

Paso 1.6.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 π \frac{2}{π}$

Paso 1.6.3

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 1.6.3.1

Factoriza $π$ de $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Paso 1.6.3.2

Cancela el factor común.

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Paso 1.6.3.3

Reescribe la expresión.

$2 \cdot 2$

Paso 1.6.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$4$

Paso 1.7

Las asíntotas verticales de $y = - 2 \sec (\frac{π x}{2} + π) + 2$ se producen en $- 3$ , $1$ y en cada $x = - 3 + 2 n$ , donde $n$ es un número entero. Esta es la mitad del período.

$x = - 3 + 2 n$

Paso 1.8

La secante solo tiene asíntotas verticales.

No hay asíntotas horizontales

No hay asíntotas oblicuas

Asíntotas verticales: $x = - 3 + 2 n$ donde $n$ es un número entero

No hay asíntotas horizontales

No hay asíntotas oblicuas

Asíntotas verticales: $x = - 3 + 2 n$ donde $n$ es un número entero

Paso 2

Usa la forma $a \sec (b x - c) + d$ para obtener las variables utilizadas para obtener la amplitud, el período, el desfase y el desplazamiento vertical.

$a = - 2$

$b = \frac{π}{2}$

$c = - π$

$d = 2$

Paso 3

Como la gráfica de la función $s e c$ no tiene un valor máximo o mínimo, no puede haber un valor para la amplitud.

Amplitud: ninguna

Paso 4

Obtén el período con la fórmula $\frac{2 π}{| b |}$ .

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Paso 4.1

Obtén el período de $- 2 \sec (\frac{π x}{2} + π)$ .

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Paso 4.1.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 4.1.2

Reemplaza $b$ con $\frac{π}{2}$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{2} |}$

Paso 4.1.3

$\frac{π}{2}$ es aproximadamente $1.57079632$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{π}{2}}$

Paso 4.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 π \frac{2}{π}$

Paso 4.1.5

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 4.1.5.1

Factoriza $π$ de $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Paso 4.1.5.2

Cancela el factor común.

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Paso 4.1.5.3

Reescribe la expresión.

$2 \cdot 2$

Paso 4.1.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$4$

Paso 4.2

Obtén el período de $2$ .

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Paso 4.2.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 4.2.2

Reemplaza $b$ con $\frac{π}{2}$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{2} |}$

Paso 4.2.3

$\frac{π}{2}$ es aproximadamente $1.57079632$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{π}{2}}$

Paso 4.2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 π \frac{2}{π}$

Paso 4.2.5

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 4.2.5.1

Factoriza $π$ de $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Paso 4.2.5.2

Cancela el factor común.

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Paso 4.2.5.3

Reescribe la expresión.

$2 \cdot 2$

Paso 4.2.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$4$

Paso 4.3

El período de la suma/resta de las funciones trigonométricas es el máximo de los períodos individuales.

$4$

Paso 5

Obtén el desfase con la fórmula $\frac{c}{b}$ .

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Paso 5.1

El desfase de la función puede calcularse a partir de $\frac{c}{b}$ .

Desfase: $\frac{c}{b}$

Paso 5.2

Reemplaza los valores de $c$ y $b$ en la ecuación para el desfase.

Desfase: $\frac{- π}{\frac{π}{2}}$

Paso 5.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

Desfase: $- π \frac{2}{π}$

Paso 5.4

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $π$ de $- π$ .

Desfase: $π \cdot (- 1 \frac{2}{π})$

Paso 5.4.2

Cancela el factor común.

Desfase: $π \cdot (- 1 \frac{2}{π})$

Paso 5.4.3

Reescribe la expresión.

Desfase: $- 1 \cdot 2$

Paso 5.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

Desfase: $- 2$

Paso 6

Enumera las propiedades de la función trigonométrica.

Amplitud: ninguna

Período: $4$

Desfase: $- 2$ ( $2$ a la izquierda)

Desplazamiento vertical: $2$

Paso 7

La función trigonométrica puede representarse de forma gráfica con la amplitud, el período, el desfase, el desplazamiento vertical y los puntos.

Asíntotas verticales: $x = - 3 + 2 n$ donde $n$ es un número entero

Amplitud: ninguna

Período: $4$

Desfase: $- 2$ ( $2$ a la izquierda)

Desplazamiento vertical: $2$

Paso 8