Preálgebra Ejemplos

$y = {(x + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}$

Paso 1

Simplifica ${(x + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}$ .

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

Reescribe ${(x + \frac{1}{2})}^{2}$ como $(x + \frac{1}{2}) (x + \frac{1}{2})$ .

$y = (x + \frac{1}{2}) (x + \frac{1}{2}) + \frac{1}{4}$

Paso 1.1.2

Expande $(x + \frac{1}{2}) (x + \frac{1}{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = x (x + \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2}) + \frac{1}{4}$

Paso 1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = x \cdot x + x \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2}) + \frac{1}{4}$

Paso 1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = x \cdot x + x \frac{1}{2} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$

Paso 1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = x^{2} + x \frac{1}{2} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$

Paso 1.1.3.1.2

Combina $x$ y $\frac{1}{2}$ .

$y = x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$

Paso 1.1.3.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$y = x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$

Paso 1.1.3.1.4

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 1.1.3.1.4.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$y = x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} + \frac{1}{4}$

Paso 1.1.3.1.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$

Paso 1.1.3.2

Suma $\frac{x}{2}$ y $\frac{x}{2}$ .

$y = x^{2} + 2 \frac{x}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$

Paso 1.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.1.4.1

Cancela el factor común.

$y = x^{2} + 2 \frac{x}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$

Paso 1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$y = x^{2} + x + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$

Paso 1.2

Simplifica los términos.

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Paso 1.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = x^{2} + x + \frac{1 + 1}{4}$

Paso 1.2.2

Suma $1$ y $1$ .

$y = x^{2} + x + \frac{2}{4}$

Paso 1.2.3

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 1.2.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$y = x^{2} + x + \frac{2 (1)}{4}$

Paso 1.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$y = x^{2} + x + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$y = x^{2} + x + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y = x^{2} + x + \frac{1}{2}$

Paso 2

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 2.1.1

Completa el cuadrado de $x^{2} + x + \frac{1}{2}$ .

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Paso 2.1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = 1$

$c = \frac{1}{2}$

Paso 2.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Paso 2.1.1.3.2

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 2.1.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Paso 2.1.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$d = \frac{1}{2}$

Paso 2.1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{1}{2} - \frac{1^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 2.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.4.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$e = \frac{1}{2} - \frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 2.1.1.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = \frac{1}{2} - \frac{1}{4}$

Paso 2.1.1.4.2.2

Para escribir $\frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$e = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{4}$

Paso 2.1.1.4.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.1.1.4.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$e = \frac{2}{2 \cdot 2} - \frac{1}{4}$

Paso 2.1.1.4.2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$e = \frac{2}{4} - \frac{1}{4}$

Paso 2.1.1.4.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{2 - 1}{4}$

Paso 2.1.1.4.2.5

Resta $1$ de $2$ .

$e = \frac{1}{4}$

Paso 2.1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(x + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}$

Paso 2.1.2

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = {(x + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}$

Paso 2.2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = 1$

$h = - \frac{1}{2}$

$k = \frac{1}{4}$

Paso 2.3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 2.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- \frac{1}{2}, \frac{1}{4})$

Paso 2.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 2.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 2.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 2.5.3

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 2.5.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 2.5.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4}$

Paso 2.6

Obtén el foco.

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Paso 2.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 2.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

Paso 2.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = - \frac{1}{2}$

Paso 2.8

Obtén la directriz.

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Paso 2.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 2.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = 0$

Paso 2.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{4})$

Foco: $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

Eje de simetría: $x = - \frac{1}{2}$

Directriz: $y = 0$

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{4})$

Foco: $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

Eje de simetría: $x = - \frac{1}{2}$

Directriz: $y = 0$

Paso 3

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = {(- 1)}^{2} - 1 + \frac{1}{2}$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (- 1) = {(- 1)}^{2} - 1 + \frac{1}{2}$

Paso 3.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 3.2.2.1

Escribe ${(- 1)}^{2}$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{1} - 1 + \frac{1}{2}$

Paso 3.2.2.2

Multiplica $\frac{{(- 1)}^{2}}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{1} \cdot \frac{2}{2} - 1 + \frac{1}{2}$

Paso 3.2.2.3

Multiplica $\frac{{(- 1)}^{2}}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 2}{2} - 1 + \frac{1}{2}$

Paso 3.2.2.4

Escribe $- 1$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 2}{2} + \frac{- 1}{1} + \frac{1}{2}$

Paso 3.2.2.5

Multiplica $\frac{- 1}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 2}{2} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 3.2.2.6

Multiplica $\frac{- 1}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 2}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 2 - 1 \cdot 2 + 1}{2}$

Paso 3.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.4.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- 1) = \frac{1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 + 1}{2}$

Paso 3.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (- 1) = \frac{2 - 1 \cdot 2 + 1}{2}$

Paso 3.2.4.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (- 1) = \frac{2 - 2 + 1}{2}$

Paso 3.2.5

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 3.2.5.1

Resta $2$ de $2$ .

$f (- 1) = \frac{0 + 1}{2}$

Paso 3.2.5.2

Suma $0$ y $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{2}$

Paso 3.2.6

La respuesta final es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 3.3

El valor de $y$ en $x = - 1$ es $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{2}$

Paso 3.4

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = {(- 2)}^{2} - 2 + \frac{1}{2}$

Paso 3.5

Simplifica el resultado.

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Paso 3.5.1

Elimina los paréntesis.

$f (- 2) = {(- 2)}^{2} - 2 + \frac{1}{2}$

Paso 3.5.2

Obtén el denominador común

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Paso 3.5.2.1

Escribe ${(- 2)}^{2}$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2}}{1} - 2 + \frac{1}{2}$

Paso 3.5.2.2

Multiplica $\frac{{(- 2)}^{2}}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2}}{1} \cdot \frac{2}{2} - 2 + \frac{1}{2}$

Paso 3.5.2.3

Multiplica $\frac{{(- 2)}^{2}}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2} \cdot 2}{2} - 2 + \frac{1}{2}$

Paso 3.5.2.4

Escribe $- 2$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2} \cdot 2}{2} + \frac{- 2}{1} + \frac{1}{2}$

Paso 3.5.2.5

Multiplica $\frac{- 2}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2} \cdot 2}{2} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 3.5.2.6

Multiplica $\frac{- 2}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2} \cdot 2}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 3.5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2} \cdot 2 - 2 \cdot 2 + 1}{2}$

Paso 3.5.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.4.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f (- 2) = \frac{4 \cdot 2 - 2 \cdot 2 + 1}{2}$

Paso 3.5.4.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$f (- 2) = \frac{8 - 2 \cdot 2 + 1}{2}$

Paso 3.5.4.3

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$f (- 2) = \frac{8 - 4 + 1}{2}$

Paso 3.5.5

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 3.5.5.1

Resta $4$ de $8$ .

$f (- 2) = \frac{4 + 1}{2}$

Paso 3.5.5.2

Suma $4$ y $1$ .

$f (- 2) = \frac{5}{2}$

Paso 3.5.6

La respuesta final es $\frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{2}$

Paso 3.6

El valor de $y$ en $x = - 2$ es $\frac{5}{2}$ .

$y = \frac{5}{2}$

Paso 3.7

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = {(1)}^{2} + 1 + \frac{1}{2}$

Paso 3.8

Simplifica el resultado.

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Paso 3.8.1

Elimina los paréntesis.

$f (1) = {(1)}^{2} + 1 + \frac{1}{2}$

Paso 3.8.2

Obtén el denominador común

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Paso 3.8.2.1

Escribe ${(1)}^{2}$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (1) = \frac{{(1)}^{2}}{1} + 1 + \frac{1}{2}$

Paso 3.8.2.2

Multiplica $\frac{{(1)}^{2}}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (1) = \frac{{(1)}^{2}}{1} \cdot \frac{2}{2} + 1 + \frac{1}{2}$

Paso 3.8.2.3

Multiplica $\frac{{(1)}^{2}}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (1) = \frac{{(1)}^{2} \cdot 2}{2} + 1 + \frac{1}{2}$

Paso 3.8.2.4

Escribe $1$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (1) = \frac{{(1)}^{2} \cdot 2}{2} + \frac{1}{1} + \frac{1}{2}$

Paso 3.8.2.5

Multiplica $\frac{1}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (1) = \frac{{(1)}^{2} \cdot 2}{2} + \frac{1}{1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 3.8.2.6

Multiplica $\frac{1}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (1) = \frac{{(1)}^{2} \cdot 2}{2} + \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 3.8.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (1) = \frac{{(1)}^{2} \cdot 2 + 2 + 1}{2}$

Paso 3.8.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.8.4.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = \frac{1 \cdot 2 + 2 + 1}{2}$

Paso 3.8.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (1) = \frac{2 + 2 + 1}{2}$

Paso 3.8.5

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 3.8.5.1

Suma $2$ y $2$ .

$f (1) = \frac{4 + 1}{2}$

Paso 3.8.5.2

Suma $4$ y $1$ .

$f (1) = \frac{5}{2}$

Paso 3.8.6

La respuesta final es $\frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{2}$

Paso 3.9

El valor de $y$ en $x = 1$ es $\frac{5}{2}$ .

$y = \frac{5}{2}$

Paso 3.10

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = {(2)}^{2} + 2 + \frac{1}{2}$

Paso 3.11

Simplifica el resultado.

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Paso 3.11.1

Elimina los paréntesis.

$f (2) = {(2)}^{2} + 2 + \frac{1}{2}$

Paso 3.11.2

Obtén el denominador común

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Paso 3.11.2.1

Escribe ${(2)}^{2}$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{1} + 2 + \frac{1}{2}$

Paso 3.11.2.2

Multiplica $\frac{{(2)}^{2}}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{1} \cdot \frac{2}{2} + 2 + \frac{1}{2}$

Paso 3.11.2.3

Multiplica $\frac{{(2)}^{2}}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2} \cdot 2}{2} + 2 + \frac{1}{2}$

Paso 3.11.2.4

Escribe $2$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2} \cdot 2}{2} + \frac{2}{1} + \frac{1}{2}$

Paso 3.11.2.5

Multiplica $\frac{2}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2} \cdot 2}{2} + \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 3.11.2.6

Multiplica $\frac{2}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2} \cdot 2}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 3.11.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (2) = \frac{{(2)}^{2} \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 1}{2}$

Paso 3.11.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.11.4.1

Multiplica ${(2)}^{2}$ por $2$ sumando los exponentes.

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Paso 3.11.4.1.1

Multiplica ${(2)}^{2}$ por $2$ .

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Paso 3.11.4.1.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2} \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 1}{2}$

Paso 3.11.4.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (2) = \frac{2^{2 + 1} + 2 \cdot 2 + 1}{2}$

Paso 3.11.4.1.2

Suma $2$ y $1$ .

$f (2) = \frac{2^{3} + 2 \cdot 2 + 1}{2}$

Paso 3.11.4.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (2) = \frac{8 + 2 \cdot 2 + 1}{2}$

Paso 3.11.4.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (2) = \frac{8 + 4 + 1}{2}$

Paso 3.11.5

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 3.11.5.1

Suma $8$ y $4$ .

$f (2) = \frac{12 + 1}{2}$

Paso 3.11.5.2

Suma $12$ y $1$ .

$f (2) = \frac{13}{2}$

Paso 3.11.6

La respuesta final es $\frac{13}{2}$ .

$\frac{13}{2}$

Paso 3.12

El valor de $y$ en $x = 2$ es $\frac{13}{2}$ .

$y = \frac{13}{2}$

Paso 3.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & \frac{5}{2} \\ - 1 & \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ 1 & \frac{5}{2} \\ 2 & \frac{13}{2} \end{array}$

Paso 4

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{4})$

Foco: $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

Eje de simetría: $x = - \frac{1}{2}$

Directriz: $y = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & \frac{5}{2} \\ - 1 & \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ 1 & \frac{5}{2} \\ 2 & \frac{13}{2} \end{array}$

Paso 5